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2023-2024 学年第二学期期末试卷
高二数学
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符
合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
A D A B B A C B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 10 11
ABD AD ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14． 1712
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
解得 ，即p为真命题时，实数x的取值范围是 ---------------3分
由 ，解得 ，--------------5分
即q为真命题时，实数x的取值范围是 ．
所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为 ．----------------7分
（2）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，故p： ．---------------10分
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学科网（北京）股份有限公司若 是 的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
所以 ，解可得 ．故实数a的取值范围是 ---------------13分
16．（15分）
【详解】（1）函数 的定义域为 ，对任意 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 为单调递增函数；---------------5分
（2）因为函数 为奇函数且定义域为 ，所以 ， ，
当 时， 满足，故 ；---------------8分
（3）因为 是奇函数，从而不等式 对任意的 恒成立等价于不等
式 对任意的 恒成立.---------------10分
又因为在 上为增函数，所以等价于不等式 对任意的 恒成立，
即不等式 对任意的 恒成立.---------------13分
所以必须有 ，即 ，
所以实数 的取值范围 .
故 的取值范围为 .---------------15分
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学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
【详解】（1） 的定义域 ,
若 则 在 上单调递增；---------------3分
若 当 时， 则 单调递减， 时， 则 单调递
增.---------------6分
综上：当 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.---------------9分
（2）因 ，设 则 ，---------------13分
则 在 上单调递减， 故 .---------------15分
18．（17分）
【详解】（1）数列 中， ，当 时， ，
两式相减得： ，而 ，解得 ，---------------5分
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .---------------8分
（2）由（1）可得 ，
则 ，---------------12分
于是得 ，
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学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ，---------------15分
因此 ，即 ，解得 ，
所以正整数n的最小值为5.---------------17分
19．（17分）
【详解】（1）若函数 在 上的单调递减，则 在 上恒成立，
化简得 ，显然函数 在 上递增，即 ，
所以 .---------------5分
（2）函数 ， ， ，
当 时，由 得， ，---------------8分
当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增，
因此当 时， 取得极小值 ，
则只要 ，即 ，---------------12分
令 ，则 ， 在 上单调递增，而 ，
则由 ，得 ，即方程 的根为1；---------------15分
当 时， ，函数 在 上单调递减，而 ， ，
此时函数 有且只有一个零点，
所以实数 的值是 或 .---------------17分
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