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2023 级高二学年上学期期中考试
数 学 试 题
考试时间: 120分钟 分值: 150分
命题人：邢紫莉 审题人：孙宏波
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线. x+√3 y+2=0的倾斜角为( )
2π 5π
A.π/6 B.π/3 C. D.
3 6
2. 已知条件p: m>2, 条件q: 点P(1,m)在圆: x²+ y²=5外, 则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
3. 若双曲线 − =1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为( )
9 11
A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15
x2 y2
4. 已知椭圆 C: + =1的两焦点分别为 F₁，F₂，P 为椭圆 C 上一点且.PF₁⊥PF₂,则
20 4
|PF₁|−|PF₂|=( )
A.4√3 B.4√6 C.4√5 D. 2
x2 y2 ( 3)
5. 在椭圆 + =1中，以点 M 2, 为中点的弦所在的直线方程为 ( )
16 9 2
A. x-2y+1=0 B. 3x-4y=0 C. 3x+4y-12=0 D. 8x-6y-25=0
6. 如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体
现 了 数 学 的 对 称 美 . C₁:y²=2px,C₂:x²=−2py,C₃:y²=−2px,
C₄:x²=2py,p>0,已知正方形ABCD的面积为64, 连接C₁, C₂的焦点
F₁, F₂, 线段F₁F₂分别交C₁, C₂于点G, H,则|GH|的值为( )
A.10−5√2 B.8−5√2 C.3+√2 D.1+√2x2 y2
7. 如图，已知椭圆 E : + =1(a⟩b>0)的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过点 F₂ 的直线与
a2 b2
椭圆 E交于点A，B.直线l为椭圆E在点A 处的切线，点B 关于l的对称点为M.由椭
|BF | 4 |BF |
圆的光学性质知，F₁，A, M三点共线. 若 |AB|=a, 1 = ,则 2 =()
|M F | 5 |AF |
1 1
1 2 9 13
A. B. C. D.
9 11 11 15
8. 已知 F₁，F₂ 是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q 是它们的两个公共点，且 P，Q 关
2π
于原点对称， ∠PF
2
Q=
3
,若椭圆的离心率为 e₁，双曲线的离心率为 e₂，则
e2 3e2
1 + 2 的最小值是( )
e2+1 e2+3
1 2
2+√3 1+√3 2√3 4√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若动点 P到定点 F(-4，0)的距离与到直线 x=4的距离相等，则 P点的轨迹不可能
是( )
A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线
x2 y2
10. 设双曲线 E: − =1(a⟩0,b>0)的左焦点为 F₁，右焦点为 F₂，点P在E的右支上，
a2 b2
且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是 ( )
3
A. 若a=3且b=2，则双曲线E的两条渐近线的方程是 y=± x
2
B. 若 PF₁⊥PF₂,则 △F₁PF₂的面积等于b²
C. 若点P的坐标为( (2,4√2),则双曲线E的离心率大于3
D. 以PF₂为直径的圆与以E的实轴为直径的圆外切11. 已知曲线 M:√x2+(y−√3) 2+√x2+(y+√3) 2=4, 曲线 N:x=5−√1−y2,下列结论正确的是(
)
A. M与N有4条公切线
B. 若A,B分别是M,N上的动点, 则|AB|的最小值是3
1 80
C. 直线 y= (x−4)与M，N的交点的横坐标之积为 −
3 37
y 4 y
D. 若A(x,y)(y≠0)是M上的动点, 则 | |+| |的最小值为8
x+1 x−1
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共15 分.
12. 已知抛物线方程为 4 y=x²,则抛物线的准线方程为 .
13. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用
太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆
(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆
心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴
长是 .
14. 如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆. 许多人从纯几何的角度出发对这
个问题进行过研究, 其中比利时数学家 Germinal dandelin(1794-1847) 的方法非常巧妙, 极
具创造性. 在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分
别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于
C，B，由球和圆的几何性质, 可以知道, AE=AC, AF=AB, 于是AE+AF=AB+AC=BC. 由B, C的产
生方法可知, 它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 P，则球在桌面上的投影是椭圆.
已知 A₁A₂是椭圆的长轴， PA₁垂直于桌面且与球相切， PA₁=5,则椭圆的离心率为
.四、解答题：本题共 5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知直线 l₁:x+(2m−2)y=0,l₂:2mx+ y−2=0,且满足 l₁⊥l₂, 垂足为C.
(1)求m的值及点C的坐标.
(2)设直线l₁与x轴交于点A，直线 l₂与x轴交于点B，求 △ABC的外接圆方程.
16.(15分)如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC
上， AC=2AB=6,CD=2DB.
(1)证明: AD⊥平 面B; OP
(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角( O−BP−A的余弦值.
x2 y2 √3 ( √3)
17.(15分) 已知椭圆 C: + =1(a⟩b>0)的离心率为 ,且过点 1, .
a2 b2 2 2
(1)求椭圆C的方程：
(1 ) 3
(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A、B, 设点 N ,0 ,若△ABN的面积为 △ABN ,求
2 10
直线l的斜率k。18.(17 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 平 面 PAD⊥ 平 面
ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD, AB=1,AD=2,AC=CD=√5.
(1)求证: PD⊥平 面P.AB
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
AM
(3)在棱PA上是否存在点M , 使得BM∥平面PCD?若存在, 求出 的值；
AP
若不存在，请说明理由.
x2 y2
19. (17 分)已知双曲线 Γ: − =1(a⟩0,b>0)的左、右焦点分别为 F₁(−c,0),F₂(c,0),点
a2 b2
P(2√2,1)是Γ上一点.若I为 △PF₁F₂的内心，且 5S −5S =2√5S .
IPF IPF IF F
1 2 1 2
(1)求Γ的方程;
(2)点A是Γ在第一象限的渐近线上的一点， 且. AF₂⊥x轴，点 Q(x₀,y₀)是Γ右支上的一动点
4√5 |N F |
Γ在点Q处的切线l与直线. AF₂相交于点M ，与直线 x= 相交于点N.证明： 2 为
5 |M F |
2
定值.
