和差化积公式及四大应用学生版_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年12月高三试卷_251214和差化积公式及四大应用教师版

和差化积公式及四大应用 抽象的东西不是无源之水，找到它的原型，这也是我们处理函数方程的一个重要方法，例 如，最常见的函数方程： f(x+ y)= f(x)⋅ f(y)其实就是我们的指数乘法公式： ax⋅ay =ax+y(a>0,a≠1).所以，处理函数方程问题的一个重要手法就是找原型. 三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226页习题！ 一．基本原理 1.公式汇编与证明: 1 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α−β)]；sinαsinβ=− [cos(α+β)−cos(α−β)]； 2 2 1 1 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α−β)]； cosαsinβ= [sin(α+β)−sin(α−β)]. 2 2 证明：由cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，得 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α−β)]. 2 也可利用单位圆予以证明： 1 1  证明：线段AB的中点M的坐标为 (cosα+cosβ), (sinα+sinβ).过点M作MM 垂直于 2 2  1 1 1 x轴，交x轴于M ，如图，则∠MOM = (β−α)+α= (α+β).在Rt�OMA中， 1 1 2 2 β−α α−β OM =OAcos =cos . 2 2 α+β α−β 在Rt�OM M 中，OM =OMcos∠MOM =cos cos . 1 1 1 2 2 α+β α−β M M =OMsin∠MOM =sin cos 1 1 2 2 2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式 （1）平方差公式： sin2 x−sin2 y =(sinx+sin y)(sinx−sin y) x+ y x− y x+ y x− y =2sin cos ⋅2cos sin 2 2 2 2 学科网（北京）股份有限公司x+ y x+ y x− y x− y =2sin cos ⋅2sin cos =sin(x+ y)sin(x− y), 2 2 2 2 即 sin2 x−sin2 y =sin(x+ y)sin(x− y) cosα−cosβ βα− （2） =tan sinαβ+sin 2 α+β α−β αβ− −2sin sin sin α−β β−α 证明：左边= 2 2 =− 2 =−tan =tan =右边，所以原式 α+β α−β αβ− 2 2 2sin cos cos 2 2 2 得证. 3利用和差化积公式解决抽象函数 （1）将上述公式予以抽象，若令 f(x)=cosx，则上述积化和差公式可进一步抽象得： f(x+ y)+ f(x− y)=2f(x)f(y) 2 （2）若令 f(x)= Acosωx，则有 f(x+ y)+ f(x− y)=2Acosωx⋅cosωy = f(x)f(y) A  θ+ϕ α= θ=α+β   2 （3）进一步，倘若令 ⇒ ，那么上述和差化积公式可以表示为： ϕ=α−β  θ−ϕ β=   2 θ+ϕ θ−ϕ x+ y x− y cosθ+cosϕ=2cos ⋅cos ，抽象为： f(x)+ f(y)=2Af( )f( ) 2 2 2 2 （4）若令 f(x)= Acos(x+t)，那么： f(x+ y)+ f(x− y)= Acos(x+t+ y)+ Acos(x+t− y)=2Acos(x+t)cosy 则有： f(x+ y)+ f(x− y)=2Af(x)cosy 综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型； 2 ①. f(x)= Acosωx ⇔ f(x+ y)+ f(x− y)= f(x)f(y) A 2 x+ y x− y ②. f(x)= Acosωx ⇔ f(x)+ f(y)= f( )f( ) A 2 2 ③. f(x)= Acos(x+t) ⇔ f(x+ y)+ f(x− y)=2f(x)cosy 二．典例分析 ★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简 例1．如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E,F 学科网（北京）股份有限公司 π π  1 两点，且α∈0, ,β∈ ,π,若直线EF的斜率为 ，则sin(α+β)=（ ）  2 2  3 3 3 4 4 A．- B． C．− D． 5 5 5 5 例2．已知cosα+cosβ= 12 ，sinα−sinβ=− 5 ，则tan(αβ− )的值为（ ） 13 13 119 120 119 120 A． B．− C．− D． 120 119 120 119  π 例3．如图所示，已知角α,β0<α<β< 的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交  2 点分别为A,B,M 为线段AB的中点，射线OM 与单位圆交于点C，则（ ） β−α A．∠AOC = 2 C C β−α B．OA⋅OC =cos 2 3 1 C．当AOB面积为 时，点M 在圆x2+y2 = 上运动 4 2  α+β β−α α+β β−α D．点M 的坐标为cos cos ,sin cos   2 2 2 2  例4．已知函数 f (x)=sin3x−sin2x，则（ ） A． f (x)的一个周期为−2π B． f (x)的图像关于(π,0)中心对称 C． f (x)的最大值为2 D． f (x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π ★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数 学科网（北京）股份有限公司例5.（2022新高考2卷） 22 已知函数 f(x)的定义域为R，且 f(x+ y)+ f(x− y)= f(x)f(y), f(1)=1，则∑ f(k)= k=1 A.−3 B.−2 C.0 D.1 例6．已知函数y= f (x)对任意实数x，y都满足2f (x) f (y)= f (x+y)+ f (x−y)，且 f (1)=−1，则（ ） A． f (x)是偶函数 B． f (x)是奇函数 2023 C． f (x)+ f (1−x)=0 D．∑ f (k)=1 k=1 例7．已知定义域为R的函数 f (x)对任意实数x、y满足 f (x+y)+ f (x−y)=2f (x)cosy， π 且 f (0)=0， f  =1．其中正确的是（ ） 2 π 1 A． f  = B． f (x)为奇函数 4 2 C． f (x)为周期函数 D． f (x)在(0,π)内单调递减 例8．已知函数 f (x)的定义域为R，且 f(x+y)f(x−y)= f2(x)− f2(y), f(1)=1, f(2)=0， 则下列说法中正确的是（ ） 2023 A． f(x)为偶函数 B． f(3)=−1 C． f(−1)=−f(5) D．∑ f(k)=1 k=1 ★应用3.和差化积（积化和差）公式解决实际问题 例9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转， 可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m， 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进 舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过 学科网（北京）股份有限公司程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高 度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. θ+ϕ θ−ϕ θ+ϕ θ−ϕ （参考公式与数据：sinθ+sinϕ=2sin cos ；cosθ−cosϕ=−2sin sin ； 2 2 2 2 π sin ≈0.065.） 48 ★应用4.新定义问题与应用 例10．定义二元函数 f (m,n)( m,n∈N*) ，同时满足：① f (1,1)=1；② f (m+1,n)= f (m,n)+2n；③ f (m,n+1)= f (m,n)+2m三个条件． (1)求 f (3,1), f (2,3)的值； (2)求 f (m,n)的解析式； sinax sina x sina x sina x (3)若a = f (1,n),S = 1 + 2 + 3 +3+ n ,x∈(0,2π) ．比较S 与0的大小关 n n a a a a n 1 2 3 n 系，并说明理由． 附：参考公式 1 1 sinαcosβ=  sin(α+β)+sin(α−β)  ;cosαsinβ=  sin(α+β)−sin(α−β)   2 2 1 1 cosαcosβ=  cos(α+β)+cos(α−β) ;sinαsinβ=−  cos(α+β)−cos(α−β)  2 2 例11．设n次多项式P (t)=a tn+a tn−1+3+a t2+at+a (a ≠0)，若其满足 n n n−1 2 1 0 n P (cosx)=cosnx，则称这些多项式P (t)为切比雪夫多项式.例如：由cosθ=cosθ，可得切 n n 比雪夫多项式P(x)=x，由cos2θ=2cos2θ−1，可得切比雪夫多项式P (x)=2x2−1. 1 2 (1)若切比雪夫多项式P (x)=ax3+bx2+cx+d，求实数a，b，c，d的值； 3 (2)对于正整数n≥2时，是否有P (x)=2x⋅P (x)−P (x)成立？ n+1 n n−1 (3)已知函数 f (x)=8x3−6x−1在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为x，x ，x ， 1 2 3 证明：x +x +x =0. 1 2 3 三．习题演练 学科网（北京）股份有限公司f (x)+ f (y) x+y x−y 1．已知函数 f (x)的定义域为 ， f (x)不恒为0，且 = f   f   ，则 2  2   2  （ ） R A． f (0)可以等于零 B． f (x)的解析式可以为： f (x)=cos2x 20 C．曲线 为轴对称图形 D．若 f (1)=1，则∑ f(k)=20 k=1 f(x−1) x+y x−y 2．定义在R上的函数 f (x)满足 f (x)+ f (y)= f   f  , f (1)=1，则下列结论正  2   2  确的有（ ） A． f (0)=2 B． f (x)为奇函数 2024 k C．6是 f (x)的一个周期 D．∑f2  =4052 2 k=0 3．已知函数 f (x)=sin2x−2sinx，则（） 5 A． f (2)+ f (4)<0 B．当0 f  +2 D．当0