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高三数学 12 月考
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件．
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ）
①若 ， ，则 与 所成的角等于 与 所成的角；
是
②若 ， ， ，则 与 异面直线；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
A. B. C. D.
6. 设 是等差数列 的前n项和，若 ， ，则 =（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司8. 若函数 （ ）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确 是的（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
10. 函数 ， ， 的最小正周期为 ，且方程 在 上有
两个不相等的实数根 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 把 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则
C.
D.
11. 已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若 为偶函数，
且 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 的图象关于点 对称
B.
C.
D.
二､填空题（每题5分，共3题，总计15分）
12. “ ”是“ ”的_____________条件.
13. 设 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是__________.
14. 已知函数 ，若对于任意的 ，均有 ，则实数 的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分
17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若角 为钝角，求 的取值范围．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，关于 的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
（2）求函数 在区间 上的最小值．
17. 已知 角 所对的边分别为 , 的周长为 ,且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求边 的长;
（2）若 的面积为 ,求角 的度数.
18. 设 是等差数列 的前 项和， .对任意正整数 ，数列 满足 成等比数列，
，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 通的项公式；
（2）求满足 的 的最小值.
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程.
的
（2）讨论 单调性.
（3）求证：若 ， 有且仅有一个零点.
BCABB AAB 9BCD 10BCD 11BD
12
充分不必要
13
14实数 的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司15
（1）
（2）
16
（1）
（2）
.
17 （1）2； （2）
18 （1） ，
（2）10
19 （1） ；
2函数 的定义域为 ，
求导得 ，
①当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
③当 时， ，函数 在 上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司④当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ， ；
当 时，函数 的递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ， .
3①当 时，函数 在 上单调递减，而 ， ，
因此存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点；
②当 时，函数 在 处取得极小值 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减， 在 上单调递增， ，即 ，
，当 时， ，则 ，
因此存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点；
③当 时，函数 在 处取得极小值 ， ，
学科网（北京）股份有限公司同理存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点，
.
所以 有且仅有一个零点
学科网（北京）股份有限公司
