文档内容
第⼀学期⾼⼆年级 ⽉联考
NT20 10
数 学
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的．
1. 已知空间向量 ，则向量 在坐标平⾯ 上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
2. 在空间直⻆坐标系中，点 关于平⾯ 对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间单位向量 两两垂直，则 （ ）
A. B. C.3 D.4
4. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 空间内有三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四⾯体 中， ， ，则 （ ）
A. B.
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. D.
7. 如图，平⾯ 平⾯ ，四边形 为正⽅形，四边形 为菱形， ，则
直线 所成⻆的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 教材44⻚第17题：在空间直⻆坐标系中，已知向量 ，点 ，点
.
（1）若直线 经过点 ，且以 为⽅向向量， 是直线 上的任意⼀点，求证：
（2）若平⾯ 经过点 ，且以 为法向量， 是平⾯ 内的任意⼀点，求证：
利⽤教材给出的材料，解决下⾯的问题：
已知平⾯ 的⽅程为 ，直线 是平⾯ 与 的交线，则直线 与平
⾯ 所成⻆的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若 构成空间的⼀个基底，则下列向量不能构成空间的⼀个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司10. 已知空间向量 ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若直线 的⽅向向量为 ，平⾯ 的法向量为 ，则直线
D. 向量 在向量 上的投影向量是
11. 在正⽅体 中，若棱⻓为1， ， 分别为线段 ， 上的动点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 平⾯
B. 平⾯ 平⾯
C. 直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为定值
D. 异⾯直线 与 所成⻆的余弦值的范围为
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知A，B，C三点的坐标分别是 ， ， ，点 ，则点P的
坐标是__________.
13. 如图，在三棱锥 中， 为 重⼼， ， ， ，
，若 交平⾯ 于点 ，且 ，则 ， 满⾜的关系式为__________.
14. 在⻓⽅体 中， ， ， ， 为⻓⽅体 表⾯上
⼀动点，则 取值范围为__________.
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， .
（1）求 与 的夹⻆；
（2）若 与 垂直，求实数 的值.
16. 如图，在平⾏六⾯体 中， ， ， ，
.记向量 ， ， ，取 的中点 .
（1）⽤向量 ， ， 表示向量 ，并求 ；
（2）求向量 和向量 所成⻆ 余弦值.
17. 如图， 是圆 直径，直线 平⾯ ，且 为圆周上⼀点， .
（1）求点 到平⾯ 的距离；
（2）若 ，求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值.
18. 在如图所示的⼏何体 中，平⾯ 是边⻓为2的正⽅形， 平⾯ ，
，且 ， 为 的中点， 为 的中点.
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求证： 平⾯ ；
（2）求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值.
19. 在如图所示的⼏何体 中，四边形 为菱形， ， ，
，⼆⾯⻆ 为120°.
（1）求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（2）探究平⾯ 与平⾯ 是否垂直.
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第⼀学期⾼⼆年级 ⽉联考
NT20 10
数 学
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的．
1. 已知空间向量 ，则向量 在坐标平⾯ 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点的坐标确定⽅法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可.
【详解】根据空间中点的坐标确定⽅法知，空间中的点 ，
在坐标平⾯ 上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.
所以空间向量 ，在坐标平⾯ 上的投影向量坐标是： .
故选：A.
2. 在空间直⻆坐标系中，点 关于平⾯ 对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求点 关于平⾯ 对称 点，所求点的横坐标变为原来的相反数，纵坐标，竖坐标不
变，由此即可得解.
【详解】点 关于平⾯ 对称的点的坐标是 .
故选：B.
3 已知空间单位向量 两两垂直，则 （ ）
第1⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C.3 D.4
【答案】D
【解析】
【分析】取 ，结合模⻓的坐标计算公式求解即可.
【详解】不妨设 ，则 ，
所以 .
故选：D.
4. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 ， ，根据向量投影公式求出向量 在向量 上的投影向量即可.
【详解】 ，
，
，
向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A.
5. 空间内有三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出 与 ，即可得 ， 与 ，根据点 P到直线 EF的距离为
，即可求解.
第2⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
.所以 ， ，
点P到直线EF的距离为 .
故选：B..
6. 如图，在四⾯体 中， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件所给的⽐例关系分解向量即可.
【详解】如图所示，
.
故选：D.
第3⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 如图，平⾯ 平⾯ ，四边形 为正⽅形，四边形 为菱形， ，则
直线 所成⻆的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤基底法求解即可.
【详解】由于平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 平⾯ ，
，则 平⾯ ，
由于 平⾯ ，则 ，
由于四边形 为菱形， ，则 为正三⻆形，
设 ，则 ，
由于 ，
则
，
所以 ，
则直线 所成⻆的余弦值为 ，
故选：D.
8. 教材44⻚第17题：在空间直⻆坐标系中，已知向量 ，点 ，点
.
（1）若直线 经过点 ，且以 为⽅向向量， 是直线 上的任意⼀点，求证：
第4⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若平⾯ 经过点 ，且以 为法向量， 是平⾯ 内的任意⼀点，求证：
利⽤教材给出的材料，解决下⾯的问题：
已知平⾯ 的⽅程为 ，直线 是平⾯ 与 的交线，则直线 与平
⾯ 所成⻆的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出平⾯的法向量，再求出平⾯的交线⽅向向量，最后⽤线⾯⻆公式求解即可.
【详解】因为平⾯ 的⽅程为 ，所以平⾯ 的⼀个法向量 ，
同理，可得平⾯ 的⼀个法向量 ，平⾯ 的⼀个法向量 ，
设平⾯ 与平⾯ 的交线的⽅向向量为 ，
则 ，解得 ， ，取 ，则 ，
设直线 与平⾯ 所成⻆为 ，则 ，
故选：A
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若 构成空间的⼀个基底，则下列向量不能构成空间的⼀个基底的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】推导出 不共⾯，故能构成空间的⼀个基底，C错误，ABD选项向量均共⾯，不可构
第5⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司成空间的⼀个基底.
【详解】 是空间的⼀个基底，故 不共⾯，
对于A选项，假设 共⾯，
则存在唯⼀实数 使得 ，
则 ，所以 为共⾯向量，
故 不能构成空间的⼀个基底，故A正确；
对于B选项，假设 共⾯，
则存在唯⼀实数 使得 ，
所以 ，⽆解，故 不共⾯，故可构成空间的⼀个基底，故B错误；
对于C选项，假设 共⾯，
则存在唯⼀实数 使得 ，
所以 ，解得 ，故 共⾯，
故故 不能构成空间的⼀个基底，故C正确；
对于D选项，假设 共⾯，
则存在唯⼀实数 使得 ，
所以 ，解得 ，故 共⾯，
故故 不能构成空间的⼀个基底，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知空间向量 ， ，则下列说法不正确的是（ ）
第6⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.
B.
C. 若直线 的⽅向向量为 ，平⾯ 的法向量为 ，则直线
D. 向量 在向量 上的投影向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】利⽤空间向量模的坐标运算判断A；利⽤空间向量的线性运算判断B；利⽤空间位置关系的向量证
明判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，A正确；
对于B，由 ， ，
得 ， B错误；
对于C，直线 的⽅向向量为 ，平⾯ 的法向量为 ，
由 ，得 ，则 或 ，C错误；
对于D， ， ，则 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 ，D正确.
故选：BC
11. 在正⽅体 中，若棱⻓为1， ， 分别为线段 ， 上的动点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 平⾯
B. 平⾯ 平⾯
C. 直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为定值
D. 异⾯直线 与 所成⻆的余弦值的范围为
第7⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正⽅体的⼏何性质，建⽴空间直⻆坐标系，写出各点坐标，求出对应直线的⽅向向量和平⾯
的法向量，根据空间中证明线⾯垂直的向量⽅法，求线⾯夹⻆正弦值的向量⽅法，证明⾯⾯平⾏的向量⽅
法，以及异⾯直线所成⻆的向量法，逐⼀计算判断各选项正误，可得结论.
【详解】
以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，⼜ ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ，故A正确；
⼜ ，
所以 ，
所以 ，⼜ ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ ，故B正确；
设 ，则 ，
因为 平⾯ ， 平⾯ ，所以 ，
⼜ ， 平⾯ ，所以 平⾯ ，
第8⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 为平⾯ 的⼀个法向量，
所以
不为定值，故C错误；
设 ， ， ，
所以
因为 ，所以 ，
所以异⾯直线 与 所成⻆的余弦值的范围为 ，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知A，B，C三点的坐标分别是 ， ， ，点 ，则点P的
坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】 ，设 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 如图，在三棱锥 中， 为 的重⼼， ， ， ，
，若 交平⾯ 于点 ，且 ，则 ， 满⾜的关系式为__________.
第9⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利⽤空间向量的四点共⾯定理，得出关系.
【详解】因为
，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ， ， ， 四点共⾯，
所以 ，所以 .
故答案为：
14. 在⻓⽅体 中， ， ， ， 为⻓⽅体 表⾯上
⼀动点，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建⽴适当的空间直⻆坐标系，将所求转换为⻓⽅体中⼼到⻓⽅体表⾯的点的距离的取值范围即可
求解.
第10⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】以 为坐标原点， 分别为 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
因为 ， ， ，则 ，
设⻓⽅体中⼼为
设 ，则 ，
所以 ，
代表⻓⽅体的中⼼到⻓⽅体表⾯⼀点 的距离的平⽅，
所以当且仅当 或1时， 有最⼩值 ，
当且仅当 与⻓⽅体的8个顶点重合时， 有最⼤值 ，
由于 是在⻓⽅体表⾯连续运动的，故 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， .
（1）求 与 的夹⻆；
第11⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量夹⻆的坐标运算公式求解即可；
（2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解.
【⼩问1详解】
由题意 ，
因为 ，所以 ；
【⼩问2详解】
由题意 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 .
16. 如图，在平⾏六⾯体 中， ， ， ，
.记向量 ， ， ，取 的中点 .
（1）⽤向量 ， ， 表示向量 ，并求 ；
（2）求向量 和向量 所成⻆的余弦值.
【答案】（1）
（2）
第12⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解；
（2）只需分别求出 ，再结合向量夹⻆的余弦公式即可求解.
【⼩问1详解】
，
因为 ， ， ， ，
所以 ；
【⼩问2详解】
，所以 ，
，
所以 .
17. 如图， 是圆的直径，直线 平⾯ ，且 为圆周上⼀点， .
（1）求点 到平⾯ 的距离；
（2）若 ，求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤线⾯垂直的性质定理及判定定理可得 平⾯ ，点 到平⾯ 的距离为 ，
第13⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司利⽤勾股定理即可求解；
（2）利⽤向量法求线⾯⻆即可.
【⼩问1详解】
因为直线 平⾯ ， 平⾯ ，
，
由 是圆的直径，可得 ，
⼜因为 ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ，
点 到平⾯ 的距离为 .
【⼩问2详解】
以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴，
过点 作平⾯ 的垂线，并以该直线为 轴建⽴空间直⻆坐标系，
则 ，
所以 ，
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，则 ，
设直线 与平⾯ 的夹⻆为 ，
则 .
第14⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 .
18. 在如图所示的⼏何体 中，平⾯ 是边⻓为2的正⽅形， 平⾯ ，
，且 ， 为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： 平⾯ ；
（2）求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值.
【答案】（1）证明过程⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，只需证明 ，再结合线⾯平⾏的判定定理即可得证；
（2）建⽴适当的空间直⻆坐标系，求出平⾯ 与平⾯ 的法向量，再结合向量夹⻆的余弦公式即
可求解.
【⼩问1详解】
如图所示，取 中点 ，连接 ，因为 是 中点，
所以 ，
⼜因为 ，且 ，
所以 ，
所以四边形 是平⾏四边形，所以 ，
第15⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜因为 平⾯ ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ；
【⼩问2详解】
因为 平⾯ ， 平⾯ ，
所以 ，
⼜因为平⾯ 是边⻓为2的正⽅形，所以 ，
所以 两两垂直，
故以点 为坐标原点， 分别为 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
因为 ，所以 ，
⼜因为 平⾯ ，
所以 平⾯ ，
所以平⾯ 的⼀个法向量可以是 ，
设平⾯ 的法向量为
由题意 ，则 ，
所以 ，令 ，解得 ，故可取 ，
所以平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值为 .
19. 在如图所示的⼏何体 中，四边形 为菱形， ， ，
，⼆⾯⻆ 为120°.
第16⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（2）探究平⾯ 与平⾯ 是否垂直.
【答案】（1）
（2）不垂直
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，可得 ，可证平⾯ 平⾯ ，过 在
平⾯ 内作 平⾯ ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴建⽴如图所示的空
间直⻆坐标系，求得平⾯ 的⼀个法向量，利⽤向量法可求得直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（2）求得平⾯ 的⼀个法向量，利⽤向量法可判断平⾯ 与平⾯ 是否垂直.
【⼩问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，则 ，所以 是等边三⻆形，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以⼆⾯⻆ 的平⾯⻆为 ，则 ，
因为 ， 平⾯ ，所以 平⾯ ，
⼜因为 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ ，
过 在平⾯ 内作 平⾯ ，可得 ， ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
第17⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ，
则 ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平⾯ 的⼀个法向量为 ，
⼜ ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
所以直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值 ；
【⼩问2详解】
由于 ，
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
第18⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以平⾯ 的⼀个法向量为 ，
由（1）可知平⾯ 的⼀个法向量为 ，
所以 ，
所以平⾯ 与平⾯ 不垂直.
第19⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
