2014年高考数学试卷（文）（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 7i （1）i是虚数单位，复数 （ ） 34i 17 31 17 25 A. 1i B. 1i C.  i D.   i 25 25 7 7 x y20,  （2）设变量x,y满足约束条件x y20,则目标函数z  x2y的最小值为（ ）  y1.  A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知命题 p:x0,总有(x1)ex 1,则p为（ ） A.x 0,使得(x 1)ex 0 1 B. x 0,使得(x 1)ex 0 1 0 0 0 0 C.x 0,总有(x 1)ex 0 1 D.x 0,总有(x 1)ex 0 1 0 0 0 0 4.设a log ,blog ,c2,则（ ） 2 1 2 A.a bc B.ba c C.a cb D.cba 5.设  a  是首项为a ，公差为1的等差数列，S 为其前n项和，若S，S ，S ，成等比数 n 1 n 1 2 4 列，则a =（ ） 1 1 1 A.2 B.-2 C. D . 2 2 x2 y2 6.已知双曲线  1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l: y 2x10,双曲线的 a2 b2 一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） x2 y2 x2 y2 3x2 3y2 3x2 3y2 A.  1 B.  1 C.  1 D.  1 5 20 20 5 25 100 100 25 7.如图，ABC是圆的内接三角行，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的 切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF ；② FB2  FDFA；③AECE  BEDE；④AFBD ABBF .则所有正确结论的序号 是（ ） A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④ 8.已知函数 f(x) 3sinwxcoswx(w0),xÎR.在曲线 y  f(x)与直线 y 1的交点 第1页 | 共16页 中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为（ ） 3  2 A. B. C. D.2 2 3 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3 . 11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________. 12.函数 f xlgx3的单调递减区间是________. 13.已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F 分别在边BC、DC 上，   BC 3BE，DC DF.若AEAE 1，则的值为________. x2 5x4,x0    （14）已知函数 f x  若函数y  f(x)ax 恰有4个零点，则实数a 2x2 ,x0  的取值范围为_______ 三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第2页 | 共16页（15）（本小题满分13分） 某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如下表： 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母列举出所有可能的结果 （2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发 生的概率. （16）（本小题满分13分） 6 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac b， 6 sinB 6sinC （1）求cosA的值；  （2）求cos(2A )的值. 6 17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， ， , 分别是棱 的中点. （1） 证明 平面 ； （2） 若二面角P-AD-B为 ， ① 证明：平面PBC⊥平面ABCD ② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值. 18、（本小题满分13分） 设椭圆 的左、右焦点分别为 ,，右顶点为A，上顶点为B.已 第3页 | 共16页知 = . （1） 求椭圆的离心率； （2） 设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 ，经过点 的直线 与该圆相切与点M， = .求椭圆的方程. 19 （本小题满分14分） 2 已知函数 f(x) x2  ax3(a 0),xÎR 3 （1） 求 f(x)的单调区间和极值； （2）若对于任意的x Î(2,¥)，都存在x Î(1,¥)，使得 f(x ) f(x )1，求a 1 2 1 2 的取值范围 20（本小题满分14分） 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M   0,1,2 q1 ，集合    A xx x x q x qn1,x ÎM,i 1,2, n ， 1 2  n i  （1）当q 2,n3时，用列举法表示集合A； 设s,tÎA,s a a q a qn1,t b b q b qn1,其中a ,b ÎM,i 1,2, n, 1 2  n 1 2  n i i  证明：若a b ,则st . n n 第4页 | 共16页2014年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯word解析版） 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7i 【2014年天津卷（文01）】i是虚数单位，复数  34i 17 31 17 25 A.1i B.1i C.  i D.  i 25 25 7 7 【答案】A 7+ i (7+ i)(3- 4i) 25- 25i 【解析】 = = = 1- i 3+ 4i (3+ 4i)(3- 4i) 25 x y20  【2014年天津卷（文02）】设变量x、y满足约束条件x y20，则目标函数  y1  z  x2y的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B {x＋y－2＝0， {x＝1， 【解析】画出可行域，如图所示．解方程组 得 即点A(1，1)． y＝1， y＝1， 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即z ＝1×1＋2×1＝3. min 【2014年天津卷（文03）】已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（ ） A．∃x≤0，使得（x+1）ex0≤1 B．∃x＞0，使得（x+1）ex0≤1 0 0 0 0 C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1 【答案】B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x＞0，使得（x+1）e ≤1， 0 0 【2014年天津卷（文04）】设a=logπ，b=log π，c=π﹣2，则（ ） 2 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 第5页 | 共16页【答案】C 【解析】logπ＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b 2 【2014年天津卷（文05）】设{a}的首项为a，公差为﹣1的等差数列，S为其前n项和，若 n 1 n S，S，S成等比数列，则a=（ ） 1 2 4 1 A．2 B．﹣2 C． D． ﹣ 【答案】D 【解析】∵{a}是首项为a，公差为﹣1的等差数列，S为其前n项和，∴S=a，S=2a﹣1， n 1 n 1 1 2 1 S=4a﹣6， 4 1 由S，S，S成等比数列，得： ，即 1 2 4 ，解得： 【2014年天津卷（文06）】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直 线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） A． B． ﹣ =1 ﹣ =1 C． D． ﹣ =1 ﹣ =1 【答案】A 【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5， ∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， ∴ =2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为 ﹣ =1 【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交 BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： 第6页 | 共16页①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF． ∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结 论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由 ，FB2=FD•FA．即结论②成立．由 ，得AF•BD=AB•BF．即结论④成 立 【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y =f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则f（x）的最小正周期为（ ） A． B． C．π D．2π 【答案】C 【解析】 ∵已知函数f（x）= sinωx+cosωx=2sin（ωx+ ）（ω＞0），x∈R， 在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，正好等于f （x）的周期的 倍， 设函数f（x）的最小正周期为T，则 = ，∴T=π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟 采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已 第7页 | 共16页知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级 本科生中抽取____名学生. 【答案】60 4 【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300× ＝60 4＋5＋5＋6 【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体 积为_________m3. 20π 【答案】 3 【解析】 1 20π 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋ π×22×2＝ 3 3 . 【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为 ． 第8页 | 共16页【答案】-4 【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1； 退出循环，输出﹣4 【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是 ． 【答案】（﹣∞，0） 【解析】 方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数； 当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数． ∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）． 方法二：原函数是由 复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0 ，+∞）为增函数； 又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函 数，在（0，+∞）为增 函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0） 【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，D C上，BC=3BE，DC=λDF、若 • =1，则λ的值为 ． 【答案】2 【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴ = ， = ， = + = + = + ， = + = + = + ， 第9页 | 共16页∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴| |=| |=2， • =2×2×cos120 °=﹣2， ∵ • =1，∴（ + ）•（ + ）= + +（1+ ） • = 1， 即 ×4+ ×4﹣2（1+ ）=1，整理得 ，解得λ=2 【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）= ，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】（1，2） 【解析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象， 当a≤0，不满足条件，∴a＞0， 当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点， 当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点， ∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分） 某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生 的概率． 第10页 | 共16页解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A， Y）、（A，Z）、 （B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、 （X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z） 共计15个结果． （Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”， 则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、 （C，Y），共计6个结果， 故事件M发生的概率为 = 【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c= b，sinB= sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣ ）的值． 解：（Ⅰ）将sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b= c，代入a﹣c= b，得：a﹣c=c ，即a=2c， ∴cosA= = = ； （Ⅱ）∵cosA= ，A为三角形内角，∴sinA= = ， ∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ，sin2A=2sinAcosA= ， 则cos（2A﹣ ）=cos2Acos +sin2Asin =﹣ × + × = 【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分） 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，E，F分别 是棱AD，PC的中点． （Ⅰ）证明EF∥平面PAB； （Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°， （i）证明平面PBC⊥平面ABCD； （ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 第11页 | 共16页解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点， ∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB， 又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB． 又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB； （Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，∴BE=1，PE=2． 又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD， ∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB= ． ∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD， ∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD； （ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD= ，AD=2，∴BD⊥BA， ∴BD，BA，BP两两垂直， 以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣ DAP， 则有A（0， ，0），B（0，0，0），C（ ，﹣ ，0），D（ ，0，0），P（0 ，0， ）， ∴ =（ ，﹣ ，0）， =（0，0， ）， 设平面PBC的法向量为 ，∵ ，∴ ，令x=1 ，则y=1，z=0， 第12页 | 共16页故 =（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（ ， ，0），F（ ，﹣ ， ）， ∴ =（0， ， ），∴ = = =﹣ ， 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为 【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分） 设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，右顶点为A，上顶点为B，已知|A 1 2 B|= |FF|． 1 2 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F，经过点F的直线l与 1 2 该圆相切于点M，|MF|=2 ，求椭圆的方程． 2 解：（Ⅰ）依题意可知 = •2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴ e= = ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为 + =1，B（0，c），F（﹣c 1 ，0） 设P点坐标（ csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF⊥PF， 1 1 第13页 | 共16页∴k• k = • =﹣1，求得sinθ=﹣ 或0（舍去）， BF1 PF1 由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时， cosθ= = ∴P坐标为（﹣ c， c），∴圆心坐标为（﹣ c， c）， ∴r=|OB|= = c，|OF|= = c， 2 ∵r2+|MF|2=|OF|2，∴ +8= c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为 2 2 + =1 【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分） 已知函数f（x）=x2﹣ ax3（a＞0），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的x∈（2，+∞），都存在x∈（1，+∞），使得f（x）•f（x）=1，求 1 2 1 2 a的取值范围． 解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax）， ∵a＞0，∴当x＜0或x 时，f′（x）＜0，当 时，f′（x）＞0， f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和 ，单调递增区间为 ， 当x=0时，有极小值f（0）=0，当x= 时，有极大值f（ ）= ； （Ⅱ）由f（0）=f（ ）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0， ）时，f（x）＞0；当x∈（ ，+ ∞）时，f（x）＜0． 第14页 | 共16页设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={ |x∈（1，+∞），f（x）≠0}， 则对于任意的x∈（2，+ 1 ∞），都存在x∈（1，+∞），使得f（x）•f（x）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅ 2 1 2 下面分三种情况讨论： （1）当 ＞2，即0＜a＜ 时，由f（ ）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集； （2）当1≤ ≤2，即 时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A =（﹣∞，f（2）），∴A ⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即 （﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B； （3）当 ＜1，即a＞ 时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（ ，0），A=（﹣∞， f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[ ] 【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分） 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x+xq+ 1 2 …+xqn﹣1，x∈M，i=1，2，…n}． n i （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a+aq+…+aqn﹣1，t=b+bq+…+bqn﹣1，其中a，b∈M，i=1，2，…， 1 2 n 1 2 n i i n．证明：若a＜b，则s＜t． n n （Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| ，x∈M，i=1，2，3} i ． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a+aq+…+aqn﹣1，t=b+bq+…+bqn﹣1，其中a，b∈M，i=1 1 2 n 1 2 n i i ，2，…，n．a＜b， n n ∴a﹣b≤﹣1．可得s﹣t=（a﹣b）+（a﹣b）q+…+ n n 1 1 2 2 + 第15页 | 共16页≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1] = ＜0． ∴s＜t 第16页 | 共16页