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高二数学( 卷)参考答案
B
.【答案】
1 A
【解析】 因为向量a x b y 且ab 所以x y 所以x y .
= 1,,-2 ,= -1,1, , ∥ , =-1,=2, + =1
.【答案】
2 C
【解析】 由直线ax y 与直线ax y 垂直得a2 a .
- +2=0 +4 -1=0 -4=0,∴ =±2
.【答案】
3 A
【解析】 因为直线l过点P 且平行于向量 所以直线l的方程为x y
3,1 , 3,1 , -3 =0,
当x 时 取终边上的点 可得 α 1
>0 , 3,1 , tan = ,
3
当x 时 取终边上的点 可得 α -1 1
<0 , -3,-1 , tan = = ,
-3 3
所以若角α的终边落在直线l上 则 α 1
, tan = ,
3
α
所以 α 2tan 3.
tan2 = 2α=
1-tan 4
.【答案】
4 D
【解析】 连接OD 因为E是线段AD的中点 所以OE→ 1OA→ 1OD→
, , = + ,
2 2
因为BD→ 2BC→ 所以OD→ OB→ BD→ OB→ 2BC→ OB→ 2OC→ OB→ 1OB→ 2OC→
= , = + = + = + ( - )= + ,
3 3 3 3 3
所以OE→ 1OA→ 1OD→ 1OA→ 1 1OB→ 2OC→ 1OA→ 1OB→ 1OC→ 1a 1b 1c.
= + = + + = + + = + +
2 2 2 2 3 3 2 6 3 2 6 3
.【答案】
5 C
【解析】 根据题意 可知圆x2 y2 x y m
, + +2 -6 +10- =0,
即圆x 2 y 2 m 圆心为C 半径r m
+1 + -3 = , 1 -1,3 , = ,
令y 则有x2 x m 根据韦达定理及弦长公式可求
=0, : +2 +10- =0, :
x x x x 2 xx m 所以m 故圆的半径r
1- 2 = 1+ 2 -4 1 2= 4-4 10- =27, =16, =4,
故圆C x2 y2 x y 又因为圆C x2 y2 y
1: + +2 -6 -6=0, 2: + +8 -30=0,
x2 y2 x y
设AB为两圆的公共弦所在的直线 则有 + +2 -6 -6=0,
, x2 y2 y
+ +8 -30=0,
作差变形可得x y 即直线AB的方程为x y .
:-7 +12=0; -7 +12=0
.【答案】
6 B
【解析】 设 BAD θ因为六面体ABCD ABCD 是平行六面体
∠ = , - 1 1 1 1 ,
所以AC→ AB→ AD→ AA→ 因为AB AD AC AA
1= + + 1, = =1, 1=4, 1=3,
代入计算可得
:
AC→2 AB→ AD→ AA→ 2 AB→2 AD→2 AA→2 AB→ AD→ AD→ AA→ AA→ AB→
1 = + + 1 = + + 1 +2 · +2 · 1+2 1· ,
故有 AB→ AD→ BAD AD→ AA→ AAD AA→
:16=1+1+9+2 · cos∠ +2 · 1 cos∠ 1 +2 1 ·
AB→ AAB
cos∠ 1 ,
所以 θ π π 所以 θ 1 因为θ 所以θ 2π.
16=11+2cos+6cos +6cos , cos=- , ∈(0,π), =
3 3 2 3
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B 1 8
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}.【答案】
7 B
【解析】 由题可知F F 记PF r PF r FPF θ
1(-3,0),2(3,0),| 1|= 1,| 2|= 2,∠ 1 2= ,
PF→ PF→ rr θ θ 4
∵ 1· 2=4,∴ 1 2cos=4,cos=rr,
1 2
r2 r2
PFF 中 由余弦定理得 θ 1+ 2-12 4
△ 1 2 , cos= rr =rr,
21 2 1 2
r2 r2 rr θ 1 θ 3
∴ 1+ 2=20,1 2=8,∴cos= ,sin= ,
2 2
S 1rr θ .
PFF
△ 1 2= 1 2sin=23
2
.【答案】
8 C
【解析】 因为 x 2 y2 x 2 y 2
+1 + = +1 + -0 ,
所以可以转化为Mxy 到Q 的距离
(,) (-1,0) ,
同理 x 2 y2 可以转化为Mxy 到P 的距离
, -1 + (,) (1,0) ,
因为 x 2 y2 x 2 y2
+1 + + -1 + =22,
所以Mxy 到两定点Q 和P 的距离之和为
(,) (-1,0) (1,0) 22,
所以Mxy 在以点Q 和P 为焦点的椭圆上
(,) (-1,0) (1,0) ,
x2 y2
设椭圆的标准方程为 a b
:a2+b2=1(> >0),
则 a 即a 又a2 b2 所以b2
2 =22, =2, - =1, =1,
所以曲线C 即椭圆的方程为
x2
y2
, : + =1,
2
又因为圆x2 y 2 的圆心为 半径为
+ -2 =8 0,2 , 22,
则M N两点间的最大距离可以转化为圆心 到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径
, 0,2 ,
x2
Mxy 则 y2 故x2 y2 y 所以圆心到椭圆上点的距离
, , + =1, =2-2 ,-1≤ ≤1,
2
d x2 y 2 y2 y2 y y2 y y 2
= + -2 = 2-2 + -4 +4= - -4 +6= - +2 +10,
因为ty y 2 y 开口向下 对称轴为y
=- +2 +10 -1≤ ≤1 , =-2,
所以ty 在 上单调递减 故ty t 则d
-1,1 , ≤ -1 =3, ≤3,
所以M N两点间的最大距离是 .
, 3+22
.【答案】
9 BCD
【解析】 若ab同向且b 此时a b a b 即a b a b 不成立 故 错
、 ≠0, - ≠ + , + = - , A
误
;
因为a b 则a b 即 x 得x 故 正确
⊥ , · =0, 2-2 +8=0, =5, B ;
因为OP→ 1OA→ 2OB→ 1OC→ 且1 2 1 所以PBAC四点共面 故 正确
= + - , + - =1, , , , , C ;
2 3 6 2 3 6
假设a b xa b yb c xa x yb yc
+ = - + - = + - + - ,
x
=1,
则 x y
- + =1,
y
- =0,
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B 2 8
方程无解 即不存在实数xy使得该式成立
, , ,
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}所以a bb ca b不共面 可以作为基底向量 故 正确.
- ,- ,+ , , D
.【答案】
10 ABD
【解析】 由lax y a 即为x a y
1: +2 +3 =0, +3 +2 =0,
x x
令 +3=0解得 =-3所以直线l 过定点M 故 正确
y , y , 1 -3,0 , A ;
2 =0 =0
因为a 则l 的斜率存在且不为零 在x轴上的截距2
≠0, 2 , a2>0,
所以l 一定经过第一象限 故 正确
2 , B ;
当PM l 时 点P 到直线l 的距离的最大
⊥ 1 , (1,3) 1 ,
最大值为 PM 2 2 故 错误
= -3-1 + 0-3 =5, C ;
若l l 则a a2 因为a 故有a 1
1∥2, × -1 =2 , ≠0, =- ,
2
经检验 符合题意 所以a 1 所以l l 的充要条件是a 1 故 正确.
, , =- , 1∥2 =- , D
2 2
.【答案】
11 ACD
【解析】 因为点P是椭圆上的一个动点 且点P到F 距离的最大值和最小值分别为 和
, 2 3 1,
故有a c a c 解得a b c .
:+ =3,- =1, :=2,=3,=1
c
椭圆C的离心率e 1 故 正确
=a= , A ;
2
若椭圆C上存在点P 使得PF PF 则点P在圆x2 y2 上
, 1⊥ 2, + =1 ,
x2 y2
+ =1,
又因为方程组
x2 y2
+ =1,
4 3
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B 3 8
无解 故 错误
, B ;
设 FPF β PF p PF q 则p q 若 PF PF 7 即pq 7
∠ 1 2= , 1 = , 2 = , + =4, 1 · 2 = , = ,
2 2
PF 2 PF 2 FF 2 p2 q2 c2
在 PFF 中 由余弦定理可得 β 1 + 2 - 1 2 + -4
△ 1 2 , cos= PF PF = pq
2 1 2 2
2 7
p q2 pq c2 4-2× -4
(+ )-2 -4 2 5
= pq = = ,
2 7 7
2×
2
因为 β 所以 β 5 2 26
0< <π, sin= 1- = ,
7 7
c
根据正弦定理可知 2 r r 2×1r 7 S r2 49π 故 正确
, β=2 ,∴2 = ,= ,=π = , C ;
sin 26 26 24
7
PF→ 2 PF→ 2 x2 y2
设 PF→ x PF→ y 则 1 2 x 1 y
1 = , 2 = , : PF→ + PF→ =x +y = +1-2+x + +
1 +1 2 +2 +1 +2 +1
4 1 4
2-4+y =x +y +1,
+2 +1 +2
令s x t y 则s t
= +1,= +2 + =7,
s t
所以1 1 4 s t 1 4 9
(s+t)(+ )= (5+t+s)≥ ,
7 7 7
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}当且仅当t s即s 7t 14时取
=2, = ,= “=”,
3 3
PF→ 2 PF→ 2
所以 1 2 的最小值为16 故 正确.
PF→ + PF→ , D
1 +1 2 +2 7
.【答案】
12 (1,4)
m
+2>0,
【解析】 由题可知 m
4- >0,
m m
+2>4- ,
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B 4 8
解得 m .
1< <4
.【答案】
13 42
【解析】 设Pxy 因为 PA PB x 2 y2 x 2 y2 化简得到圆
, , = 2 , +2 + = 2 -2 +
O x 2 y2 是以 为圆心 为半径的圆.
1: -6 + =32, 6,0 ,42
.【答案】 3
14
2
【解析】 根据题意可知 设以C 为坐标原点 分别以CD CB CC为xyz轴 建立空间
, 1 , 1 1,1 1,1 ,, ,
直角坐标系 如图所示
, ,
因为C D C B 故有
1 0,0,0 ,1 3,0,0 , 0,0,3 ,1 0,1,0 , :
设CP→ mCB→ m 则
= 1= 0,1,-3 ,
CP→ CC→ mCB→ m m m
1 = 1 + 1= 0,0,3 + 0,1,-3 = 0, ,3-3 ,
DP→ CP→ CD→ m m
1 = 1 - 1 1= 0, ,3-3 - 3,0,0
m m
= -3, ,3-3 ,
则CP→ DP→ m m m m m2 m 2
1 · 1 = 0, ,3-3 · -3, ,3-3 = +(3-3 )
2
m2 m m 3 3
=4 -6 +3=4 - + =1,
4 4
因为 m 解得m 1 故此时点P为线段BC的中点 从而有
0< <1, = , 1 , :
2
S 1BP CD 1 3.
△ PDB 1= | 1 |·| |= ×1×3=
2 2 2
.【解析】 因为ABC ABC 为直三棱柱 所以AC AC
15 (1) - 1 1 1 , 1 1∥ ,
又DE分别为ABBC的中点 所以DE AC
, , , ∥ ,
所以DE AC
∥ 1 1,
又AC 平面BDEDE 平面BDE
1 1⊄ 1 , ⊂ 1 ,
所以AC 平面BDE 分
1 1∥ 1 ;………………………………………………………………………5
因为ABC ABC 为直三棱柱 且AB AC 以A为坐标原点 分别以ABACAA 所
(2) - 1 1 1 , ⊥ , , , , 1
在直线为xyz轴 建立如图所示的空间直角坐标系
,, , ,
因AC AB AA 则B D 1 A F 1
=2 =2 1=2, 1 1,0,1 , ,0,0 ,1 0,0,1 , 1,0, ,
2 2
则BD→ 1 AF→ 1
1 = - ,0,-1 ,1 =1,0,- ,
2 2
因为AC 则C 即AF→ 1 AC→ 分
=2, 1 0,2,1 , 1 =1,0,- ,1 1= 0,2,0 ,……8
2
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}设平面AFC 的法向量为n xyz
1 1 = ,, ,
n AF→ x 1z
则 · 1 = - =0,
2
n AC→ y
· 1 1=2 =0,
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B 5 8
z x
解得 =2 ,取x 则z
y =1, =2,
=0,
所以平面AFC 的一个法向量为n 分
1 1 = 1,0,2 ,……………………………………………10
又E 1 即AE→ 1
,1,0 , 1 = ,1,-1 ,
2 2
1
AE→ n -2
所以点E到平面AFC 的距离d 1 · 2 35
1 1 = n = = ,
5 10
因为DE分别为ABBC的中点 故有直线DE 平面AFC
, , , ∥ 1 1,
所以直线DE与平面AFC 的距离即为点E到平面AFC 的距离
1 1 1 1 ,
故d 35即为所求. 分
= …………………………………………………………………………13
10
b c
.【解析】 在 AFO中 OA b OF c AFO FAO
16 (1) Rt△ 1 ,| |= ,| 1|= ,tan∠ 1 =c,tan∠ 1 =b,
AFO FAO 32
∵tan∠ 1 +tan∠ 1 = ,
2
b c
32
c+b= ,
2
b2 c2
+ 32
∴ bc = ,
2
a2
a2 b2 c2 32 a2 32bc 分
∵ = + ,∴bc= ,∴ = ,……………………………………………………3
2 2
又 S 1 c b bc
∵ △ AF 1 F 2= ×2× =22,∴ =22,
2
a2 32 a 分
= ×22=6,∴ =6,…………………………………………………………………5
2
b2 c2 b b
联立 + =6,解得 =2,或 =2,
bc c c
=22, =2, =2,
x2 y2 x2 y2
椭圆C的标准方程为 或 分
∴ + =1 + =1;……………………………………………7
6 2 6 4
c b b c
(2)∵ > ,∴ =2,=2,
x2 y2
椭圆C的标准方程为
∴ + =1,
6 2
x y
直线l的方程为 即x y 分
+ =1, +2 -2=0,………………………………………………9
2 2
设直线l'的方程为x y m
+2 + =0,
x2 y2
联立 + =1,
6 2
x y m
+2 + =0,
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}得 y2 my m2
5 +22 + -6=0,
令Δ m2 m2 得m 或m 分
=8 -20( -6)=0 =- 10 = 10,……………………………………12
结合图形可知 当m 时 直线l'与椭圆的公共点到直线l的距离最大
, = 10 , ,
此时直线l'的方程为x y . 分
+2 + 10=0 ……………………………………………………13
距离的最大值为d 10+2 30+23. 分
∴ = = ………………………………………………15
3 3
.【解析】 证明 因为PD 底面ABCD 且BC 底面ABCD
17 (1) : ⊥ , ⊂ ,
所以PD BC
⊥ ,
又因为ABCD为正方形 可得DC BC
, ⊥ ,
因为PD DC C 且PDDC 平面PDC
∩ = , , ⊂ ,
所以BC 平面PDC 分
⊥ , …………………………………………………………………………2
又因为DE 平面PDC 所以BC DE
⊂ , ⊥ ,
因为PD AB 即为PD DC 且E为PC的中点
= , = , ,
所以DE PC
⊥ ,
又因为PC BC C 且PCBC 平面PBC
∩ = , , ⊂ ,
所以DE 平面PBC
⊥ ,
因为PB 平面PBC 所以DE PB 分
⊂ , ⊥ ;…………………………………………………………5
根据题意可知 以点D为原点 以DADCDP所在的直线分别为x轴y轴和z轴 建立
(2) , , , , 、 ,
空间直角坐标系 如图所示
, ,
设正方形ABCD的边长为 可得DP
2, =2,
可得D A B C P E
(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,
1),
则PA→ PB→ PE→
=(2,0,-2), =(2,2,-2), =(0,1,-1),
因为G在线段PB上 设PG→ λPB→ λ λ λ 其中 λ
, = =(2 ,2 ,-2 ), 0< <1,
则EG→ PG→ PE→ λ λ λ
= - =(2 ,2 -1,-2 +1),
因为EG与PA所成的角为 °
45,
PA→ EG→ λ
可得 ° · 8 -2 2
cos45= PA→ EG→ = λ2 λ =
2
,
22× 12 -8 +2
解得λ2 1 所以λ 1 所以G 分
= , = , (1,1,1),……………………………………………………9
4 2
可得DE→ DG→
=(0,1,1), =(1,1,1),
n DE→ y z
设平面DEG的法向量为n xyz 则 · = + =0
=(,,),
n DG→ x y z
· = + + =0,
令y 可得x z 所以n 分
=1, =0,=-1, =(0,1,-1),…………………………………………11
AG→ AC→
=(1,-1,-1), =(2,-2,0),
m AG→ x y z
设平面GAC的法向量为m xyz 则 · = - - =0,
=(,,),
m AC→ x y
· =-2 +2 =0,
令y 可得x z 所以m 分
=1, =1,=0, =(1,1,0),………………………………………………13
设平面ACG与平面DEG的夹角为θ
,
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B 6 8
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}n m
可得 θ · 1 1
cos= n m = = ,
2×2 2
故平面ACG与平面DEG夹角的余弦值为1. 分
………………………………………………15
2
.【解析】 设圆C的标准方程为x a2 y b2 r2r 故有
18 (1) (- )+(- )= (>0), :
a2 b2 r2
(-2- )+(0- )= ,
a2 b2 r2
(-1- )+(3- )= ,
a2 b2 r2
(2- )+(2- )= ,
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B 7 8
a
=0,
b
⇒=1,
r
=5,
所以圆C的标准方程为x2 y 2 分
+(-1)=5;……………………………………………………5
设弦MN的中点Pxy
(2) , ,
当直线l斜率不存在时 点P与点G 重合
, 1,1 ,
当直线l斜率为 时 点P与点C 重合
0 , 0,1 ,
当直线l斜率存在且不为 时 由垂径定理知CP PG
0 , ⊥ ,
点P的轨迹是以CG为直径的圆. 分
………………………………………8
由CP→ xy GP→ x y
= ,-1 , = -1,-1 ,
CP→ GP→ 得xx y 2
· =0 ,(-1)+(-1)=0,
整理得x2 y2 x y 分
: + - -2 +1=0;………………………………………………………………11
因为圆Cx2 y 2 关于x轴的对称圆C'的方程x2 y 2
(3) : +(-1)=5 : +(+1)=5,
设l 的方程为y kx 即kx y k
0 -2= (+4), - +4 +2=0,
由于对称圆心 到l 的距离为圆的半径
(0,-1) 0 5,
k
则|1+4 +2| 从而可得k 2或k . 分
k2 =5, =-
11
=-2 …………………………………………15
+1
当k 2时 反射光线所在直线与圆C相切 反射光线不与圆C相切 故k
=- , , , =-2,
11
故光线l 所在直线的方程是 x y . 分
0 2 + +6=0 …………………………………………………17
.【解析】 A 的共轭点分别记为B x y B x y
19 (1)∵ (2,3) 1(1,1),2(2,2),
x y x y
2 1 3 1 2 2 3 2
∴ + =0, + =0,
8 4 8 4
x y
直线BB 的方程为 2 3 分
∴ 1 2 + =0, ………………………………………………………2
8 4
x2 y2
+ =1,
联立 8 4
x y
2 3
+ =0,
8 4
得1x2
=1,
6
x B B
∴ =±6,∴ 1(6,-1),2(-6,1),
BB 分
∴| 1 2|=27; ………………………………………………………………………………4
点Ax y 在椭圆C上
(2)∵ (0,0) ,
x2 y2
0 0 即x2 y2
∴ + =1, 0+20=8,
8 4
xx yy xx
由 知 直线BB 的方程为 0 0 即 0 yy
(1) , 1 2 + =0, + 0 =0,
8 4 2
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}x x2 y2
当y 时 直线BB 的方程为y 0x 代入
0≠0 , 1 2 =-y , + =1,
20 8 4
y2
得x2 160 y2 即xx y2x x
=x2 y2=20, 1 2=-20,1+ 2=0,
0+20
x2 x2 x
yy 0xx 0y y 0 x x 分
1 2=y2 1 2=- ,1+ 2=-y(1+ 2)=0,………………………………………8
40 2 20
x2
0 y2
y y y y yy y y y y2 - + 0
k k 1- 0 2- 0 1 2- 0(1+ 2)+ 0 2 1 分
1· 2=x x·x x=xx x x x x2= y2 x2=- , ……………10
1- 0 2- 0 1 2- 0(1+ 2)+ 0 -20+ 0 2
当y 时 易知A 对应共轭点为B B
0=0 , (±22,0), 1(0,2),2(0,-2),
此时k 2k 2 故kk 1也成立 分
1=- ,2= , 1 2=- ,……………………………………………11
2 2 2
k k kk 当且仅当k k 2时等号成立 分
|1|+|2|≥2 |1 2|=2, |1|=|2|= ;……………………12
2
由 知 对任意点Ax y 都有x x x y y y
(3) (2) , (0,0), | 1- 2|=2| 1|,|1- 2|=2|1|,
BB x x 2 y y 2 x2 y2 x2 y2 分
| 1 2|= (1- 2)+(1- 2)= 4 1+41= 2 0+80,…………………………14
xx
点Ax y 到直线BB 0 yy 的距离为
(0,0) 1 2: + 0 =0
2
x2
0 y2
+ 0 x2 y2
d 2 0+20 8
= x2 = x2 y2 = x2 y2 ,
0 y2 0+40 0+40
+ 0
4
ABB 的面积S 1BB d 1 x2 y2 8
△ 1 2 =
2
| 1 2|· =
2
· 2 0+80· x2 y2 =42,
0+40
故 ABB 的面积为定值 . 分
△ 1 2 42 ………………………………………………………………17
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B 8 8
{#{QQABZYaUggiAQhBAAQgCAQXSCAIQkgAAAagGQAAEoAABSANABAA=}#}
