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连城一中 2025~2026 学年上期高二年级月考 1
数学试题
满分：150 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1. 已知数列 ，2， ， ， ， ，…，则这个数列的第25项为（ ）
A. B. C. 7 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列前的几项归纳出 ，即可求出结果.
【详解】由题知 ，所以 ，
故选：B.
2. 直线 ： 的倾斜角为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】根据题意可知该直线的斜率为 ，所以其倾斜角为 .
故选：C
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 30 B. 40 C. 60 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 为等差数列，故 ，
故选：C.
4. 某影院欲新建一个放映厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前
一排多4个座位，则放映厅最多可以建造的座位的排数为（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，设每排的座位数构成等差数列 ，其中 ，公差 ，利用等差数列的求和公
式，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列 ，其中 ，公差 ，
再设放映厅最多可以建的座位的排数为 ，
可得 ，即 ，
解得 ，又 ，得放映厅最多可以建的座位的排数为 .
故选：A.
5. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （
）
A. 3 B. 5 C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】 为等比数列，得到 ，结合对数运算法则得到
.
【详解】 为等比数列， ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，
故 .
故选：B
6. 在数列 中， 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合递推关系 和首项 ，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，
结合周期性求解.
【详解】因为 且 ，
所以 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 是以4为周期的周期数列，
所以 .
故选：A.
7. 已知 ，若点 在线段 上，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点连线的斜率公式知 表示点 和点 连线的斜率，再数形结合，即可求
出结果.
【详解】如图，因为 表示点 和点 连线的斜率，
又 ，所以 ， ，
由图知， 的最小值为 ，
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知数列 满足 ，设 ， ，若数列 是递增
数列，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列 的通项公式，则可计算出 ，再结合数列单调性
计算即可得.
【详解】 ，所以 ，
所以 是以 为首项、2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
若数列 是递增数列，则 恒成立，
所以
恒成立，
所以 恒成立，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 过 两点的直线 的倾斜角为
B. 经过点 的所有直线都可以用方程 表示
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学科网（北京）股份有限公司C. 直线 在 轴上的截距为
D. 点 在同一条直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助
斜率公式计算可得D.
【详解】对于A：过 两点的直线 的斜率 ，
所以直线 的倾斜角为 ，故A正确；
对于B：过点 斜率不存在时，方程为 ，故B错误；
对于C：直线 在 轴上的截距为 ，故C错误；
对于D：因为 ， ，
则 ，所以 三点共线，故D正确.
故选：AD
10. 已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是等差数列
C. 的最小值为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 与 的关系求出数列的通项公式，即可判断 A；根据等差数列的定义即可判断B；由数
列的通项得出每一项的符号情况，即可判断C；根据等差数列前 项和公式即可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，当 时， ，
而 满足上式，因此 ，则 ，故A正确；
对于B， ，当 时， ，
数列 是等差数列，故B正确；
对于C，由选项A知，数列 单调递增，
由 ，得 ，即数列 前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数， 最小值为 ，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.
11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数 （ 表示不超过 的
最大整数）称为高斯函数.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，令 ，
则下列结论正确的有（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据 与 的关系，化简可得 ， 判断A，B；再由裂项相消法求
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学科网（北京）股份有限公司判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B， ，
所以当 时， ，
又 ，则 ，
所以 ，故A错，B对；
对于C， ，
，
，故C对；
对于D， ，
，
当 时， ，
，
，故D对；
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而
可求得答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】81
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得， ， ， ，…成等比数列，并设其公比为 ，又
，由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为数列 为等比数列，
由等比数列的性质可得， ， ， ，…成等比数列，并设其公比为 ．
又由题意可得， ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： .
13. 若直线 过点 ，向量 是直线 的一个方向向量，则直线 的方程为
___________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线 的一个方向向量 可设直线 的方程为 ，把点代入直线即可求
出 值，从而可得直线 的方程.
【详解】直线 的一个方向向量 ，则设直线 的方程为 ，
把点 代入方程求得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为 。
故答案为：
14. 已知数列 ，其中 ，满足 ，设 为数列 的前n项和，当不等
式 成立时，正整数n的最小值为______.
【答案】9
【解析】
【分析】利用递推关系式得 ，由此可证得 是等比数列；由
等比数列通项公式推导可得 ，进而可求得 的表达式，代入解不等式即可求解.
【详解】因为由 得： ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
所以 ，
所以 等价 ，
由 知，满足 正整数n的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：
（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由 与 关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）
构造等比数列，（7）构造等差数列.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l经过点 和点 ．
（1）求直线l的截距式方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；
（2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．
【小问1详解】
由已知得直线l的两点式方程为 ，
即 ，
整理得 ．
所以截距式方程为 ．
【
小问2详解】
由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，
所以围成的图形的面积为 ．
16. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求 和 即可.
（2）利用裂项求和法求 .
【小问1详解】
解法一：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由已知 ，
解得 ，
所以 ．
解法二：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 .
所以 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ．
所以数列 的前 项和
17. 已知数列 满足 .
（1）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司的
（2）设 ，求数列 前 项和 .
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可；
（2）利用错位相减法直接求和即可.
【小问1详解】
由 ，
所以 是首项、公比均为3的等比数列，故
所以 .
【小问2详解】
由（1）有 ，则 ，
所以 ，
两式相减，得
所以 .
18. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进
行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年
起第 年绿洲面积为 万平方千米.
（1）求 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求第 年绿洲面积 与上一年绿洲面积 的关系；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60％？（ ）
【答案】（1） ，
（2）
（3）6年
【解析】
【分析】（1）根据题意确定第一年，第二年，第三年绿洲面积，即可得 的值；
（2）根据数列的递推关系确定第 年绿洲面积 与上一年绿洲面积 的关系即可；
（3）结合数列的递推关系式构造等比数列，从而列不等式，结合指对运算得所求.
【小问1详解】
由题意可得 ，
，
；
【小问2详解】
由题意得
，
所以 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ，即 ，
令 ，即 ，
两边取常用对数得 ，
所以 ，
所以 ，
故至少经过6年，绿洲面积可超过60%.
19. 已知数列 中， ， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 ，求满足条件的最大整数n；
（3）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将给定等式变形得 ，再利用等比数列定义推理得证.
（2）利用分组求和法及等比数列前 项和公式求出 ，再利用单调性求出最大整数
n.
（3）由（2）求出 ，利用放缩法及等比数列前 项和公式求和即可得证.
【小问1详解】
由 ，得 ，则 ，由 ，得 ，
所以数列 是以2为首项，以 为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得 ，则 ，
因此 ，
依题意， ，而函数 在 上单调递增，
则满足 的最大整数 的值为 ，所以所求最大整数值为 .
【小问3详解】
由（2）得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因此 ，当 时，
，当 时， ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
