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24 级高二数学限时练习
2025.10.25
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1. 已知向量 是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.
【详解】由直线的方向向量为 可知直线斜率 ，
又因为倾斜角 ，且 ，所以 .
故选：C
2. 在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可.
【详解】因为 .
故选：B
的
3. 已知点 在圆 外，则实数 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可.
【详解】 表示圆，故 ，
即 ，解得 或 .
因为点 在圆 外，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 或 .
故选：D
4. 已知直线 与直线 相互平行，则实数m的值是（
）
A. B. 1 C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.
【详解】 ，
解之： 经检验
故选：A.
5. 已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则向量 以 为基底时的坐标为（
）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】先根据向量在新基底下的坐标表示形式，结合原基底下的坐标，列出方程组，求解方程组即可得
到新坐标.
【详解】因为向量 以 为基底时的坐标为 ，所以 ，
设 ，
由空间向量基本定理可得 ，解得 ．
因此，向量 以 为基底时的坐标为 ．
故选：D
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆
B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 .
D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，由 可得 点坐标，由 在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项
即可得出正确答案.
【详解】设 ，由 ，则 ，
由 在直线 上，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，即 的轨迹 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
7. 直角坐标系 中直线 上的横坐标分别为 ，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面 折成
大小为 的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得出点的坐标，再根据向量基本定理得出 ，再结合模长及数量积计算求
出余弦值得出角.
【详解】直线 上的横坐标分别为1， 的两点A、B的坐标分别为 ，
如图为折叠后的图形，作 轴于点C，作 轴于点D，
则 的夹角为 ，又 ，
，
则
，解得 ，而 ，则 .
故选：A.
8. 已知点 ，若圆 上存在点M满足 ，则实数a
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学科网（北京）股份有限公司的值不可以为（ ）
A. B. C. 0 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，利用数量积的坐标运算得点M的轨迹方程 ，从而利用两圆有公共点列不
等式求得 ，结合选项即可判断.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，整理得 ，
由题意圆 与圆 有公共点，
所以 ，平方化简得 ，解得 ，
结合选项可知实数a的值可以为 、0、 ，不可以为3.
故选：D．
二、多选题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.四个选项至少有2项是符合要求，选错
得0分)
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有 ，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量 ， 满足 ，则 与 夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A投影向量定义求 在 上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由 ， 同向共线即可
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学科网（北京）股份有限公司判断；D由 即可判断.
【详解】A： 在 上的投影向量为 ，对；
B：在 中 ，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当 ， 同向共线时 也成立，但 与 夹角不为锐角，错；
D：由 ，即 ，故 ，对.
故选：ABD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若三条直线 不能构成三角形，则实数 所有可能的取值组成的集合
为
B. 若直线 沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，回到原来的位置，则该直
线 的斜率为
C. 若圆 上恰有2个点到直线 的距离等于 ，则r的取值范围是
D. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、
为切点，则四边形 面积最小值为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】当三条直线交于一点时， ，可判断A；设直线 方程为 ，从而得到平移后
的解析式 ，从而可判断B；计算圆心到直线的距离，根据题意列不等式计算得
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学科网（北京）股份有限公司，可判断C，根据对称性得 ，当 最小时，计算可得 ，可判断D.
【详解】对于A，当直线 ， 平行时，解得 ，
当直线 ， 平行时，解得 ，
显然直线 ， 交于点 ，
当点 在直线 时， ，
实数 的取值集合为 ，故 A错误；
对于B，当直线 的斜率不存在时，不满足要求，
当斜率存在时，设直线 方程为 ，
沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，
得到 ，即 ，故 ，解得 ，
则该直线 的斜率为 ，故B正确；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
要使圆 上恰有2个点到直线 的距离等于 ，
则 ，解得 ，故C正确；
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
设四边形 的面积为 ，
根据对称性可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以当 最小时， 最小， 也最小，
当 垂直于直线 时， 最小，即 ，
此时 ， ，故D正确.
故选：BCD
11. 正方体 中，点 满足 ， ，若正方体棱长为
1，则下列正确的有（ ）
A. 若 ，则 平面
B. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
C. 若 ，则点 到直线 的距离的最小值为
D. 若 ， ，则二面角 的正弦值的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据点共线以及线面平行判定定理和面面平行判定定理可证明A正确；利用锥体体积公式计算可
知B错误，建立空间直角坐标系由空间距离的向量求法计算可得C正确，再由二面角的空间向量求法可判
断D错误.
【详解】A，由 可得 ，且 可知 三点共线；
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学科网（北京）股份有限公司可知点 在线段 上，连接 ，如图所示：
由正方体性质知 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
同理得 平面 ，又 ，且 平面 ，
因此，平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，即A正确；
B，若 ，可知 四点共面，即点 在平面 内，
由A分析知，平面 平面 ，如下图所示：
此时点 到平面 的距离为正方体对角线的三分之一，即 ；
又三角形 是边长为 的正三角形，其面积为 ，
则三棱锥 的体积为定值 ，即B错误；
C，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 ；
因为点 满足 ， ，
又 ，因此 ，即 ，所以 ；
则点 到直线 的距离为 ，
显然当 时，距离最小为 ，即C正确；
D，若 ， ，由C分析知 ；
所以 ，又 ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
因此可取 ，易知平面 的一个法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则二面角 的正弦值为 ，
又因为 ， ，可知 ，当 时显然不是最小值，
所以 时， ，
当 时， ，即二面角 正弦值的最小值为 ，D不正确．
的
故选：AC
三．填空题（共3小题）
12. 已知直线l过点 ，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的一般式方程为
______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设直线l方程 ，且 ，将点 代入直线方程求得 ，然后再化为
为
一般式方程即可.
【详解】直线l与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，
则可设直线l方程为 ，且 ，
又直线l过点 ，所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线方程为 ，即 ．
故答案为：
13. 一束光线从点 射出，经y轴反射后，与圆 相交，则反射光线所
在直线的斜率k的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】将圆写成标准式，求出圆心半径，求出 关于 轴的对称点 ，设出过 的直线方程，结
合圆心到直线距离公式即可求解.
【详解】由 可得 ，即圆心为 ，半径为1，
关于 轴的对称点 ，可设过 的直线方程为 ，
即 ，由反射光线与圆相交可得 ， ，
化简得 ，即 .
故答案为：
14. 正方体 棱长为4，点 满足 ，点 满足 ，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由 求得 ，再由
得到动点 的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因 ，则 的最小值为
到球心B的最小距离减去半径1，计算 ，利用二次函数的性质即可求得 的最小值.
【详解】如图建立空间直角坐标系,
则由题意可得 ，
则 ，
则 ，由 可知，动点 的轨迹是以B为球心，1为半径的球，
的最小值为 到球心B的最小距离减去半径1，
而 ，
则当 时， 取到最小值为 ，故 的最小值为 .
故答案为： .
四．解答题（共5小题）
15. 已知圆C的圆心在直线 上且与y轴相切于点 .
（1）求圆C的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若直线l过点 且被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【小问1详解】
圆 的圆心在直线 上且与 轴切于点 ，
设圆心坐标为 ，则 ，解得 ， ，
圆心 ，半径 ，
故圆的方程为 .
【小问2详解】
点 ，直线 过点 ，
当 的斜率存在时，设直线 的斜率为 （ 存在），
则方程为 ，又圆 的圆心为 ，半径 ，弦长为 ，
故弦心距 ，故 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ，
当 的斜率不存在时， 的方程为 ，经验证 也满足条件，
故 的方程为 或 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ． 底 面 为 矩 形 ， 侧 棱 底 面 ，
， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）若 ，且点 到平面 的距离为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）连结 ，交 于点 ，连结 ，证明 ，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以向量 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面 和平面 的法向量
即可求解面面角的余弦值；
（3）由（2）可得 ，再由 求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
如图，连结 ，交 于点 ，连结 ，
因为点 是 的中点，底面 为矩形，
所以点 是 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
如图，以向量 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ， ， ，
所以平面 的法向量 ，
且平面 的一个法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
由（2）可得 ， ， ， ，
， ，平面 的法向量 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
设点 与平面 的距离为 ，
则 ，解得 ．
17. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，
AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2， ， ，M为CD的中点．
（1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值
（3）设点N是 内一动点， ，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）取DM的中点为O，由等腰三角形得性质得到 OE⊥DM，OA⊥DM，再由勾股定理证明
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学科网（北京）股份有限公司OA⊥OE，即可根据线面垂直的判定定理证明OA⊥平面CDEF，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求出平面
AEM的法向量 ，设直线DA与平面AEM所成的角为 ，再根据公式 计算
即可；
（3）先分析出点N在以DM为直径的圆上，当线段AN的长最小时，得到点N的坐标，设直线EN与直线
BF所成角为 ，再根据公式 计算即可.
【小问1详解】
如图所示，取DM的中点为O，连接OA，OE，
因为M为CD的中点， ，所以 ，
又因为AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，
所以AB∥CM，且 ,CM∥EF，且 ,
所以四边形ABCM与四边形CMEF都是平行四边形，所以 ，
所以 是边长为2的等边三角形，△ADM是等腰三角形，所以OE⊥DM，OA⊥DM.
因为 ，DE＝2，所以 ， ，
因为 ，且 ，所以OA⊥OE，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， 平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF，
又 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面CDEF；
【小问2详解】
以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，
， ， .
设平面AEM的法向量为 ，
则 ，即 ，
令z＝1，则 ，所以 .
设直线DA与平面AEM所成的角为 ，则
，
所以 ,
所以直线DA与平面AEM所成角的余弦值 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司当点N是△ADM内一动点，且 ，则点N在以DM为直径的圆上，
当线段AN的长最小时，点N在AO与圆的交点处，所以N（0，0，1），
所以 ，
则 ，
| | 2，| | 2 ，
设直线EN与直线BF所成角为 ，
则 ．
所以直线EN与直线BF所成角的余弦值为 ．
18. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹
的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波
罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点Р满足 .
（1）求点P的轨迹 的方程；
（2）设点M为直线 上的一点.过点 作轨迹C的两条切线，切点为Q，R.
（i）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求线段 长度的最小值.
【答案】（1） ；
（2）（i）证明见解析；（ii） ；
【解析】
【分析】（1）设点P的坐标为 ，根据 及两点距离公式列方程，化简即可得；
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i）设点 ．确定以 为直径圆的方程，与圆 方程相减可得直线 的方程，即可
求证；（ii）记圆 的半径为 ， 到直线 的距离为 ，则
通过确定 的最大值即可求解；
【小问1详解】
设点P的坐标为 ，因为 ，又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以点P的轨迹 方程为 ．
【小问2详解】
（i）设点 ，而 ，则 中点为 ，且 ，
以 为直径圆的方程为 ，
整理得 ，
以 为直径圆与圆 的方程相减，得 ．
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，令 ，可得 ，
所以直线 过定点 ．
（ii）记圆 的半径为 ， 到直线 的距离为 ，则 ．
当 取最大值时 有最小值，而 ，当且仅当 时取到，
所以 的最小值为 ．
19. 在平面直角坐标系中，圆M是以 ， 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线
对称.
（1）求圆N的标准方程；
（2）设 ， ，过点C作直线 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线 垂直的直线 ，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明
理由.
【答案】（1）
（2）（i）7；（ii）是，
【解析】
【分析】（1）先求出圆 的方程，再根据对称性求出圆 的方程即可得解；
（2）（i）设出直线 、 的方程，利用几何方法求出弦长 和 ，再求出面积，然后根据基本不
等式求出最大值可得结果；（ii）联立直线 与圆 的方程，设 ， ，得到 和
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学科网（北京）股份有限公司.联立直线 和 的方程求出交点 的横坐标，代入直线 的方程，利用 和 变形可
得交点 的纵坐标为定值，从而可得结果.
【小问1详解】
由题意得：圆M的半径为 ，
圆心M即AB的中点为 ，
圆M的方程为： ，
因为圆N与圆M关于直线 对称，
所以圆N的圆心 ，半径为 ，
所以圆N的标准方程为： ；
【小问2详解】
依题意可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
（i）若 ，则直线 斜率不存在，则 ， ，
则 ，
若 ，则直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则
，
当且仅当 即 时取等号，
综上所述，因为 ，所以S的最大值为 ；
（ii）设 ， ，
联立 ，消去y得 ， 恒成立，
则 ， ，
直线OP的方程为 ，
直线DQ的方程为 ，
联立 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，所以 ，所以 ，
则
，
所以 ，
所以点G在定直线 上.
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学科网（北京）股份有限公司
