高二数学第一次月考卷（全解全析）（测试范围：空间向量与立体几何+直线）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年09月试卷

2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．斜率为 的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 ，且 ， 则 ，即直线的倾斜角为 .故选：D. 2．已知向量 ， ，且 ，那么实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ，解得： .故选：B. 3．如图，四面体 的所有棱长都是2，则 （ ） 学科网（北京）股份有限公司A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】四面体 的所有棱长都是2，故 ， . 故选：C. 4．已知直线 经过点 ，且法向量 ，则 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线 的法向量是 ，可得其斜率为 ， l 所以直线 的方程为 ，即 . 故选：C 5．在四面体 中，记 ， ， ，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则 （ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司【答案】B 【解析】由题意得： ， 故选：B. 6．已知直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知直线的斜率 ，所以垂直直线的斜率为 而D项中的直线过点 ，且只有D中的直线的斜率为 ， 故选：D. 7．在同一平面直角坐标中，表示 ： 与 ： 的直线可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：由图可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ； 而 的斜率 ，矛盾，故A错误． 学科网（北京）股份有限公司对于B：由图可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ； 而 的斜率 ，矛盾，故B错误． 对于C：由图可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ； 而 的斜率 ，在 轴上的截距 ，即 ，故C正确． 对于D：由图可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ； 而 的斜率 ，矛盾，故D错误． 故选：C． 8．已知 ， 是直线 上的两点，若沿 轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后 、 两点间的距离是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 是直线 上的两点，所以 ， ， 如图为折叠后的图形，作 轴于点 ，作 轴于点 ， 则异面直线 ， 所成的角为 ，即 、 的夹角为 ， ， ， ， ， 则 ， 即折叠后 、 两点间的距离为 .故选：A. 9．直线 经过点 ，且被两坐标轴截得的线段长为 ，则 的所有可能取值之和为（ ） 学科网（北京）股份有限公司A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】由题意，因为直线 经过点 , 所以 ，则直线 . 令 ，则 ， 令 ，则 . 则 ， 化简得 ， 即 ， 即 , 解得 或 或 ， 故 的所有可能取值之和为 . 故选：C. 10．如图，棱长为1的正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则下列结论中错误的 是（ ） A．直线 与直线AE的距离为 B．直线 与平面 的距离为 学科网（北京）股份有限公司C．直线 与底面ABCD所成的角为 D．平面 与底面ABCD夹角的余弦值为 【答案】C 【解析】在棱长为1的正方体 中， 如图，以D为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 对A， ，则 ， ，所以 ， . 设直线 与直线 的距离，即 到直线 的距离为 ， 则 ，A正确； 对B，直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离， 由A知 ， 学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， 设点 到平面 的距离为 ，则 ， 即直线 与平面 的距离为 ，B正确； 对C， ，平面 的法向量为 ， 则 ， 故直线 与底面ABCD所成的角的正弦值为 ，C错误； 对D，由B知平面 的法向量为 ， 则 ， 又由图知，平面 与底面ABCD的夹角为锐角， 故平面 与底面ABCD的夹角的余弦值为 ，故D正确. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若异面直线 的方向向量分别是 ， ，则异面直线 与 的夹角的余弦值等于 ． 【答案】 / 学科网（北京）股份有限公司【解析】设异面直线 与 的夹角为 ，则 ， .故答案为： 12．平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线 的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线 的两个截距都不为0，故设直线 为 ， 则 ，解得 ， 所以直线 为 ，即 .故答案为： . 13．已知直线 过定点 且与以 ， 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范 围是 ． 【答案】 【解析】如图， 又 ， ，所以由图可知 或 ， 则斜率 的取值范围是 ．故答案为： . 学科网（北京）股份有限公司14．在空间直角坐标系 中，已知 ， ， .则 与 的夹角的余 弦值为 ； 在 上的投影向量 . 【答案】 /0.5 【解析】因为 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 在 上的投影向量为 .故答案为： ； . 15．如图，棱长为2的正方体 中，E、F分别为棱 的中点，G为面对角线 上 一个动点，则下列选项中正确的是 ． ①三棱锥 的体积为定值 ． ②存在 线段 ，使平面 平面 ． ③G为 上靠近 的四等分点时，直线 与 所成角最小． ④若平面 与棱 有交点，记交点分别为M，N，则 的取值范围是 ． 【答案】①③④ 学科网（北京）股份有限公司【解析】易知 侧面 ，所以 上的点到侧面 的距离始终不变， 即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积 ，故①正确； 如图所建立的空间直角坐标系，则 , 可设 ，则 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 取 ，即 ，显然 ， 若平面 平面 ，则 ， 此时G不在线段 上，即②不成立； 易知 ，设直线 与 所成角为 ， 则 ， 显然 时， ，即 取得最小值，此时 ，故③正确； 如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作 ，延长 交 延长线于I， 连接IN交AB于M，设 ，易知 ， 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 由 ，所以④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 c    1, 3,2 mR 16．（13分）已知向量 ， ， .    a bc （1）求 的值；  cos b,c （2）求 ；   ab （3）求 的最小值.    c 1, 3,2 【解析】（1）因为 ， ，     bc 0, 3,0 所以 ，    a m,2 3,6 又因为 ，      a bc 2 3  3 6 所以 .----------------------------------------4分    c 1, 3,2 （2）因为 ， ，     bc 14 10 cos b,c      所以 b c 14 134 4 .----------------------------------------7分 学科网（北京）股份有限公司    a m,2 3,6 b 1,0,2 （3）因为 ， ，     ab  m1,2 3,4 所以 ， a  b 2 m12  2 3 2 42 m1228 所以 ，  2 ab 当m1时， 取得最小值 ，则 最小值为 .----------------------------------------13分 17．（13分）已知 顶点 . （1）求 边上中线所在的直线方程； （2）求 边上高线所在的直线方程． 【解析】（1）线段 的中点坐标为 ，即 ， 所以 边上中线所在的直线方程为： ， 整理得： ；----------------------------------------6分 （2）直线 的斜率为 ， 所以 边上高线所在直线的斜率为 ， 所以 边上高线所在直线的方程为 ， 整理得： ----------------------------------------13分 18．（14分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司（1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求点 到平面 的距离. 【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ， 以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示， , , , , , , -------------------------5分 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，取 ， ----------------------------------------9分 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 .----------------------------------------12分 （2）因为 , 设点 到平面 的距离为 ，所以 .----------------------------------------14分 l:a1y2a3x1 19．（15分）已知直线 . （1）求证：直线l过定点； 学科网（北京）股份有限公司（2）若直线l不经过第二象限，求实数 的取值范围； （3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程. l:a1y2a3x1 【详解】（1）由 ，即 ， 则 ，解得 ， 所以直线过定点 ；------------------------4分 （2）如图所示，结合图像可知， 当 时，直线斜率不存在，方程为x1，不经过第二象限，成立；------------------------5分 2a3 1 当 时，直线斜率存在，方程为y x ， a1 a1 a1 2a3 0   a1 又直线不经过第二象限，则 ，解得 ；------------------------8分 1  0 a1 a1 综上所述a1； l:a1y2a3x1 a1 （3）已知直线 ，且由题意知 ， 1 y 0 令 ，得 ，得 ，------------------------10分 x0 a1 a1 1 x 0 令 ，得 ，得 ，------------------------11分 y0 32a 则 ， 学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 取最小值，------------------------14分 此时直线 的方程为 ，即 .------------------------15分 20．（15分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形， ， ，点 在棱 上. （1）证明：平面 平面 ； （2）当 时，求二面角 的余弦值. 【解析】（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 . 四边形 是直角梯形， ， ， 因为 ，所以 . 所以 ，所以 . 又因为 ， 平面 ，所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 .----------------------------------------6分 （2）解法一： 以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . ----------------------------------------9分 学科网（北京）股份有限公司设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ， 即 ，所以 . 所以 . 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，得 .----------------------------------------12分 又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 . 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 .----------------------------------------14分 所以，二面角 的余弦值为 .----------------------------------------15分 解法二： 取 的中点 ，连接 ，以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 . ----------------------------------------9分 设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ， 学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 . 所以 . 设平面 的一个法向量为 ，则 . 取 ，则 ，则 .----------------------------------------12分 又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 . 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 .----------------------------------------14分 所以二面角 的余弦值为 ----------------------------------------15分 21．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， ，点 在棱 上，且 平面 ． （1）求证： 为 中点； （2）求二面角 的余弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值：若 不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）连结 交 于点 ，连结 ， 因为底面 是矩形，所以 为 中点， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 , 所以 ， 又因为 为 中点，所以 为 中点.----------------------------------------3分 （2）取 的中点 ，连结 ， ， 因为底面 为矩形，所以 ， 因为 ， 为 中点，所以 ， , 所以 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，所以 ，所以 ， ， 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系 ，则由题意可得 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ，----------------------------------------6分 由上可知 为平面 的一个法向量， 设平面 的法向量为 ， 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 即 ， 令 ，则 ， ，所以 ，----------------------------------------8分 所以 ， 如图可知二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为 ，----------------------------------------10分 （3）假设在棱 上存在点 满足题意， 由（2） ， ， 设 ，则 ， ，-------------------------12分 设 与平面 所成角为 ，则 ， 解得 或 ，因为 ，故 ， 所以存在点 满足题意，此时 .----------------------------------------15分 学科网（北京）股份有限公司