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南昌二中 2024-2025学年度上学期高三数学月考（二）答案
1. 2. 3.A 4. 5. 6. 7.D 8.
9. 10. 11.
12 . 13. 14.
−
15. − ① ° 当 时 ， ②
①(1) ②∵ 4 +1 =3 −9 ，在∴ ① 式⩾中2 ，令4 =，3 则 −1−9 ，
9 27
− ⇒ 4 +1 =3 ( ⩾2) =1 4(−4+ 2)=− 4 −9
满足 ， 对一切 恒成立， 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，
27 2 3 +1 3 ∗ 9 3
∴ 2 =−16 1 =4 ∴ =4 ∈ ∴{ } −4 4
故 （ ）
9 3 −1 3 ∗
=−4.(4) =−3⋅(4) n∈N .
由 ，
3
(2) 3 +( −4) =0 ⇒ =( −4)⋅(4)
①
3 3 2 3 3 3 −1 3
∴ =(−3)⋅4+(−2)⋅(4) +(−1)⋅(4) +⋯+( −5)(4) +( −4)⋅(4)
②
3 3 2 3 3 3 −1 3 3 +1
∴4 =(−3)⋅(4) +(−2)⋅(4) +⋯+( −6)(4) +( −5)(4) +( −4)(4)
由 ① ②
1 9 3 2 3 3 3 3 +1
− ⇒4 =−4+(4) +(4) +⋯+(4) −( −4)(4)
（ ）
3 2 3 −1
1 9 (4) ·[1−(4) ] 3 +1 3 +1 3 +1 ∗
∴ 16 4 . =−4+ 1− 3 4 −( ， −4)·(4) =− ·(4) ∴ ， =−4 ⋅(4) n∈N .
3 3 3
(1)∵ cos − 3 sin = ∴sin cos − 3 sin sin =sin ∴ sin cos − 3 sin sin =sin( +
， ， ， ，
1 1
)= sin cos +cos sin ∴− 3sin sin =cos sin ∵sin ≠0 ∴− 3sin =cos
，又 ， ．
2
∴ tan =− 3 ∵ ∈(0, ) ∴ = 3
因为 为 的平分线， ，所以 ，又 ， ，
2
(2) ∠ = 3 ∠ =∠ = 3 △ = △ + △ = 3
所以 ，即 ， ①，
1 2 1 1
2 sin3 =2 ⋅ 3sin3+2 ⋅ 3sin3 = 3( + )
由余弦定理，得 ，即 ， ②，
2 2 2 2 2
由 ① ②可得 = + 舍−去2负 值 co，s 3 ( ，+所 )以−， 是=关36于 的方程 的两个实根，
2
解得 + ．=又4因为3( 为 ) 的 平 = 分 1 线 2 ，所以 ， 又 −4，3 +12，=所0以
1
= =2 ，3 ∠ ，所以 的 ⊥ 周 长 为 =2． =6 = −
2 2
17 . =3由−题2意=可1知， 两=焦点 与 短+轴 的 两个=端2 点的连△线 构 成 一个正方形3+， 3
(1)
则 ，所以椭圆方程： ，将 代入，可得 ，所以 ，
2 2
2 2 2
2 2
= 2 2 + =1 (1, 2 ) =1 =2
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1 3
{#{QQABCYYAogCAAAIAAQgCEwHCCgOQkhGCASgGxBAIoAAAyQFABAA=}#}所以椭圆 的方程： ；
2
2
是定值 ，理由如下2：+由 条=件1知 ，
(当2)直线 不与 轴重合时，可设直线 (的1,方0)程为 ，设 ， ，
= +1 ( 1, 1) ( 2, 2)
由 ，可得 ，所以 ， ，
= +1 2 2 2 1
2 2 ( +2) +2 −1=0 1+ 2 =− 2 +2 1 2 =− 2 +2
则 +2 −2=0
5 5 5 5 2 1 1
⋅ =( 1−4, 1)⋅( 2−4, 2)=( 1−4)( 2−4)+ 1 2 =( +1) 1 2−4 ( 1+ 2)+16
为定值 ，
2
2 1 1 2 1 − −2 1 7
2 2 2
= 当直 ( 线 + 与 1)⋅ 轴 (− 重 合+时2) ， −4， ⋅( 两 − 点 +的2坐 )+ 标16分 = 别2为( +2)+16 = ， −16( ， )
所以 (，−综2上,0可)得(，2,0) 为定值，定值为 ．
5 5 7 7
⋅ =(− 2−4,0)( 2−4,0)=−16 ⋅ −16
18. 的定义域为 ， 在 上递增， ′ 在 上恒成立，
2
(1) ( ) (0,+∞) ∵ ( ) (0,+∞) ∴ ( )=2 − + ≥0 (0,+∞)
即 在 上恒成立，又 ，当且仅当 时等号成立，
2 2 2
≤2， +故 实数(0,+的∞取)值范围为 2 ；+ ≥2 2 ⋅ =4 =1
∴ 由 ≤ 题 4 意 ′ −∞,4 ， 有两个极值点 ， 为方程
2
2 2 − +2 2
( 的 2) 两个不相 等 ( 的 ) 实 = 数 2 根 − ， 由 + 一 元 = 二次方 程根与 ∵ 系 ( 数 ) 的关系得 1, 2 ， ∴ 1, 2 ， 2 − +2=0
1+ 2 = 2 1⋅ 2 =1
， ，又 ，解得 ，
1 1
∵ 0< 1 < 2 ∴ 0< 1 <1< 2 =2( 1+ 2)=2( 1+ 1)∈(4,5) 2< 1 <1
2 2
∴ ( 1)− ( 2)=( 1 − 1+2ln 1)−( 2 − 2+2ln 2)
2 2
=( 1 − 2 )+2(ln 1−ln 2)−2( 1+ 2)( 1− 2)
2 2
=( 2 − 1 )+2(ln 1−ln 2)
，
1
2
= 12− 1 +4ln 1
设 ，则 ′ ，
4 2 2 2
1 2 1 −2 4 −2( −2 +1) −2( −1)
( )= 2− +4ln (2< <1) ( )= 3 −2 + = 3 = 3 <0
在 上单调递减，又 ， ，
1 1 1 1 15
∴ ( ) 2,1 (2)=4−4+4ln 2= 4 −4ln 2 (1)= 1−1+0= 0
，即 的取值范围为 ．
15 15
∴ 19 0 . < 由 ( 题 ) 意 < ，4得 −4ln 2 ( 1)− ， ( 2) ， 0, 4 −4ln 2 ，所以 ，
(1)，因为 是 1 等=比 数 1+列 ， 2 =所1以公 2 比=为 2+ 3 ，=由1此 得 3 = 3+， 4 =3 ， 1 = ， 1+ 2 =2 2 = 2+
2
所 3 以 =4 ， 1 =2 3 ， =8 4 =16 5 =32 ，
所以 4 = 3− 3 =8−3=5， 5 = 4− 4 =16−5=11， 6 = 5− 5 =32−11=21
5 = 4− 4 =5−3=2 6 = 5− 5 =11−2=9 7 = 6− 6 =21−9=12;
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2 3
{#{QQABCYYAogCAAAIAAQgCEwHCCgOQkhGCASgGxBAIoAAAyQFABAA=}#}设 的二阶和数列的前 项和为 ，
(由2)题意 ， 得 ， ，
= + +1 = + +1=2 +1 = + +1 =2 +1+2 +1 +1=4 +4
所以
8+4 +4 2
= 1+ 2+⋯+ =8+12+⋯+4 +4= 2 =2 +6 ;
因为 ，所以 ，解得 ，
1
(3) 3 −1 ≤2 −1 3 −1⩽2( −1+ ) 2 −1 ≤
设数列 的公差为 ，则 ，
1
2 1+ −2 ≤1+ −1
得 ，又因为 ，
−1
≥ ≥−1 1+ 2+⋯+ =1000
所以 ，得 ，
−1 −1 −1 1 +1
1000= 1+ 2 × = + 2 × ≥ + 2 × − = 2 ≤1999
所以 的最大值是 ，此时公差为 ．
2000−2 1
1999 = −1 =−1999
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3 3
{#{QQABCYYAogCAAAIAAQgCEwHCCgOQkhGCASgGxBAIoAAAyQFABAA=}#}
