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新蔡县第一高级中学高二 2024 年 10 月份月考数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 两点都在直线 上，且 两点横坐标之差为 2，则 的面积为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算即得.
【详解】设 ，则 ， ，
显然点 不在直线 上，则 边 上的高 ，
所以 的面积 .
故选：B.
2. 已知点 为直线 上任意一点，则 的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．
【详解】 点 为直线 上任意一点，
又 的几何意义为直线上的点到 的距离，
故最小值为 到直线的距离，即最小值为
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
3. 曲线 与 轴围成区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程两边平方，可化为 ，这条曲线与 轴围成的区域是一个半径
的半圆，可求面积.
【详解】曲线的方程化为 ，即 ，
所以这条曲线与 轴围成的区域是一个半径 的半圆，其面积为 .
故选：B.
的
4. 已知曲线 ，设曲线 上任意一点 与定点 连线 中点为 ，则动点 的轨迹方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.
【详解】设 ，因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又因为点 在曲线 上，所以 ，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以点 的轨迹方程为 即 ．
故选：B
5. 若过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出点 到圆心的距离为 ，进而可得 ，结合二倍角的余弦公式计算即
可求解.
【详解】点 到圆心 的距离为 ，圆的半径为 ，
所以 ，于是 ．
故选：A．
6. 已知椭圆 的左、右焦点为 为 在第一象限的两个动点，且
，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合椭圆定义在 中由余弦定理求得 ，同理在 中利用余弦定理可
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学科网（北京）股份有限公司得 ，再由 可得 关系，进而得离心率.
【详解】连接 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得
，
即 ，
解得 ，即 .
由 可知 ，
在 中利用余弦定理可得
，
同理可解得 ，
又因为 ，即 ，
所以 ．
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线的右半支上，点 ，则
的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用双曲线的定义转化 ，再结合图象，求 的
最小值，再联立方程求交点坐标.
【详解】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立.
而直线 的方程为 ，由 可得 ，所以 ，
(3 1)
所以点 的坐标为 , .
2 2
(3 1)
所以当且仅当点 的坐标为 , 时， 的最小值为 .
2 2
故选：D.
8. 已知椭圆 ： 经过点 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的上
顶点和下顶点，若过 且斜率存在的直线 与椭圆 交于 两点，直线 与直线 的斜率分别
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学科网（北京）股份有限公司为 和 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得关于 ， ， 的方程组，从而可得 ， 的值，从而可得椭圆 的方程；设直线
，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出 和 ，作比，结
合根与系数的关系即可求解．
【详解】由题意可知 ， ， ，
椭圆 的标准方程为 ．
设直线 ： ，联立直线 和椭圆方程，
，得
，记 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意知 和 ．则 ， ，
则
，
所以 ．
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0分.
9. 已知圆 ，直线 ，则（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当 时，圆C上恰有四个点到直线 的距离等于1
D. 圆C与圆 恰有三条公切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线 过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断
圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线 的方程为 ，由 ，得 ，直线 过定
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学科网（北京）股份有限公司点 ，A正确；
对于B， ，即定点 在圆 内，则直线 与圆 相交且有两个交点，B正确；
对于C，当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离为 ，
而圆 半径为2，因此只有2个点到直线 的距离等于1，C错误；
对于D，圆 的方程化为 ，
其圆心为 ，半径为3，两圆圆心距为 ，
.
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确
故选：ABD.
10. 曲线 被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（
）
A. 曲线C关于直线 交于不同于原点 的A(x ,y ),B(x ,y )两点，则
1 1 2 2
B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
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学科网（北京）股份有限公司C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于 .
【答案】AC
【解析】
【分析】由对称性判断A，利用基本不等式求得曲线上的点到原点距离的最大值后可判断BCD．
【详解】因为由 可得 ，所以曲线关于原点对称，
又直线 过原点，所以A(x ,y )与B(x ,y )两点关于原点对称，
1 1 2 2
所以 ，所以A正确；
由 ，所以 ，
即： ①，当 取等号，此时，点 在曲线上，
而 ，所以 不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误，
点 可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确，
由①式知 ，所以D错误．
故答案为：AC．
【点睛】方法点睛：利用方程研究曲线的性质，利用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值．
11. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ，且 ，A、P、B为双曲线
上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线 与 斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
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学科网（北京）股份有限公司B. 双曲线C的离心率为
C. 若 ，则三角形 的周长为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可知 ，设 ，则 ， ，代入可
求解出 ，对A，根据 ，可求得实轴长为 ，可判断；对B，根据离心率 ，可判断
选项；对C，根据 ，可知 ，则 ，可求得
，所以三角形 的周长为 ，可判断；对D，设 与双曲线联立，
若有解，需要 解之可求出 取值，可判断选项.
【详解】根据题意可知 ，所以 ，设 ，则 ，
将 分别代入到双曲线后相减可得 ， 代入
可求解出 ，
对A，根据 ，解之可得 ，所以双曲线C的实轴长为 ，故A错误；
对B，根据离心率 ，将 代入可得 ，故B正确；
对C，根据 ，可知 ，则
，可求得 ，
所以三角形 的周长为 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对D，设 与双曲线 联立可得 ，若有解，
需要 解之可求出 或 ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】我们只要把 看作动点 与定点 的斜率 ，就可以结合图象得到 范围.
【详解】当点 与 重合，则 ，代入得 ，
当点 与 重合，则 ，代入得 ，
我们把 看作动点 与定点 的斜率 ，
再结合图象：
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学科网（北京）股份有限公司利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知 ，
故答案为： .
13. 如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分
线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___
【答案】
【解析】
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即
可出椭圆方程.
【详解】
连接 ，由线段 的垂直平分线与 相交点M，可得 ，
则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点M 的轨迹是以 为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则 ，即 ，
所以点M 的轨迹方程为： ，即 ，
故答案为： .
14. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ，动点 与点 在曲线上，且
满足 ，则该双曲线的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题干双曲线上点 满足 ,得到 ， 代入方程计算求解即可得出结
果.
【详解】依题意 ，
即 ，故 ，
又点 在曲线上，所以 ，即 ，
故双曲线的标准方程为 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知两直线 和 的交点为 ．
（1）若直线 过点 且与直线 平行，求直线 的一般式方程；
（2）若圆 过点 且与 相切于点 ，求圆 的标准方程．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）通过解二元一次方程组求解 的坐标，再结合互相平行两直线方程的特征运用代入法进行
求解即可；
（2）根据圆的切线的性质，结合待定系数法进行求解即可.
【小问1详解】
联立方程组 ，解得 ，
所以直线 和 的交点 ．
因为直线 与直线 平行，故可设直线 ．
又直线 过点 ，则 ，解得 ，
即直线 的方程为 ．
【小问2详解】
设所求圆的标准方程为 ，
直线 的斜率为 ，故直线CP的斜率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可得 ，解得 ，
故所求圆的标准方程为 ．
16. 已知圆C： ，直线l： 是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，
且圆E的圆心在直线 上．
的
（1）求公共弦AB 长度；
（2）求圆E的方程；
（3）过点 分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且 ，求四边形MRNS面
积的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值17，最小值
【解析】
【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；
的
（2）圆 圆心在直线 上，设圆心 ，求出圆心的半径即可得到圆的方程；
（3）对直线 ， 分两种情况讨论，即当过点 的互相垂直的直线 ， 为 轴，垂直
于 轴时和当过点 的互相垂直的直线 ， 不垂直于 轴时，写出四边形 面积的的表
达式，再利用函数知识求最大值与最小值．
【小问1详解】
圆 ，所以圆 的圆心坐标 ，半径 ，
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学科网（北京）股份有限公司圆心到直线 的距离 ，
公共弦 ；
【小问2详解】
圆 的圆心在直线 上，设圆心 ，
由题意得 ， ，即 ， 到 的距离 ，
所以 的半径 ，
所以圆 的方程： ；
【小问3详解】
当过点 的互相垂直的直线 ， 为 轴，垂直于 轴时， ，这时直线 的
方程为 ，代入到圆 中， ，
所以 ，四边形 的面积 ；
当过点 的互相垂直的直线 ， 不垂直于 轴时，
设直线 为： ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线 为： ，
所以圆心 到直线 的距离 ，圆心 到直线 的距离 ，
， ，
设 ，
当 或1时，正好是 轴及垂直 轴，
面积 ，
当 时， 最大且 ， 或1时， 最小 ，
四边形 面积的最大值17，最小值 ．
17. 已知椭圆 的右焦点为 ，斜率不为0的直线 与 交于 两点.
（1）若 是线段 的中点，求直线 的方程；
（2）若直线 经过点 （点 在点 之间），直线 与直线 的斜率分别为 ，求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用中点弦问题求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（ 2 ） 利 用 韦 达 定 理 得 到 再 根 据 斜 率 的 坐 标 表 示 可 得
，结合韦达定理可证明.
【小问1详解】
设 ，则有 ，
且 ，作差可得 ，
所以 ，
由点斜式得， ，
整理得 即为直线 的方程.
【小问2详解】
不妨设 的直线方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由韦达定理得，
所以 ，
因为 ，
所以 为定值.
18. 已知双曲线一条渐近线方程为 ，且点 在双曲线上.
（1）求双曲线标准方程，
（2）若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
【答案】（1） ;
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解；
（2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果.
【小问1详解】
由双曲线一条渐近线方程为 ，可以该双曲线方程为 ，
由点 在双曲线上，可得 ，即 ，
所以双曲线标准方程为 .
【小问2详解】
由双曲线标准方程为 可知：左顶点 的坐标为 ，右焦点为 的坐标 ，
可设双曲线右支上任意一点 ，且 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为 满足双曲线方程，则 ，
所以 ，
由于二次函数 的对称轴是 ，
所以当 ， 单调递增，
即当 时，二次函数 有最小值 ，
所以 的最小值是 .
19. 已知椭圆 的左、右焦点别为 ， ，离心率为 ，过点 的动直线l交
E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直， 的周长为 ，直线 与E交于另一点
C，直线 与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程；
（2）设点A(x ,y )，B(x ,y )， ， ， 的方程为 ，联立直线与
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椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果
直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标.
【小问1详解】
由椭圆定义可知 ，|BF |+|BF |=2a，
1 2
所以 的周长为 ，所以 ，
又因为椭圆离心率为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以椭圆的方程： ．
【小问2详解】
设点A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，
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则直线 的方程为 ，则 ，
由 得， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
同理， ， ，
由A， ，B三点共线，得 ，所以 ，
直线CD的方程为 ，
由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，
令 得，
，
故直线CD过定点 ．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
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