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扶沟县高级中学2025-2026学年高二快班上学期10月月考数学B卷
一、单选题
1．在四面体 中， （ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 经过点 ，且方向向量 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l的一个方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，若 ，则m=
（ ）
A． B． C．-8 D．8
5．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段
MN上，且 ，现用向量 ， ， 表示向量 ，设 ，则x，y，z
的值分别为（ ）
A． B．
C． D．6．椭圆 的两个焦点为 ， ，椭圆C上有一点P，则 的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
7．已知 是方程 的两个不等实数根，则点 与圆 的位置关系是
（ ）
A．点 在圆内 B．点 在圆上
C．点 在圆外 D．无法确定
8．若圆 上点到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间向量 ， ， ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 轴上的截距为
B． 过定点
C．若 ，则 或
D．若 ，则
11．若圆 ： 与圆 ： 的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线AB的方程为C．AB中点的轨迹方程为
D．圆 与圆 公共部分的面积为
三、填空题
12．已知 的三个顶点 ， ， ，则 边上的垂直平分线所在直线的方程为
．
13．经过点 的直线 与圆 相切于 ， 两点，则四边形 的面积为 ．
14．已知M，N为圆 上两点，且 ，点 在直线 上，则
的最小值为 .
四、解答题
15．已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
(1)求过点 且与直线 平行的直线的方程；
(2)求 边上的高所在直线的方程.
16．已知 的三个顶点 .
(1)求 的外接圆方程；
(2)若直线 过点 ，且 的纵截距是横截距的2倍，求直线 的方程．
17．如图，正方体 的棱长为2，E是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．已知圆 ，圆 .
(1)若圆 与圆 恰有三条公切线，求实数 的值；
(2)设 时，圆 与圆 相交于 、 两点，求 .
19．如图，四棱锥 的底面 是正方形， ，侧面 是等边三角形，平面 平面
， 在线段 上.
(1)若 为 的中点，求证： 平面 .
(2)求侧面 与底面 所成二面角的余弦值
(3)若 与 所成角的正弦值为 ，求题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C C C B ABD ABD
题号 11
答案 BC
1．B
【详解】根据向量的加法、减法法则，得 ，
故选：B.
2．B
【详解】因为直线 的方向向量 ，所以直线的斜率为2，
又直线 经过点 ，所以直线方程为 ，即 .
故选：B.
3．C
【详解】令 和 的夹角为 ，
则 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
4．B
【详解】由 ，得 ，即 ，解得 .
故选：B
5．C
【详解】由题设
，结合 ，得 ，
故选：C
6．C
【详解】因为 ， ，所以 ，故 的周长为 ．
故选：C
7．C
【详解】因为 是方程 的两个不等实数根，且 .
所以 ， .
所以点 在圆 外.
故选：C.
8．B
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到已知直线 的距离 ，
依题意得 ，即 ，解得 .
故选：B
9．ABD
【详解】对于A， ，故A正确，
对于B，由于 ，则 ，故 ，B正确，
对于C， ，故 与 不垂直，故C错误，
对于D， ，D正确，
故选：ABD10．ABD
【详解】对于A，令 时， ，则 在 轴上的截距为 ，故A正确；
对于B，直线 ，当 时 ，所以直线 恒过 ，故B正确；
对于C，若 ，则 且 ，故 ，故C错误；
对于D， 等价于 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD.
11．BC
【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为 ，即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为1，且公共弦AB的长为1，则 到直线 的
距离为 ，所以 ，解得 ，
所以直线AB的方程为 ，故A错误，B正确；
由圆的性质可知直线 垂直平分线段 ,所以 到直线 的距离即为AB中点
与点 的距离，设AB中点坐标为 ，因此 ，即 ，故C正确；
因为 ，所以 ，即圆 中弧 所对的圆心角为 ，所以扇形的面积为
，三角形 的面积为 ，所以圆 与圆 公共部分的面积为
，故D错误.故选：BC.
12．
【详解】 两点的中点为 ，即 ，
边所在直线的斜率为 ，
则 边上的垂直平分线所在直线的斜率为 ，
则 边上的垂直平分线所在直线的方程为 ，
即 .
故答案为： .
13．12
【详解】由题可知圆 的圆心 ，半径 ，
如图，连接 ，则 ，
因为 ， 是圆 的切线，
所以 ， ，所以 ，
所以四边形 的面积 ，
故答案为：12.
14．
【详解】设线段MN的中点为 ，圆： 的圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线MN的距离为 ，所以 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
设点 的轨迹为圆 ，圆 上的点到直线 的最短距离为 .
所以 .
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由 ， 可知 ，
故所求直线的方程为 ，
即 .（2）易知 ，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为 ，
即 .
16．(1)
(2) 或
【详解】（1）方法1：依题意，直线 的斜率不存在，直线 的斜率为 ， 是 的直角三
角形，所以 的外接圆是以斜边 的中点为圆心，斜边 为直径的圆，因为
，设圆心为 ，由中点坐标公式可知 ，
，所以圆 的标准方程为 ．
方法2：依题意，设圆 方程为 ，
则 ，解得 ，
所以圆 方程为 ，标准方程为 ．
方法3：依题意，设圆 方程为 ，
则 ，解得 ，所以圆 的标准方程为 ．（2）依题意，当直线 经过原点时，设直线 方程为 ，代入点 得 ，所以直线 方程
为 即 ，
当直线 不经过原点时，设直线 方程为 ，由于 ，即 ，
代入点 得 ，所以直线 方程为 ，即 ，
综上可知，直线 方程为 或 ．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，在正方体 中有 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又因为四边形 是正方形，E是 的中点，
所以 ，又 , 平面 ，
所以 平面 ；
（2）以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，由棱长为2，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，令 得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．(1) 或
(2)
【详解】（1）因圆 与圆 恰有 条公切线，所以两圆相外切
圆 ，得圆心 ，半径 .
又圆 ，得圆心 ，半径 .
所以圆心距 ， ，
所以 ，得 ，解得 或 .
（2）当 时，圆 ，此时两圆的圆心距 ，两圆相交.
将两圆方程相减得直线 的方程为 .所以圆心 到直线 的距离 ，且半径 ，
由圆的弦长公式得 .
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
因为三角形 是等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为四边形 是正方形，所以 ，
以 为坐标原点，以 所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以侧面 与底面 所成二面角的余弦值为 .
（3）设 ，由（2）可得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又因为 ， 与 所成角的正弦值为
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
