文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线。
5．难度系数：0.70。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．斜率为 的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，且 ，那么实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四面体 的所有棱长都是2，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知直线 经过点 ，且法向量 ，则 的方程为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
5．在四面体 中，记 ， ， ，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．在同一平面直角坐标中，表示 ： 与 ： 的直线可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司8．已知 ， 是直线 上的两点，若沿 轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后 、
两点间的距离是（ ）
A．6 B． C． D．
9．直线 经过点 ，且被两坐标轴截得的线段长为 ，则 的所有可能取值之和为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
10．如图，棱长为1的正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则下列结论中错误的
是（ ）
A．直线 与直线AE的距离为
B．直线 与平面 的距离为
C．直线 与底面ABCD所成的角为
D．平面 与底面ABCD夹角的余弦值为
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若异面直线 的方向向量分别是 ， ，则异面直线 与 的夹角的余弦值等于
．
12．平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线 的方程为
．
学科网（北京）股份有限公司13．已知直线 过定点 且与以 ， 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范
围是 ．
14．在空间直角坐标系 中，已知 ， ， .则 与 的夹角的余
弦值为 ； 在 上的投影向量 .
15．如图，棱长为2的正方体 中，E、F分别为棱 的中点，G为面对角线 上
一个动点，则下列选项中正确的是 ．
①三棱锥 的体积为定值 ．
②存在 线段 ，使平面 平面 ．
③G为 上靠近 的四等分点时，直线 与 所成角最小．
④若平面 与棱 有交点，记交点分别为M，N，则 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
c
1, 3,2
mR
16．（13分）已知向量 ， ， .
a bc
（1）求 的值；
cos b,c
（2）求 ；
ab
（3）求 的最小值.
学科网（北京）股份有限公司17．（13分）已知 顶点 .
（1）求 边上中线所在的直线方程；
（2）求 边上高线所在的直线方程．
18．（14分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， .
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求点 到平面 的距离.
19．（15分）已知直线 .
（1）求证：直线 过定点；
（2）若直线 不经过第二象限，求实数 的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
20．（15分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形，
， ，点 在棱 上.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.
21．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，点 在棱 上，且 平面 ．
（1）求证： 为 中点；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值：若
不存在，说明理由．
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