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2025-2026学年高二上学期一调考试（10月）数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C．0 D．不存在
2．在空间直角坐标系 中，点 关于 平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D． ）
3．如图，在四面体 中， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
5．已知一条入射光线经过 两点，经 轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在正三棱锥 中， ，点 为空间中的一点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥 的各棱长均相等，点E是 的中点，点F是 的中点，则异面直线 和
所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．8．在 中，顶点 ，点 在直线 上，点 在 轴上，则 周长的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若两个不同平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
B．若 ， ， ，则点 在平面 内
C．已知 ， ，则与 方向相同的单位向量是
D．若 ， ， 是空间的一组基，则向量 ， ， 也是空间的一组基
10．若点 到直线 的距离相等，则下列结论可能成立的是（ ）
A． 过原点 B． 过点
C． 且 D．直线 可能过点
11．如图，在棱长为1的正方体 中，点 满足 ， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 平面B．当 时，
C．当 时， 长度的最小值为
D．当 时，存在点 ，使得 与平面 所成的角为
三、填空题
12．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量坐标为 .
13．已知经过点 的直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的3倍，则直线 的方程为 ．
14．在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别是底面 、侧面 的中心，点
分别是棱 ， 所在直线上的动点，且 ，当 取得最小值时，点 到平面 的距离为
.
四、解答题
15．已知 的三个顶点分别为 ， ， .
(1)求边 上的高 所在直线的方程；
(2)求边 上的中线 所在直线的方程.
16．对于空间任意两个非零向量 ，定义新运算： .
(1)若向量 .求 ；
(2)若两个单位向量 满足 ，求向量 夹角的余弦值.
17．如图，平面 平面 ，四边形 是正方形， ．(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．已知直线 恒过点 ，且与 轴， 轴分别交于 两点， 为坐标原点.
(1)求点 的坐标；
(2)当点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程；
(3)当 取得最小值时，求 的面积.
19．如图，三棱锥 中，平面 平面 ， 是等边三角形， 是以 为斜边的等
腰直角三角形， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点（不含端点）．
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且球 的表面积为 ．
（ⅰ）求三棱锥 的体积；
（ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B C C D C BD ABD
题号 11
答案 AB
1．C
由直线方程即可求解.
【详解】由方程 ，可知直线与 轴平行，
倾斜角为0，
故选：C
2．A
根据空间对称性即可得到答案.
【详解】点 关于 平面对称的点的坐标为 .
故选：A.
3．C
根据空间向量的线性运算即可得到结果.
【详解】由题意得， ，
，
∴ .
故选：C.
4．B
由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为 ，
可得： ，
解得 ，
故选：B
5．C
求得 关于 轴的对称点，即可求解.【详解】 关于 轴的对称点坐标分别为 ，
由对称性可知反射光线经过 ， ，
所以反射光线所在直线方程为 ，
即 .
故选：C
6．C
记 的重心为 ，点 是 的中点，点 是 的中点，进而求得 ，利用空间向量加减、数
乘的几何意义，将 化为 ，数形结合求最小值.
【详解】记 的重心为 ，点 是 的中点，点 是 的中点，
在正三棱锥 中 ，所以 ，
平面 ，又 平面 ，所以 ，则 .
又 ，
所以
，
所以当 与 重合时， 取最小值0，
此时 有最小值 .
故选：C7．D
设 相交于点O，以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出直线
和 的坐标，利用向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】设 相交于点O，根据题意，以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系，如图所示，
不妨设 ，则 ， ，
则 ， ， ， ， ，
因为点E是 的中点，点F是 的中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
则 ，
因为异面直线夹角的取值范围是 ,
所以异面直线 和 所成角的余弦值是 ．
故选:D．
8．C
利用对称，将直线 同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可
知.【详解】设 关于直线 的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ， 与 的交点即为 ，与 轴的交点即为
.
如图， 两点之间线段最短可知， 的长即为 周长的最小值.
设 ，则
解得 即 ，
关于 轴的对称点为 ，
故 周长的最小值为 .
故选：C.
9．BD
对于A，根据平面法向量的位置关系，可得平面的位置关系，可得答案；
对于B，根据三个向量之间的线性关系，可得答案；
对于C，利用空间向量的坐标表示，求得其模长，结合单位化，可得答案；
对于D，根据空间中基底的定义，结合条件，可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ， ， 共面，即点 在平面 内，故B正确；
因为 ， ，所以 ，
所以与 方向相同的单位向量是 ，故C错误；
若 为共面向量，则存在不全零的实数 使得 ，
故 ，
而 ， ， 是空间的一组基，
故 ，矛盾，故 不共面，故 为一组基底，故D正确.
故选：BD.
10．ABD
通过直线 与直线 平行或相交，通过特殊值逐个判断即可.
【详解】由 得 ，直线方程为
对于A，取 ，则 过原点和 平行，满足点 到直线
的距离相等， 正确；
对于B，当直线 与直线 相交时，
因为点 到直线 的距离相等，
所以 的中点 在直线 上，B正确；
对于C，当 时，即 ，此时直线 与直线 相交，
由B可知： ，若 ，则 ，前后矛盾，C错误；
对于D，当直线 与直线 相交时，由B可得 ，即 ，
即直线 可能过点 ，D正确，
故选：ABD
11．AB
对于A，确定点 在线段 上，得到 可判断；对于B，确定 平面 ，可判断；对于
C，确定 三点共线，线段 在 中，可得到点 为 中点时， 最小，即可判断；对于
D，由 ，结合 ，求得范围，即可判断.
【详解】
对于A，当 时， ，即点 在线段 上，则 ，又 平面
， 平面 ， 平面 ，A正确
对于B， 平面 ，且 平面 ， ，
， 又 平面 ，且相交， 平面 ，又 平面 ，
，B正确
对于C，当 时， ，即 ，即 三点共线，线段 在 中，因为 ，所以当点 为 中点时， 最小，此时 ，
，C错误
对于D，点 在平面 上的射影为点 ，所以 与平面 所成的角为 ，
，又 ，所以 ，所以 ，又
， 所以 ，D错误
故选：AB
12．
利用投影向量公式结合坐标运算即可.
【详解】 在 方向上的投影向量是：
，
故答案为： .
13．
求出直线 的斜率和倾斜角，得出直线 的斜率，用点斜式写出直线方程，再化为一般式．
【详解】设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，所以 ，
故 ，
所以过点 的直线 的方程为 ，
即 ，
故答案为： ．
14．
建立空间直角坐标系，根据 探索 两点坐标之间的关系，确定 最小时 两点的坐标，
再用空间向量的方法求点到面的距离.
【详解】如图所示,建立空间直角坐标系 ，
则 ,设 ,
则 ，
因为 ,所以 ,即 ，
所以 ,又 ,
则 ，当 时, 取得最小值，
此时 ,即 ，
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ,
令 ,解得 ,所以 ,
则点 到平面 的距离为
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）先求得直线 的斜率，利用点斜式求得边 上的高 所在直线的方程.
（2）先求得 点坐标，再根据两点式求得边 上的中线 所在直线的方程.
【详解】（1） ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为
（2）线段 的中点 ，
所以直线 所在直线方程为 .16．(1)0；
(2) ；
（1）利用空间向量的坐标运算求出 ，再利用给定定义求解即得.
（2）利用数量积的运算律及给定的定义，列式求出向量 夹角的余弦值.
【详解】（1）由 ，得 ，则 ，
所以 .
（2）由 是单位向量，得 ，
设 的夹角为 ，则 ，
，而 ，
因此 ，解得 ，
所以 夹角的余弦值为 .
17．(1)证明见解析
(2)
（1）证明 平面 ，证明 ，证明 平面 ，证明 ；
（2）证明 平面 ，证明 ，证明 ，以 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解.
【详解】（1）证明：因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ， 又 平面 ，
所以 ．因为四边形 是正方形，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）由（1）知 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又四边形 是正方形，所以 ，
所以 两两垂直．
以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．(1)
(2)
(3) 或
（1）把直线 的方程可化为 ，联立方程组，即可求解；
（2）当 时，点 到直线 的距离最大，结合 ，求得 ，即可求得直线 的方程；
（3）分别求得 和 ，得到 ，结合基本不等式，得到 ，分类讨
论，即可求得 的面积.
【详解】（1）解：直线 的方程可化为 ，
令 ，解得 ，即点 的坐标为 .
（2）解：当 时，点 到直线 的距离最大，此时直线 的斜率 与直线 的斜率 满足 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（3）解：令 ，可得 ，所以 ；
令 ，可得 ，所以 ，且 ，
可得 ，
所以
当且仅当 时，等号成立，
当 时，直线 的方程为 ，此时 ，
可得 的面积为 ；
当 时，直线 的方程为 ，此时 ，
可得 的面积为 ，
综上可得， 的面积为 或
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【详解】（1）证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）（ⅰ）如图，连接 ．
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形， 为 中点，
所以点 是 外接圆的圆心．
因为 是等边三角形， 是 中点，所以 外接圆的圆心在 上．
又平面 平面 ，所以球 的球心 即为 外接圆的圆心．因为球 的表面积 ，所以球 的半径 ，
所以 ， ， ，
所以三棱锥 的体积 ．
（ⅱ）如图，以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 ，则 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
令 ，则 ，当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号．
