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公众号：黑洞视角
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考
高三数学 参考答案及解析
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目
要求.)
1. 【答案】A
【解析】因为A={-2,-1,0,1,2}, 其中-2∈B,-1∈B, 所以 A∩B=−2,−1,故选 A.
2.【答案】D
2−i |2−i| √5 √10 5
【解析】由题， z= ,故 |z|= = = ,所以 z⋅z=|z|2= , 故选 D.
1+i |1+i| √2 2 2
3. 【答案】C
【解析】( (a+b)⋅b=x+1+x(x+1)=x²+2x+1=0,解得x=-1, 故选 C.
4.【答案】C
( π π) ( π ) π 1
【解析】由题， g(x)=sin 2x+2× − =sin2x,所以 g =sin = ,故选 C.
12 6 12 6 2
5. 【答案】A
【解析】设A, B,C三人的体质指数分别为a, b, c, 则a+b+c=3×20=60,故5 人体质指数的平均
1 1
值 x= (60+18+22)=20,又 [(a−20) 2+(b−20) 2+(b−20) 2]=3, 所 以 (a−20)²
5 3
1
+(b−20)²+(b−20)²=9,所以5人的体质指数的方差为 [(a−20) 2+(b−20) 2+(c−20) 2+
5
17
(18−20) 2+(22−20) 2 ]= , 故选 A.
5
6. 【答案】B
y + y
【解析】设 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 焦点 F(0,1), 则 y = 1 2, 由 |AF|= y₁+1,
0 2
y + y
|BF|= y₂+1,则 |AF|+|BF|= y₁+ y₂+2≥|AB|=6,所以 y = 1 2≥2,当A,F, B
0 2
三点共线时，y₀取得最小值2.微信公众号：浙江省高中数学 故选 B.
7. 【答案】C
【解析】当有 1 个红球时，有
CI=8种；
当有 2 个红球时，有
C2=21种；
当有3 个红球
8 7
时，有
C3=20种；
当有4个红球时，有
C4=5种；
当有5个及以上个红球时，不合题意，所以
6 5
满足条件的不同排列方法的总数之和为 54.故选 C.
8. 【答案】B公众号：黑洞视角
【解析】由 ∀x≠1,f (2−x)=−f (x)得 f (−x+1)=−f (x+1),所以 f (x+1)为奇函数，
{ 2ln(2x)+2x+2, x>0,
令
g(x)=f (x+1)=
当 x>0 时 ,
aln(−2x)+bx+b+c, x<0,
−x<0,g(−x)=aln(2x)−bx +b+c=−g(x)=−2ln(2x)−2x−2,所 以
a=−2,b=2,b+c=−2,,即c=-4,所以 abc=16,故选 B.公众号：黑洞视角
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)
9.【答案】ABD
【解析】 12a₁₅+a₁₈=a₁₅+a₁₅+a₁₈=a₁₅+a₁₆+a₁₇=3a₁₆=24,得 a₁₆=8,A 正确；若 S₉=S₁₀,则
4
a₁₀=0,故 a₁₆=a₁₀+6d=8,解得 d= ,B正确；因为 a₁₆=8,若 d=−2,则 a₁₉=2,a₂₀=0, a₂₁=−2,所
3
以 S，的最大值为， S₁₉或 S₂₀,C 错误; 若( a₁₅,a₁₆,a₁₈成等比数列，则 a2 =a a ,即(
16 15 18
(8−d)(8+2d)=64 解得d=4，D正确.微信公众号：浙江省高中数学故选ABD.
10.【答案】BD
1+x 1−x
【解析】f(x)的定义域为( (−1,1),f (−x)=−ax+ln =−ax−ln =−f (x),所以f(x)为奇函
1−x 1+x
数, A 错误; 因为 g(-2-x)+g(x)=-4a, 所以 g(x)的图象关于点(-1,-2a)对称, B 正确；
2 2
f'(x)=a+ ,因为-10,k(t). 单 调 递 增 ； 当 t> 时 ， k'(t)<0,k(t) 单 调 递 减 ， 故
a a
(1) 1 1 1
k(t) =k =ln −1,因为 a> ,所以 ln −1<0,所以方程f(x)=g(x)没有实根，D正确.故选 BD.
max a a e a
11. 【答案】BCD
m2 x2
【解析】设 A(m, n), 则 B(−m,−n),P(x₁,y₁)(x₁≥2),则 −n2=1, 1−y2=1,两式作差得
4 4 1
m2−x− n2−y2 1 n2−y2 1
1 =n2−y2,即 1 = ,故 1 = ,A 错 误 ； 因 为 |PF₁|−|PF₂|=2a=4,所 以
4 1 m2−x2 4 m2−x2 4
1 1
y −n y +n
PF |2+|PF |2=(|PF |−|PF |) 2+2|PF |k k = 1 . 1 =24 又 |F F |=2c=2√5,所
1 1 1 1 1 p 4 pB x −m x +m 1 2
1 1
|PF |2+|PF |2−|F F |2 1 π
以 cos∠F PF = 1 2 1 2 = 因为 ∠F₁PF₂∈(0,π),所以 ∠F PF = , B 正
1 2 2|PF |⋅|PF | 2 1 2 3
1 2
1 1
确； 设PF₁的中点为H, |H F |= |PF |,|HO|= |PF |, 又
1 2 1 2 2公众号：黑洞视角
1 1
|PF |− |PF |=2,所以 |HF₁|−|HO|=2,即 |HF₁|=|HO|+2,所以以 PF₁为直径的圆与
2 1 2 2
π
圆 x²+ y²=4相 内 切 ， C 正 确 . 若 ⃗PF ⋅⃗PF =0,则 ∠F PF = ,所 以
1 2 1 2 2
|PF₁|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²=20,又 |PF₁|−|PF₂|=2a=4, 解 得 |PF |=√6+2,|PF |=√6−2,
1 2
1
故 内 切 圆 半 径 r= (|PF |+|PF |−|F F |)=√6−√5, 过 点 N 作 x 轴的垂 线 , 垂足
2 1 2 1 2
为 M, 则 |F M|=|PF |−r=2+√5,又 |OF |=√5,所以点 N 的横坐标为 2，故则点
1 1 1
N(2,√6−√5),D正确; 故选 BCD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.【答案】84
【解析】 T =Crx7−r ⋅2r ⋅x−r=Cr2rx7−2r,当r=2时, 得. x³的系数为 C222=84.
r+1 7 7 7
13. 【答案】-1
【 解 析 】 y'=eˣ⁺ᵃ, 设 切 点 为 (x ,ex 0 +a),则 切 线 方 程 为 y−ex 0 +a=ex 0 +a (x−x ),所 以
0 0
e1+a+1
−ex 0 +a=−ex 0 +ax ,解得 x₀=1,所以切线方程为 e¹⁺ᵃx−y=0,圆心到切线的距离 d= =√2,
0 √(e1+a) 2 +1
即 (e¹⁺ᵃ)²−2e¹⁺ᵃ+1=0,得 e¹⁺ᵃ−1,故a=-1.
9π
14.【答案】
2
【 解析 】 如 图 , 取 AC 中点 D, 连接 SD, BD, 则
SD=
√
SA2−
(AC) 2
=√3,同理可得 BD=2,易知 △ABC的外接圆圆心O 在
2
BD √6
直线 BD 上，又 sin A= = ,所以 △ABC的外接圆半径过点O作 平
AB 3
1 √6 3
3 1 r= × = ,
面 ABC 的 垂 线 ， 外 接 球 球 心 在 垂 线 上 ， 且 OB= ,OD= ,乂 2 √6 2
2 2
3公众号：黑洞视角
BD
9
2 √3 可 得 SO2=SD2+OD2−2SD⋅ODcos∠SDB= , 故
cos∠SDB= = , 4
SD 3
3 3
SO=OA=OC=OB= ,故点 O 即为该四面体的的外接球球心，其外接球半径 R= ,所以
2 2
4 9π
V = πR3= .
3 2公众号：黑洞视角
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13分) 【答案】
( π)
(1) 由 2asin C+ =b+c得 acosC+√3asinC=b+c,
6
由正弦定理得 ………………………………………………………………………… 2分
即 sin AcosC+√3sin AsinC=sin AcosC+cosAsinC+sinC,
即分 ……………………………………………………………………………………… 4
因为00,
故 √3sin A−cosA=1,
即分 ……………………………………………………………………………………… 6
π π
因为00时, f'（x）>0, f（x）单调递增 ……………………………………………… 4分
故 …………………………………………………………………………………………… 5
综上： f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为 ……………… 6分
(2) 由.f(x)≥ex+a得 (x−1)eˣ−ex≥a,
令 g(x)=(x−1)eˣ−ex, 则 g'(x)=xeˣ−e,
令则 ………………………………………………………………………………… 8分
当x<-1时, h'(x)<0, h(x)单调递减,
…………………………………………………………………………………………… 10
1
又当x<0时, ℎ(x)<0,ℎ(−1)=− −e<0,ℎ(1)=0,
e
…………………………………………………………………………………………… 12公众号：黑洞视角
当x>l时, h(x)>0, , 即g'(x)>0, g(x)单调递增.
故 g(x)ₘₙᵢ =g(1)=−e, …………………………………14分
若f(x)≥ex+a恒成立, 只需 a≤g(x)ₘₙᵢ =−e,
所以实数a的取值范围为(-∞，-e). …………………………………………15分
18. (17分) 【答案】
(1) 证明: 由棱台的性质可得直线DD₁与BB₁相交, 所以D₁, D, B, B₁四点共面,过点 D作AB的垂线, 垂足
为E, 由题可知AE=1,所以 DE=√AD2−AE2=√3,又BE=3, ....2分所以 BD=√DE2+BE2=2√3,
所以 AD²+BD²=AB², 故AD⊥BD, ....4分又AD⊥BB₁, BD∩BB₁=B,所以AD⊥平面D₁DBB₁,故平面
ABCD⊥平面D₁DBB₁,…………………………………………………………………6分
(2) 过 点 D₁ 作 直 线 BD 的 垂 线 , 垂 足 为 F, 则 D₁F⊥平 面A,因BC为D
√3
AB=2A B =4,BD=2√3,故 B D =√3,所以 BB =DD =B D =√3,易得 DF= ,故
1 1 1 1 1 1 1 1 2
3
D F=√DD2−DF2= ,
1 1 2
1 1 3√3
又 S = ×√3×(2+4)=3√3,S = S = ,…8分
ABCD 2 A 1 B 1 C 1 D 1 4 ABCD 4
所以四棱台 ABCD−A₁B₁C₁D₁
1 3 ( 3√3 √ 3√3) 21√3
V = × × 3√3+ + 3√3× = . …10分
3 2 4 4 8
(3)取AB 中点M, B₁D₁中点( O₁,, 连接CM交AB于点O, 连接( OO₁,公众号：黑洞视角
由(1)可知OM, OB, OO₁三条直线两两垂直，以O为坐标原点，OM，OB， OO₁所在直线分别
为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
( √3 3)
A(2,−√3,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),B 0, , ,…12分
1 2 2
设平面. A₁ABB₁的一个法向量为微信公众号：浙江省高中数学 m=(x,y,z)
{ −2x+2√3 y=0,
{m⋅⃗AB=0,
则 , 艮 3√3 3 ,
m⋅⃗AB =0 −2x+ y+ z=0
1 2 2
√3 ( √3)
令 x=√3, 解得 y=1,z= , 所以 m= √3,1, , …14分
3 3
同理可得平面B₁BCC₁的一个法向量为 n=(−3,,√3,1),. ………15分
5√3
|m⋅n| 3 5
所以 |cos= = = ,
|m|⋅|n| √13 13
⋅√13
3
5
所以平面. A₁ABB₁与平面. B₁BCC₁夹角的余弦值为 . …17分
13
19. (17分) 【答案】
(1) 设椭圆的焦距为2c(c>0), 则 F₁(−c,0),F₂(c,0),
1
则 S = |F F |×(1+|−1|)=2c=2√3,得 c=√3, 所以 a²−b²=3, ……………1 分又
AF 1 BF 2 2 1 2
4 1
+ =1,
a2 b2
解得 a²=6,b²=3,公众号：黑洞视角
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1. ………3分
6 3
(2) 易得 F (−√3,0),F (√3,0), 则 k =−2−√3,k =√3−2, …4分
1 2 AF AF
1 2公众号：黑洞视角
设直线l的斜率为k，则直线AF₁到直线l的角等于直线l到直线l AF₂的角，
k−k k −k
所以 AF 1 = AF 2 ,
1+kk 1+kk
AF AF
1 2
k+2+√3 √3−2−k
即 = ,解得k=1或k=-1,…6分
1−(2+√3)k 1+(√3−2)k
当k=1时, 直线l为的补角的角平分线所在的直线， 不合题意； ………………………… 7
所以直线l的方程为y-1=-（x+2）,即x+y+1=0 ………………………………………… 8
y
(3) 证明: 设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 易得直线AB的斜率 k =−1,k = 1 ,
0 1 x +2
1
x2 y2 (−2) 2 12
又 1+ 1=1, + =1, 两式做差得 (x₁−2)(x₁+2)=−2(y₁−1)(y₁+1),
6 3 6 3
y −1 1 x −2
即 k = 1 =− × 1 ,
1 x +2 2 y +1
1 1
同理 ……………………………………………………………………………………… 10
因为点 B到直线l₁，l₂的距离相等，所以l₁到直线AB 的角等于直线AB到l₂的角，
k −k k −k
由到角公式得： 0 1 = 2 0 ,
1+k k 1+k k
0 1 0 2
分 12
化简得： x₁−2x₂+2y₂−4 y₁=2x₂y₁+x₁y₂+6,. . . . . 14分
两式作差得： −6(y₂−y₁)+3(x₂−x₁)=x₁y₂−x₂y₁,y −y
又直线 PQ:y−y = 2 1 (x−x ),即 (y₂−y₁)x−(x₂−x₁)y=x₁y₂−x₂y₁,
1 x −x 1
2 1
所以点( (−6,−3)在直线PQ 上，
所以直线PQ过定点.
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