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重庆市第八中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．抛掷同一枚硬币两次，若事件 “至少有一次正面朝上”，则事件 （ ）
A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上
C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上
2．甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．两双不同的鞋，其中一双的两只记为 ．另一双的两只记为 ．从中随机取出2只，记事件
“取出的鞋不成双”； “取出的鞋都是同一只脚的”．则（ ）
A． 包含于 B． C． 与 互斥 D．
5．过原点的直线与 及 的图象都相切，则实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．正项数列 的前 项和为 ，首项 ，已知函数 有且仅有两个零点，则 （ ）
A．120 B．125 C．57 D．247
7．定义在 上的函数 的导函数为 ，都有 ，下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 （ 为上焦点），椭圆与双曲线
在第一象限交于点 ，直线 交 轴于点 ，且 平分 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：
乙组：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第 百分位数是
B．乙组数据的众数是
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在 厘米以上的概率为
D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低
10．椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，圆 是以椭圆 的短轴为直径的圆，为圆 的一条直径（ 在第一象限），直线 与圆 的另一个交点为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 的面积为
B．若 ，则直线 被椭圆 截得的弦长为
C．若 是以 为其中一腰的等腰三角形，则满足条件的点 有6个
D．若 为 与 轴正半轴的交点， ，则直线 的斜率为
11．定义域为 的函数 的导函数记为 ， 的导函数为 ，若 为奇函数，
为偶函数，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．经过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于点 ，且 ，则
．
13．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 ．
14． 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ．四、解答题
15．记 是公差大于0的等差数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求 和 ．
(2)若 ，证明：数列 的前 项和 ．
16．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩
（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：
(1)求 的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．
(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为 和 的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，
求2人中有来自 组的学生的概率．
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数： ，已知这6个分数的平均数 ，
标准差 ，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差．
17．如图，三棱柱 的各棱长均相等， 是棱 的中点， 平面
．
(1)求证： 平面 ．(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若当 时， 存在极大值，求实数 的取值范围；
(3)证明：函数 存在零点的充要条件是 ．
19．双曲线 的离心率为 ，斜率为 的直线 和斜率为 的直线
均过原点，且分别与 的右支交于点 和点 ．
(1)求实数 的值；
(2)作斜率为 的过原点的直线 （异于 ）与 的右支分别交于点 ，记 的面
积为 ．
（i）求证： ：
（ii）若 ，且 ，记 ，证明： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A A C B BCD AD
题号 11
答案 ACD
1．C
利用对立事件的定义求解即可.
【详解】因为事件 “至少有一次正面朝上”，
所以由对立事件的定义得事件 “两次均反面朝上”，故C正确.
故选：C
2．B
先求出总事件数，再求出符合条件的事件数，最后利用古典概型概率公式求解概率即可.
【详解】因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有 种情况，
符合条件的有 ，共 种，
且设概率为 ，则 ，故B正确.
故选：B
3．B
利用特殊值排除A，C，D，进而得到正确结果即可.
【详解】对于 ，有 ， ，
下面，我们开始分析选项，对于A，C，不满足 ，故A，C错误，
对于D，不满足 ，故D错误，
对于B，满足 的全部性质，故B正确.
故选：B
4．D
列出所有基本事件，由古典概型概率公式及和事件加法公式即可求解；
【详解】随机取出2只，所有可能结果： ； ； ； ； ； ；
包含： ； ； ； ；包含： ； ；
包含： ； ；
对于A： 包含 ，故错误；
对于B： ，故错误；
对于C： 与 可以同时发生，故错误；
对于D： ，正确；
故选：D
5．A
设出 和 的切点，求出切线方程为 ，再利用导数的几何意义得到 ，进而得
到 和 的切点为 ，再代入 中，建立方程，求解参数即可.
【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为 ，
且设 和 的切点为 ，
因为 ，所以 ，由导数的几何意义得 ，
则切线方程为 ，将 代入方程，得到 ，
解得 ，则切线方程为 ，设 和 的切点为 ，
且 ，由斜率的几何意义得 ，解得 ，
代入 中，得到切点为 ，代入 中，
得到 ，解得 ，故A正确.
故选：A
6．A利用给定条件分析得到 有且仅有一个根，再利用判别式得到 ，继续构
造等比数列求出 ，最后利用公式法求和得到 ，最后求解 即可.
【详解】因为 ，
所以 ，而 ，
则方程 有且仅有一个根，
得到 ，即 ，
而 是正项数列，得到 ，
则 ，又 ，得到 ，
令 ， ，且 ，
得到 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，得到 ，即 ，
故 ，得到 ，故A正确.
故选：A
7．C
通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可.
【详解】因为 ，所以 ， .由 ，得 ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
可得 ，则 在定义域 上单调递减，
对于A，可得 ，则 ，
得到 ，即 ，故A错误，
对于B，可得 ，则 ，
得到 ，即 ，故B错误，
对于C，可得 ，则 ，
而由两角和的正弦公式得 ，
得到 ，故C正确，
对于D，可得 ，则 ，
而由两角和的正弦公式得 ，得到 ，故D错误.
故选：C
8．B
设 ，根据双曲线和椭圆定义得 ，再利用角分线定理得 ，最后根据余弦定
义和余弦定理得到方程，解出 值，即可得到离心率.
【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为 ，由题意： ，
不妨令 ， ，得： ．
由角平分线定理： ，即： ，
，一方面： ，
另一方面： ，
(负舍)，
故双曲线的离心率为： .
故选：B.9．BCD
利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概
率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可.
【详解】对于A，由题意得甲组数据共有 个数字，
而 ，则第 百分位数是第 个数和第 个数的平均数，
为 ，故A错误，
对于B，我们发现 出现了 次，其它数据只出现了 次，
则乙组数据的众数是 ，故B正确，
对于C，甲组中跳远成绩在 厘米以上的有7人，其概率为 ，
乙组中跳远成绩在 厘米以上的有 人，其概率为 ，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件 ，
从乙组抽取为事件 ，两人跳远成绩均在 厘米以上的概率为 ，
得到 ， ，而 相互独立，
由独立事件概率公式得 ，故C正确；
对于D，甲组的平均成绩为 厘米，
乙组的平均成绩为 厘米，
则将乙组中跳远成绩为 厘米或 厘米或 厘米的成员调派到甲组后，
甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确.
故选：BCD
10．AD
对于A，根据椭圆的定义及余弦定理可得 ，故求出焦点三角形的面积后可判断正误，对于
B，根据 可求得 ，从而可得直线 及方程，联立直线方程和椭圆方程后求出
交点坐标得弦长后可判断其正误，对于C，由题设条件求出 的坐标后可判断其正误，对于D，由题设条
件可求 到直线 的距离，求出 的斜率后得其直线方程，再联立直线方程和圆的方程求出 的坐标
得 的坐标，故可求直线 的斜率，故可判断D的正误.【详解】由题设，椭圆 ，得 ，
则 ， ，
对于A，因为 在椭圆上，所以 ，
而 ，即 ，
则 ，得 ，故 ，
所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，
又 ，故 ，
故 ，故直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，
由 可得 ，故 或 ，
故直线 被椭圆截得的弦长为 ，故B错误；
对于C，设 ，则 ，即 ， ，
因为 是以 为其中一腰的等腰三角形， ，
故 或 ，
当 时，则 ，
解得 或 （舍），故 ，可知满足条件的 有2个，即 ，
由椭圆的对称性可知 时，满足条件的 有2个，
所以满足条件的 共有4个点，故C错误；
对于D，由题意 ，圆 的半径为 ，
设 ，则 ，设 的中点为 ，连接 ，
则 ，故 ，
又 ，
则 ，故 ，
故 ，
因为 在第一象限，故 在第三象限，
故 的斜率存在且为正数，设直线 的斜率为 ，
则直线 ，则 ，故 ，
则直线 ，又圆 ，
由 可得 ，解得 或 ，
故 ，则 ，得 ，
故 ，故 ，故D正确.故选：AD.
11．ACD
根据函数奇偶性和复合函数求导得 的图象关于 对称，再次求导得 关于直线 对称，再
通过计算得到其对称中心，从而得到其最小正周期，最后一一分析即可.
【详解】由 为偶函数，得： ，
故 ，
令 ，
则： ，
即： 的图象关于 对称；
继续求导，得： ，
即： 关于直线 对称．
又由 为奇函数，得： ，即： 的图象以 为对称中心.
是周期为 的周期函数，
也是周期为 的周期函数．
对于A， ，故A正确；
对于B， ，而题设条件无法支撑 B错，
对于C，根据对称性，因为 关于 对称，则 ，
又因为 的周期 ，则 ，
又因为 关于直线 对称，则 ，
则 ，
，C对；
对于D，同样根据对称性， ，
故 ，D对.
故选：ACD
12．
先求出直线方程，再把其和抛物线联立。利用韦达定理得到 ，最后利用焦半径公式建立方程，求解参数即可.
【详解】设 ， ，直线斜率为 ，
因为倾斜角为 ，所以 ，则直线方程为 ，
联立方程组 ，得到 ，
由韦达定理得 ，由焦半径公式得 ，
，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
13．
先对 求导，再对 分类讨论，分析其有两个零点的情况，进而建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，则此时 单调递增，得到 不可能有两个零点，
当 时，令 ， ，令 ， ，
得到 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为函数 有两个零点，
所以需有 ，
而 ，此时满足 ，解得 ，则实数 的取值范围是 .
故答案为：14．
分离参数得 ，再设 ，证明其单调性，最后根据洛必达法则即可得到答案.
【详解】由题意： 对 恒成立，
设 ，则 ，
设 ，
则 ，
因为 ，则 ， ， ，
设 ， ，则 ，则 在 上单调递增，
则 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，又 ，故 ，故 在 上单调递增，
又 ，
故 .
故答案为： .
15．(1) ；
(2)证明见解析
（1）首先设出公差，利用等比中项的性质建立方程，解出公差，进而求出 ，再利用公式法求和得到
即可.（2）利用给定条件得到 ，进而结合裂项相消法得到 ，最后利用 证明 即可.
【详解】（1）因为 是公差大于0的等差数列，
所以设公差为 ，因为 成等比数列，
所以 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 符合题意，
则 ， .
（2）由上问得 ，因为 ，
所以 ，则 ，
得到 ，
因为 ，所以 ，得到 ，即 得证.
16．(1) ；
(2)
(3)
（1）利用频率分布直方图的性质求出参数值，再求解平均数即可.
（2）利用分层抽样的性质求出每一部分的学生数，再结合古典概型概率公式求解概率即可.
（3）结合题意算出新的平均数和 ，再利用方差公式求解方差即可.
【详解】（1）因为小长方形面积和为 ，
所以 ，
解得 ，而设平均分为 ，
得到 ，，
即本次竞赛成绩的平均分为 分.
（2）若从样本成绩为 和 的学生中共抽取6人，
且成绩在 的人数为 人，
在 的人数为 人，
即从 的学生中取 人，从 中取 人，
设这 名学生分别为 ，2人中有来自 组的学生的概率为 ，
则基本事件为 ，
，共有 种基本事件，
符合条件的有 ，共 种，
则 ，故2人中有来自 组的学生的概率为 .
（3）因为这6个分数的平均数 ，标准差 ，
所以这6个分数的平均数为 分， ，
则 ，解得 ，
设新的方差为 ，
，则这8个分数的方差为 .
17．(1)证明见解析
(2)（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解
即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）因为三棱柱 的各棱长均相等，
所以不妨设棱长为 ，则 ，
得到 是等边三角形，因为 是 的中点，
所以 ，且 平面 ，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是棱 的中点，
所以 ，而 ，由勾股定理得 ，
同理可得 ，则 ， ， ， ，
， ，由中点坐标公式得 ， ，
由题意得 ，则 ，设 ，
故 ，得到 ， ，即 ，
由中点坐标公式得 ，则 ，， ，设面 的法向量为 ，
得到 ， ，
令 ，解得 ， ，故 ，
则 ，而 面 ，故 平面 .
（2）由上问得 ， ， ，
， ，则 ， ，
，设面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ， ，得到 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
18．(1)答案见解析；
(2) ；
(3)证明见解析.
（1）求导得 ，再利用二次函数性质对导函数分子分类讨论即可；
（2）根据极大值的特点得到不等式组，解出即可；
（3）分离参数，等价转化为 在 有解，再设新函数 ，多次求导得
到其值域即可.
【详解】（1）由 ，得： ，
令 ，对称轴为： ，
当 ，即 时， ，所以 ，即 恒成立，
此时 的单调增区间是 ，无减区间；
当 时，即 ，
若 ，即 ，此时 ，即 恒成立，
此时 的单调增区间是 ，无减区间；
若 ，即 ，抛物线开口向上，与 轴有两个交点；
令 ，可得： ，
此时在 ， ，即 ，
在 ， ，即 ，
在 ， ，即 ，
所以 的单调递增区间： 和 ，
单调递减区间： ；
综上所述： 时，单调增区间是 ，无减区间；当 时，单调递增区间： 和 ，单调递减区间：
；
（2）由（1）可知，若 时， 存在极大值，结合（1）中单调性知：
需满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 .
（3） ，
存在零点 在 有解 在 有解，
令 ， ，
令 ，显然 与 同号，
对 恒成立， 在 上单调递增，
注意到： ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
，当 时， ， .
当 时，由于 ，
故方程 有解， 有零点．证毕．19．(1)16
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（1）根据离心率公式得到方程，解出即可；
（2）（i）通过联立方程求出 ， ， ， 的坐标，再利用两点斜率公式即可证明平行；
（ii）利用点到直线的距离公式和三角形面积公式求出 的表达式，利用导数求出其值域，最后再利用放
缩和裂项相消法即可证明不等式.
【详解】（1）双曲线 的离心率 ， ， .
（2）（i）联立： ，
即： ，
同理，有： ．
，
同理，有： ，
.
比较可得： ．（ii）由（i）知：当 时， ．
，且 .
同理有： ，
到 的距离 .
.
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
，当 时， ；当 时， ，
因此 ，
，
.
又 时， .
