重庆市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案（康德卷）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年07月试卷_0706重庆市2024年春高二下学期7月期末联合检测（康德卷）

2024 年春高二(下)期末联合检测试卷
数 学
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条
形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作
答。若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知 f(x)是函数 f(x)的导函数，则满足 f(x)  f(x)的函数 f(x)是
A． f(x) x2 B． f(x)ex C． f(x)lnx D． f(x)tanx
2． 如图是学校高二 1、2 班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名
学生的中期考试数学成绩统计，那么
1.0
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 0.8 优秀
0.6
不优秀
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 0.4
0.2
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 0.0
1班 2班
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
3． 对于函数 f(x) x3bx2 cxd ，若系数b，c，d可以发生改变，则改变后对函数 f(x)的单调性没有影
响的是
A．b B．c C．d D．b，c
14
4． 某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高 y cm与其父亲身高x cm的经验回归方程为yˆ  x29，
17
当地人小王16岁时身高167 cm，他父亲身高170 cm，则小王身高的残差为
A．3 cm B．2 cm C．2 cm D．3 cm
5． 若函数 f(x)(x2 bx1)ex，在x 1时有极大值6e1，则 f(x)的极小值为
A．0 B．e3 C．e D．2e3
6． 甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有
A．48种 B．96种 C．108种 D．120种
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第1页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}7． 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值
为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为
A．1.2 B．2.4 C．2.88 D．4.8
1 2 2 1
8．若样本空间中的事件A，A，A 满足P(A) P(A A ) ，P(A ) ，P(A A ) ，P(A A ) ，
1 2 3 1 1 3 4 2 3 2 3 5 2 3 6
则P(AA )
1 3
1 1 2 5
A． B． C． D．
14 7 7 28
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9． 若随机变量X 服从正态分布N(1， 22)，已知P(X 0) p，则
A．P(X 0)1 p B．P(X 2)1 p
C．P(0 X 2)1 p D．P(1 X 2)12p
3
10．已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域都是R，若函数 f(x)的图象关于点(1， )对称，f(x)为偶函数，
2
则
3
A． f( )1 B． f(12x) f(12x)3
2
C． f(x)的图象关于直线x 1对称 D． f(x)的最小周期是1
11 ． 设 M ， N 都 是 不 小 于 3 的 整 数 ， 当 i 1， 2， ，M 1 时 ， x 1， 2， ， N ， 设 集 合
i
A  (x，x ) x  x ，i 1， 2， ， M  ，如果(a，b)A与(b，a)A不能同时成立，则
i i1 i i1
A．若M  N  x 3，则A(3， 1)， (1， 2)， (2， 3)或(3， 2)， (2， 1)， (1， 3)
1
B．若N 4，则M 的可能取值为3或4或5
1
C．若N 的值确定，则M  N(N 1)
2
1
D．若N 为奇数，则M 的最大值为 N(N 1)
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．(x1)6的展开式中x5的系数为 ．
13．已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为92%，那么在50次运行中，平均准点班次约为 次．
a
14．已知x，x 是 f(x) x4lnx 的两个不同的极值点，且 f(x )4≤f(4x )，若 f(a)ba3恒
1 2 x 1 1
成立，则实数b的取值范围是 ．
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第2页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的．中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾
病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的．为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床
试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，
其中35名痊愈，25名未痊愈．
（1）根据上述信息完成下列22列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤
服用白开水
合计
（2）依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论．
n(ad bc)2
附：参考公式：2  ，nabcd ．
(ab)(cd)(ac)(bd)
 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635

16．（15分）
口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”．
（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；
（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为X ，求X 的分布列与数学期望．
17．（15分）
2023年我国汽车出口跃居世界首位．整车出口491万辆，同比增长57.9%．作为中国外贸“新三样”之一，
新能源汽车成为出口增长新动能．已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量C（单位：KWh）与
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第3页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}1012
速度v（单位：km/h）在km/h的函数关系为C(v)=lnv+0.5v+ -40．假设电价是1元/KWh．
v
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
3.35´105
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资+ -5700，甲地到
v
乙地的距离为km，最经济的车速是km/h，则司机每小时的工资为多少元？
18．（17分）
国家对化学元素镓（Ga）相关物项实施出口管制．镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景
十分广阔．某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机
抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比．设x (i1， 2， ， 17)表示一天的17次检测得到的镓含量
i
1 17 1 17
（单位：%）的监测数据，并记监测数据的平均数x  x ，标准差s (x x)2 ．设X 表示镓合
17 i 17 i
i1 i1
金中镓含量（单位：%），且X ~ N(，2)，当k 为正整数时，令 p  P(k X k)，根据表
k
中的 p 和 p 17值解答：
k k
k 1 2 3 4
p 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
k
p 17 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
k
（1）记Z 表示一天中抽取17次的镓含量X (3，3)的次数，求P(Z 0)及Z 的数学期望；
（2）当一天中至少1次监测镓含量X (3，3)，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改
进．已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得x 20，s 0.82．若用该天监测数
据得的x 和s分别估计为和且X ~ N(，2)，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
（3）若去掉一天中的监测结果x ，设余下的数据标准差为，请用数据x，s，x 表示．
1 1
19．（17分）
设e为自然对数的底数，已知函数 f(x)(lnx2)2．
（1）当函数 f(x)图象的切线经过原点时，求切线的方程；
m2
（2）当实数m满足elnmm0，a，b( ， )且ab2，求 f(a) f(b)的最大值．
e2
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第4页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}2024 年春高二(下)期末联合检测试卷
数学 参考答案
一、选择题
1~8 BACB DBDA
第8题提示：P(A ) P(A )P(A | A )P(A )P(A | A )  P(A )P(A | A )(1P(A ))P(A | A )，解得
2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
5 P(AA ) P(A | A )P(A )
P(A ) ，P(A | A)1P(A | A)1 1 3 1 1 3 3 ，
3 7 3 1 3 1 P(A) P(A)
1 1
1 1 5 1
P(AA ) P(A | A)P(A) P(A)P(A | A )P(A )=    .
1 3 3 1 1 1 1 3 3 4 4 7 14
二、选择题
9．AB 10．BC 11．ABD
第11题提示： 对A，当N 3，则x {1,2,3}，i 1,2,3,4，则A{(x ,x ),(x ,x ),(x ,x )}，x 3，则x
i 1 2 2 3 3 4 1 2
可取1或 2 ，由于 (a,b)A ， (b,a)A 不能同时成立，则 A{(3,1),(1,2),(2,3)} 或
{(3,2),(2,1),(1,3)} ，A 成立，当 N 4 时，则 x {1,2,3,4} ，设 x 1 ，则 A 可以是
i 1
{(1,2),(2,3),(3,4)}或{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}或{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3)}，所以M 的值
可以是3,4,5，对于D，因为(a,b),(b,a)不能同时出现，所以满足条件的数对至多C2 ,则M C2 ，
N N
下归纳说明奇数时候能取等，N 3已证，若N 2k1时候存在一个长为C2 1的数列满足
2k1
题意，不妨首项为1，设数列为1，x ,,x ，当N 2k1时，在数列1，x ,,x 前
2 C2 1 2 C2 1
2k1 2k1
面 添 加 如 下 的 4k1 项 ，（ 在 1，2,3，2k 中 插 空 ， 交 替 插 入 2k1,2k ）
1，2k 1,2,2k,3,2k 1,4,2k，，2k,2k 1,2k 1,2k
则新生成的数列共有4k1C2 1C2 1项满足条件.则D正确C错误.
2k1 2k1
三、填空题
12．6 13．46 14．(,e3e5)
4 a x2 4xa
第14题提示：f(x)1   (x0)，由题意，x ,x 是x2 4xa0的根，则有x x 4，
x x2 x2 1 2 1 2
x x a0， 164a 0，有0a4，又 f(x )4f(4x )，即 f(x ) f(x )4，
1 2 1 1 1 2
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第5页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}a a
x 4lnx  x 4lnx  4，lna1，即有 ea4 ，又 f(a)ba3 ，即
1 1 x 2 2 x
1 2
4
ba3a4lna1，令g(a)a3a4lna1(ea4)，g(a)3a2 1 0，g(a)在
a
[e,4)是增函数，所以be3e5.
四、解答题
15．（13分）
解：（1）根据上述信息完成下列22列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤 30 10 40
服用白开水 35 25 60
合计 65 35 100
……6分
（2）零假设为
H ：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
0
根据列联表中的数据，经计算得到
100302510352
2  2.932.706 x ……10分
40606535 0.1
根据小概率值0.1的2独立性检验，我们推断H 不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推
0
断犯错误的概率不大于0.1.
……13分
16．（15分）
解：（1）设A=“第1次至少抽到一个红球”，则A=“第1次抽到2个球都是白球”，
第 1次抽取的样本空间包括C2 15个样本点，即n()15，而n(A)C2 6，
6 4
n(A) 6 3
所以P(A)1P(A)1 1  ，
n() 15 5
3
即第1次至少抽到一个红球的概率是 ； ……6分
5
（2）由题意知X 0，1，2，且每次抽到红球个数的概率相等，
C2 2 C1C1 8 C2 1
P(X 0) 4  ，P(X 1) 2 4  ，P(X 2) 2  ，
C2 5 C2 15 C2 15
6 6 6
即 X 的分布列为：
X 0 1 2
2 8 1
P
5 15 15 ……12分
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第6页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}8 1 2
所以 E(X) 1 2 .
15 15 3
……15分
17．（15分）
1012
解：（1）由C(v)=lnv+0.5v+ -40
v
v2 +2v-2024
有C¢(v)= ，令C¢(v)=0，得v= 44 km/h
2v2
所以当车速为44km/h时，车辆每千米的耗电量最低
……6分
100
（2）设司机的工资为a 元，则行车的总费用为
v
1012 100 3.35´105
F(v)=100(lnv+0.5v+ -40)+ a+ -5700 ……10分
v v v
100(0.5v2 +v-4362-a)
F¢(v)= ,由题意知v=94 km/h时，F¢(v)=0，
v2
得a =150，即司机每小时的工资为150元.
……15分
18．（17分）
解：（1）由题意得1次监测镓含量X (3,3)的概率为0.9973，
镓含量X (3,3)的概率为0.0027
∴P(Z 0)1P(Z 0)10.997317 10.95510.0449，
∴Z  B(17,0.0027)，∴E(Z)170.00270.0459；
……6分
（2）由x20,s 0.82估计得20,0.82，
∴(3,3)(17.54,22.46)，发现最小值17(3,3)，
∴该天至少1次监测镓含量17(3,3)中，故必须作改进；
……10分
1 17 1 17 17x x
（3）设余下的数据的平均数  x ，则 (x )2 ，∴  1 ，
1 16 i 16 i 1 1 16
i2 i2
1 17 1 17
∴ (x )2  (x x x )2
16 i 1 16 i 1
i2 i2
1 17
 (x x)2 2(x x)(x )(x )2
16  i i 1 1 
i2
1 17 1 17
 (x x)2  (x )(x 16x)(x )2
16 i 8 1 i 1
i2 i2
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第7页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}1
 17s2 (x x)22(x )2 (x )2
16  1  1 1
17 1 17x x 17 17
 s2  (x x)2 (x  1)2  s2  (x x)2
16 16 1 16 16 162 1
17 1
即 s2  (x x)2 .
4 16 1
……17分
19．（17分）
2(lnx2)
解：（1）∵ f(x) ，设函数 f (x) 的图象上一点为(x ,(lnx 2)2)，
x 0 0
2(lnx 2)
则该点处的切线为 y(lnx 2)2  0 (xx )，
0 x 0
0
2(lnx 2)
即切线为 y 0 xln2 x 2lnx ，∴ln2 x 2lnx 0，
x 0 0 0 0
0
1
2(lnx 2)
解得x 1或 ，∴此时 0 4或0，∴切线的方程为y4x或y0；
0 e2 x
0
……8分
4 2lnx 4 lnx 1lnx
（2）设g(x)ln2 x x，则g(x)  ，再设h(x) ，则h(x) ，
e2 x e2 x x2
由h(x)>0得h(x)在(0,e)上单调递增，同理得h(x)在(e,)上单调递减，
即g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，
容易得到g(e2)0，∴当x(e,e2)时，g(x)>0，当x(e2,)时，g(x)<0，
4
∴xe,时，g(x)的最大值为g(e2)0，即g(x)0，ln2 x x，
e2
4 2(e2)
由elnmm0，得lnm0，∴0m1，而g(1) 0，g(e) 0，
e2 e2
∴必存在x (1,e)，使得g(x )0，且当x(m2,x )时，g(x)0， 当x(x ,e)时，g(x)0，
0 0 0 0
即g(x)在(m2,x )上单减，在(x ,e)上单增，
0 0
4 4
而g(m2)ln2m2 m2  (elnmm)(elnmm)0，
e2 e2
∴当x(m2,e)时，g(x)0，
4
∴当x(m2,)时，g(x)0，即ln2 x x，当且仅当xe2时等号成立，
e2
4
∵ f(x)(lnx2)2 ln2(e2x)，故当e2xm2时，ln2(e2x) e2x4x，
e2
m2 4
即当x( ,)时 f(x) e2x4x，当且仅当x1时等号成立，
e2 e2
m2
∵a,b( ,)， ∴ f(a) f(b)4a4b4(ab)8，
e2
当且仅当ab1时等号成立，∴ f(a)f(b)的最大值为8.
……17分
高二（下）期末联合检测试卷（数学）第8页 共8页
{{##{{QQQQAABBZbYYGCEhwggggAAQAgJMJAbAACQAg4CKQQQQGGICYECAEQsQkAsAIKAgCLSWggOMxxAQAAEMIAOAAAxgCQgFRAFBIBAIAA==}}##}}