文档内容
高二数学试卷
考试时间：2025年11月12日 14：30-16：30 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 过椭圆 的左焦点 的直线交椭圆于 ， 两点， 为椭圆的右焦点，则 的周长为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长.
【详解】由椭圆的定义可得： ，
的周长为： ．
故选：B．
2. 已知直线 与 平行，那么k的值为（ ）
A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2
【答案】C
【解析】【分析】讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法.
【详解】当 时，两直线为 ，满足题意；
当 时，因已知两条直线平行，所以 ，解得 .
另解：把 代入已知两条直线方程，得 与 ，
此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以 ，排除A，B，D.
故选：C
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.
【详解】由 ，得 ．
故选：B
4. 在空间直角坐标系中，若 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得 ，得到 ，结合向量模的计算公式，
即可求解.
【详解】由向量 ，
因为 ，可得 ，解得 ，所以 ，则 ，所以 .
故选：D.
5. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.
【详解】已知直线 的一个方向向量为 ，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率
. 因为直线的斜率 ，且 ，所以 .
故选：A.
6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿
色骰子的点数，用 表示一次试验结果，设事件 ；事件 ：至少有一颗点数为6；事件
；事件 .则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 为互斥事件 B. 事件 与事件 为互斥事件
C. 事件 与事件 相互独立 D. 事件 与事件 相互独立
【答案】D
【解析】
的
【分析】A选项，写出事件 包含 情况，得到 ，A错误；B选项，写出事件 包含的情
况，结合A选项，得到 ，B错误；C选项，写出事件 包含的情况，故
，C错误；D选项，写出事件 和 包含的情况，得到，D正确.
【详解】A选项，事件 包含的情况有 ，
事件 ：至少有一颗点数为6包含的情况有
，
故 ，事件 与事件 不为互斥事件，A错误；
B选项，事件 包含的情况有
，
故 ，事件 与事件 不为互斥事件，B错误；
C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有 种情况，
故 ，
事件 包含的情况为 ，故 ，
故 ，故事件 与事件 不相互独立，C错误；
D选项，事件 包含的情况有
，
，共18种情况，
故 ，
事件 包含的情况有： ，
故 ，因为 ，所以事件 与事件 相互独立，D正确.
故选：D
7. 若两条直线 与圆 的四个交点能构成矩形，
则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意，直线 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且 ，
由圆 的圆心为 ，
圆心到 的距离为 ，
圆心到 ： 距离为 ，
的
所以 ，整理得到 ，
由 ，所以 ．
故选：D．
8. 已知点 及圆 ，点 ， 在圆 上，若 ，则 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，当四边形 为正方形且 时， 取得最小值或最大值，求出 的坐标即可得出答案．
【详解】如图所示，
当四边形 为正方形且 时， 取得最小值或最大值．
由图可知 所在直线斜率 ，则 方程为 ，
则 与圆 的两个交点分别为 、 ， ，
解得 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 的最小值为： ，最大值为： ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选：A．
【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM的方程，进而可求得M点坐标，即可求得答案，
考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 ， ， 分别为它的左右焦点， 分别为它的左右顶点，点 是椭圆上的
一个动点，下列结论中正确的有（ ）A. 短轴长是3 B. 的周长为15
C. 离心率 D. 若 ，则 的面积为9
【答案】CD
【解析】
【分析】根据短轴长 的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率 来判断C；利用勾
股定理以及椭圆的定义求出 可判断D.
【详解】A，由 ，可得 ， ，所以椭圆 的短轴长为 ，故A不正确；
B， 的周长为 ，故B不正确.
C，离心率 ，故C正确；
D， ， ，
又因为 ，所以 ，
即 ，解得 ,
所以 ，故D正确.
故选：CD
10. 如图，在正方体 中， 为底面 的中心，E，F分别为 ， 的中点，
P点满足 ，则（ ）A. 平面 B. 平面
C. D. P，G，E，F四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断 ABC；求出 点坐标，再推导出
判断D.
【详解】在正方体 中，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ，则 ，
，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
对于A， ，且 平面 ，则 平面 ，A正确；对于B， ， 平面 ，则 平面 ，B正确；
对于C， ， ， ， ，
则 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，
即 ，则 ， ，即 ，
因此 ，即 四点共面，D正确.
故选：ABD.
11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 （ ）的点的轨
迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 满足
，设点 的轨迹为圆 ，下列结论正确的是（ ）
A. 圆 的方程是
B. 过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
C. 过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 距离为2，该直线斜率为
D. 在直线 上存在异于 ， 的两点 ， ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 ， ，点 满足 ，设点 ，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.【详解】因为 ， ，点 满足 ，
设点 ，则 ，
化简得： ，即 ，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线 ，因为圆 上恰有三个点到直线 距离为2，则圆心到
直线的距离为： ，解得 ，故C错误；
假设存在异于 ， 的两点 ， ，则 ，
化简得： ，因为点P的轨迹方程为：
，所以 解得 或 （舍去），故存在
，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据 求出点 的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求
解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设向量 ， ， 不共面，已知 ， ， ，
若A，C，D三点共线，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】方法一、根据题意，得到 ，根据A，C，D三点共线得 ，再利用向量相等的
条件求解参数即可；方法二、假设 为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计
算即可.
【详解】方法一、因为 ， ， ，
所以 ．
因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得 ，
即 ，
即 ，解得 ．
方法二、因为向量 ， ， 不共面，所以可假设 为空间的一个单位正交基底，
则 在此基底下的坐标为 ，同理 ， ，
则 ，
若A，C，D三点共线，则 ，
即 ，解得 ．
故答案为：0.
13. 柜子里有3双不同的鞋子，分别用 表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件 的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.
【详解】设 表示三只左鞋， 表示三只右鞋，
则从中有放回取出2只的所有可能为：
，共计36种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，
.
故答案为： .
14. 棱长为 的正四面体 中，点 为 所在平面内的动点，且满足 ，则直线
与直线 所成的角的余弦值的最大值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用给定条件判断 的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦
值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可.【详解】首先，记 在底面 内的投影为 ，则 底面 ，
为
因 平面 ，所以 ，
因为正四面体 ，所以 是等边三角形，
由题意得 ， 是 的中心，
则 ，
由题意得 ，则 ，
所以 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
建立如下图所示的空间直角坐标系：
设 与 轴正半轴所成的角为 ，则 ，
，
所以 ，
设直线 与直线 所成的角为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即直线 与直线 所成的角的余弦值的最大值为 .故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
的
15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年 梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复
检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三
位同学通过复检关的概率分别是 ，他们能通过文考关的概率分别是 ，若后三关
之间通过与否没有影响．
（1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率 ，
所以甲、乙都能进入政审这一关的概率 .
【小问2详解】
甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，
所以恰好有两个人通过复检的概率
.
16. 在 如 图 所 示 的 平 行 六 面 体 中 ， ， ， ，
， ，设 ， ， .（1）用 ， ， 表示 ， ， ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；
（2）应用空间向量数量积公式计算 ，再应用异面直线所成角的余弦公式计算求解.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
因为 ， ，
，
又 ， ，
所以 ，，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则
17. 已知圆 过两点 、 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）求过点 的圆 的切线方程；
（3）若直线 的横截距为 ，纵截距为 ，直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的最小
值．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆心为 ，根据 结合两点间的距离公式可求出 的值，可得出圆心
的坐标，进而可求出圆 的半径，由此可得出原 的标准方程；
（2）分析可知，点 在圆 外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证
即可；在直线斜率的存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，
综合可得出切线的方程；
（3）利用直线截圆的弦长可得出圆心 到直线 的距离为 ，求出直线 的方程，利用点到直线的距离公式可得出 ，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得 的最小值.
【小问1详解】
解：因为圆心 在直线 上，设圆心为 ，
因为点 、 在圆 上，所以 ，
即 ，解得 ，
所以圆心 ，半径 ，所以圆的标准方程为 .
【小问2详解】
解：由（1）可得圆 ，则圆心 ，半径 ，
因为 ，则点 在圆 外，
当过点 的直线斜率不存在，则直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，故直线 为圆 的切线；
当过点 的直线斜率存在，
可设直线方程 ，即 ，
圆心 到该直线的距离 ，
由直线 与圆 相切，则 ，即 ，
可得 ，解得 ，
此时，直线方程为 ，即 ，
综上，切线的方程为 或 .
【小问3详解】解： 直线 被圆 截的弦长为 ，
所以，圆心 到直线 的距离为 ，
又直线 的横截距为 ，纵截距为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，整理可得 ，
由 ，得 ，即 ，
解得 或 ，
因为 ， ，则 ，则 ，故 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 的最小值为 .
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，
， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；（3）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成角（即两个平面相交时所成的锐二面
角）的余弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到 ，进而得到线面垂直，最后得到平面 平面 .（2）
建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可；
（3）结合（2），设 ，得到平面 的一个法向量，结合题意，构造方程计算 即可.
【小问1详解】
由 平面 平面 ，则 ，
又 ，由 ，且 平面 ，
所以 面 ，
又 面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
由（1）易知 ，又 ，过 作 于 ，
由面 面 ，面 面 面 ，
所以 面 ，
过 作 ，易知 ，
故可构建如图示空间直角坐标系.又 ，
则 ，
所以 ，
若 是面 的一个法向量，
则 解得 ，
所以点 到平面 的距离 .
【小问3详解】
同（2）构建空间直角坐标系，易知平面 的法向量
设 ，
于是
，
，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，因为平面 与平面 所成角的余弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，即 或 （舍）
故 ，所以
19. 已知圆 与圆 相外切.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）已知 ，P为圆 上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定
值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在定点B，B的坐标为 .
【解析】
【分析】（1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可
（2）将 转化点 到圆心 与圆心的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可；
（3）设 ， 用式子表示，
分析得到 取得定值即可.
【小问1详解】
圆心 圆心
因为圆 与圆 相外切，
所以 即 解得 或
因为 ，所以 舍去，故
故圆 的标准方程为
【小问2详解】
若 ，则点 在直线 上，
则 表示点 到圆心 与圆心 的距
离之和，
设如图 关于直线 对称点 ，则 得 ，则点
数形结合易知， 到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于 即
【小问3详解】
假设存在定点B，设 ，
则
当 即 时， 为定值，且定值 ，
故存在定点B，且B的坐标为 .
