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荆州中学2023级高二上学期九月月考
数学试卷参考答案
1-8 CCBBA BCC 9.ABC 10.ACD 11.AC
12. 2 13. 14.
15．(1) (2)
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是 ，答对第二题的概率分别是 ，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为 .
乙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： .
16.（1） （2）
【小问1详解】因 ，
为
由正弦定理可得 ，
且 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，所以 .
【小问2详解】因为 为 的平分线，则 ，
因为 ，则
，
即 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积 .
17.(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，由（1）知四边形 为矩形，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
取平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，所以 .
，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．(1)众数为 ；平均数为 (2)平均数为 ；方差为
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为 ，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间 的学生为10人，分别为 ，
其中平均成绩与方差分别为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设第三组学生实际成绩分别为 ，其平均数和方差为 ，则 ，
设第四组学生实际成绩分别为 ，其平均数和方差为 ，
由 ，可得 ，由 ，
可得 ，解得 ，
所以第四组 的学生实际成绩的平均数为 与方差为 .
19.（1） （2） （3）（i） ；（ii）
（1）由题可知，直线 的一个方向向量坐标为 ，平面 的一个法向量为
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则有 ，所以 ，
直线 与平面 所成角的余弦值为 .
（2）由题可知平面 的法向量为 ，且过点 ，
因为 ,所以 ，所以点 到平面 的距离为 .
（3）（i）建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司先分别画平面 ，
然后得到几何体 为
几何体 是底面边长为 的正方形，高为 的长方体，故几何体 的体积为 ，
（ii）由（i）可知， 的图像是一个完全对称的图像，
所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时 ，
得 ，
画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面 得二面角，
所以两个平面的法向量分别为 ，
所以其二面角的余弦值为 ，所以二面角为 .
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