文档内容
第一单元 小数除法
整数部分够商1，
小数除以整数
整数部分不够商1，用0补
一个数除以小数
一个数除以小数
被除数的小数位数比除数少
四舍五入法（按要求）
求商的近似值
进一法
去尾法 据实际情况
小数除法
有限小数
小数分类 循环小数(纯、混循环小数）
无限小数
不循环小数（有限小数、无限小数）
小数除法混合运算：和整数除法混合运算顺序相同
用连除的方法解决实际问题
解决问题
一、计算小数除法： “进一法”和“去尾法”在实际问题中的
应用
1、小数除法的意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中的一个
因数，求另一个因数的运算。
2、小数除以整数的计算方法：（1）按整数除法的方法去除；（2）商的小数点要和被除数的小数点对
齐；（3）整数部分不够除，商0，点上小数点；（4）如果有余数,要添0再除。
3、除数是小数的计算方法：（1）用商不变定律；（2）按整数除法的方法去除；（3）商的小数点要和被
除数的小数点对齐；（4）整数部分不够除，商0，点上小数点；（5）如果有余数，要添0再除。
【注意】人民币兑换：外币×汇率﹦人民币 人民币÷汇率﹦外币。
二、小数四则混合运算：
计算小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。整数的运算定律在小
数运算中仍然适用。例如乘法的结合律，交换律，分配律等等。
三、求商的近似值：根据要求除到所需保留位数的后一位，再用“四舍五入”法求商的近似值；但有时要根据实际需要，用“进一法”或“去尾法”求商的近似值。
四、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样
的小数叫做循环小数。
循环节：循环小数中重复出现的数字。
循环小数的一般写法：写两个循环节，点上省略号。
简便写法:写一个循环节，在首位和末位点上循环点。
有限小数：小数位数是有限的小数。
小数 纯循环小数（如： ）
循环小数
无限小数：小数位数是无限的小数。 混循环小数（如： ）
无限不循环小数
五、被除数、除数、商的变化规律：
被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
除数不变，被除数扩大（或缩小）多少倍，商也扩大（或缩小）多少倍。
被除数不变，除数扩大（或缩小）多少倍，商则缩小（或扩大）多少倍。
六、小数除法中的比大小：
当除数大于1时，商小于被除数。（被除数≠0） 如：4.8÷1.1﹤4.8
当除数小于1时，商大于被除数。（被除数≠0） 如：4.8÷0.9﹥4.8
当除数等于1时，商等于被除数。 如：4.8÷1﹦4.8
七、解决问题：根据实际情况取值，算式上用原数,答上最值；五步骤：审，找，列，算，答。
1、做一套衣服用布2.4米，28米长的布最多能做多少套衣服?
2、五（1）班有51人，秋游去划船，每条船只能坐4人，他们一共要租几条船？
3、1、游艺会上有个节目是“吹气球“。买一包气球有200个，用去29.6元。平均每个气球多少元？
（四舍五入保留两位小数）
第一单元测试卷一、填空题。（20分）
1、 3.2965保留一位小数约是（ ），保留三位小数约是（ ），保留整数约是（ ）。
2、在计算4.9÷（8.2 - 4.7）时，应先算（ ）法，再算（ ）法，计算结果是（ ）。
3、6.4÷0.004的商的最高位是在（ ）位上。
4、9.6654保留两位小数约等于( ),保留整数约等于( )。
5、0.444… 记作( ), 2.13535… 记作( )。
6、计算小数除法时，商的小数点一定要与( )的小数点对齐。
7、 除数是一位小数的除法,计算时除数和被除数同时扩大( )倍。
8、25÷36的商用循环小数的简写形式表示是（ ），保留两位小数约是（ ）。
9、在○里填上“＞”、“＜”、或“=”
2.4÷1.2○2.4 0.35÷0.99○0.35 0÷9.9○9.9
10、把一个数的小数点向右移动两位后，得到的数比原来大201，原来的数是（ ）。
11、在5.454，5. ，5.4，5. ，5. 这五个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）
12、在（ ）里填上适当的数。
14.4÷0.45=( )÷45 2.58÷0.12= ( ) ÷12
22÷8.8 = ( )÷88 9.12÷0.08= ( )÷8
二、判断题。（对的在括号里打“√”，错的打“×”。 ）（10分）
1、在除数中 ，除不尽时商一定是循环小数。 （ ）
2、0.25÷0.12的商一定小于0.25。 ( )
3、1÷7的商是循环小数。 ( )
4、一个小数保留一位小数一定比保留两位小数小。 ( )
5、1.47÷1.2的商是1.2，余数是3。 （ ）
三、选择题。（把正确的答案的序号填在括号里。）（10分）
1、在除法算式中，0不能做（ ）。
A、除数 B、商 C、被除数
2、下列各数是循环小数的是（ ）
A、0.151515 B、0.1515……0. C、511512
3、除数大于1时，商（ ）被除数。
A、大于 B、小于 C、等于
4、3.6与2.4的和除0.6，商是多少？列式正确的是（ ）。
A、3.6+2.4÷0.6 B、（3.6+2.4）÷0.6 C、0.6÷（3.6+2.4）
5、下列算式中，与7.2÷0.36相等的式子是（ ）。
A、720÷36 B、72÷3.6 C、7.2÷0.036四、计算题。34分
1、口算。（10分）
10÷4= 12.9÷0.3= 1.3÷0.13= 0.6÷1.2=
0.3÷2= 0.32÷0.04= 2.64÷1.1 = 3.6÷0.4=
3.98÷1.0= 1.98÷0.78=
2、竖式计算。（12分）带*的要验算。
70÷5.6 = *42÷12= 126.1÷50.44=
15.12÷4.5= 176.4÷0.63= *9.744÷4.8=
3、脱式计算。（12分）
0.2×0.6×0.5×4 （7.5－2.3×0.4）÷0.01
3.64÷5.2×23.8 178.8÷(26.4-5.6)
五、应用题。（1-3题每小题4分，4、5题每小题5分，共22分）
1、张阿姨做的一套童装用布2.2m，50m最多可以做多少套这样的童装？
2、服装厂购买一批布，原来做一件婴儿衣服需要0.8米，可以做720个。后来改进技术每件节约用
布0.2米，这批布现在可以做多少个？
3、张华带了20元去超市买圆珠笔，毎枝笔2.5元，她一共可以买多少枝？
4、小明的爸爸要去欧洲旅游，准备拿6000元人民币去换欧元。你知道这些钱大约可以换多少欧元吗？（1欧元兑换人民币8.19元）
5、用一根铁丝正好折成一个长13.2cm,宽9.6cm的长方形，如果把这根铁丝拉直，再折成一个等
边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？
第一单元：小数除法
姓名： 得分：
一、 填一填（24分）
1、90分＝（ ）小时 3小时39分＝（ ）小时2、 0.12÷0.3=( )÷3 0.672÷0.28=( )÷( )
3、7.0306306……用循环小数的简便记法写作（ ），保留三位小数
是（ ）。
4、在圆圈里填上“＞”、“＜”或“＝”号。
3÷5○0.6 3.78○3.78÷0.25 2.08÷1.6( )20.8÷16
5、牛奶5角一袋，1元5角可以买（ ）袋，买7袋需要（ ）元。
6、一个正方形的周长是10分米，它的面积是（ ）平方分米。
7、根据1.8÷0.9＝2，写出一道乘法算式和一道除法算式。
乘法算式：（ ），除法算式：（ ）。
8、把6.35、6.35、6.305、6.3、6.3按照从小到大的顺序排列
（ ）。
9、4 ×（ ）＝134 （ ）÷ 8＝10.4
10、 一个三位小数精确到百分位取近似值是3.80，这个三位小数最小可能是（ ），最大可能
是（ ）。
11、3.47÷0.62，商是5.5 时，余数是( )。
12、给算式8.08÷4+5×0.6添上小括号，使它们符合下面的运算顺序。
① 除→加→乘 算式：（ ）；
② 加→除→乘 算式：（ ）。
二、 选择题。（把正确答案的序号填在括号里）（5分）
1、与4.83÷0.7的商相等的式子是（ ）。
A．483÷7 B．48.3÷7 C．0.483÷7
2、两个数相除商是0.42，把被除数和除数同时扩大10倍，商是（ ）。
A． 0.42 B．4.2 C．42
3、2．345.....的小数部分第50位上的数字是（ ）。
A． 3 B．4 C．5
4、一根18米长的绳子，对折再对折后，每段长是（ ）。
A．9米 B．6米 C．4.5米
5、下面除法算式中，A表示大于0的数，商最大的算式是 ( )。
（1）A÷1.5 （2）A÷0.5 （3）A÷0.9
三、判断题。（对的打上“√”，错的打上“×”）（5分）
1、把一个小数精确到百分位，也就是保留两位小数。（ ）
2、小数除以小数，商一定是小数。 （ ）
3、每套西服用布2.8米，30米布可以做11套这样的西服。 （ ）
4、一堆石子60吨，一辆卡车最多能装4.5吨，运完这堆石子需要13趟。（ ）
5、两个数相除的商是7.2，如果被除数不变，除数扩大9倍，那么商是0.8。（
四、计算题：（共36分）
1、 直接写得数（6分）
0．3＋0.25＝ 0.3－0.25＝ 0.3×0.25＝ 0.3÷0.25＝
12．4÷0.4＝ 4.32 ×0.1＝ 8.2÷0.82＝ 7÷3.5＝
1 ÷3＝ 2×（ ）＝0.4 （ ）×1.6＝4.8 2－2÷4＝
2、 用竖式计。（15分）
48．3÷0.35 8.64÷24 4.82×0.56 0.612÷1.8 0.574÷0.28
3、选择自己喜欢的方法，计算下面各题。（15分）
12．5÷2.5÷0.4 2.6×1.9÷2.6×1.9 (7．7+1．54)÷0．710.8÷［（4.62－1.92）×4］ 2.6×（2.139÷9.3×6.2）
五、 解决实际问题（30分）
1、一辆汽车2. 5小时行136. 5千米,照这样计算,8小时可行多少千米？
2、一只河马的体重是5.1吨，是一头水牛体重的15倍。这只河马比这头水牛重多少吨？
3、妈妈在菜市场买了1.5千克带鱼，交给售货员11元钱后，找回0.95元。每千克带鱼多少元？
4、一间教室长8.6米，宽4.5米，用每块0.2平方米的方砖铺地，需要多少块？
5、 两种规格的牙膏的售价情况如下：如果买3支小牙膏，售价是8.7元；如果买4支小牙膏，售价是
10.8元。购买哪种牙膏比较合算？
6、小红和小丽住在同一幢楼的同一个单元，小红家住在四楼，小丽家住在七楼，这一次她们俩以同样
的速度回家，小红用了0.9分，小丽应该用多少秒？
附加题：1、 工程队修一条公路,原计划每天修路1.65千米，20天可以完成。实际只用了15天，实际
平均每天多修路多少千米？（10分）
2、甲、乙两人同时从两地相对出发，甲每分钟行60米，乙每分钟行80米，经过40分钟后，两人还相距
360米。（10分）
60 × 40 表示：（ ）；80 × 40 表示：（ ）；
（60＋80）×40 表示：（ ）；
（60＋80）×40＋360 表示：（ ）；
第二单元、倍数与因数
(一）自然数、整数
1、自然数的概念：用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码0,1,2,3,4,……所表示的
数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始（包括0）,一个接一个,组成一个无穷的集体.2、整数的概念：像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数.（整数是表示物体个数的数,0表示有0个物
体）
3、最小的自然数是（ ），（ )最大的自然数。
4、我们只在自然数的范围内研究因数和倍
（二）因数、倍数
如果a×b＝c（a、b、c是非零自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。因数和倍数是相互
依存的。
例题：
1、3×9=27，27是______和______倍数，______和______是27的因数
2、如果a、b、c是三个不等于零的自然数，那么在a÷b=c中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是
（ ）和（ ）的倍数。
（三）因数、倍数的性质
1、一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、一个数的因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
（四）找因数的方法（注意有序思考，以防遗漏）
列乘法算式：例120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12（有序思考，以防
遗漏）
列除法算式：用这个数除以非零自然数，商是整数而没有余数，除数和商都是这个数的因数。
★一个数的因数的应用
把４８块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如
果有４７块月饼呢？
４８＝１×４８＝２×２４＝３×１６＝4×12=6×8
47=1×47
答；48块月饼有10种装法。每盒1块需要48个盒子，每盒2块需要24个盒子，每盒3块需要16个
盒子，每盒4块需要12个盒子，每盒6块需要8个盒子，
每盒8块需要6个盒子，每盒12块需要4个盒子，每盒16块需要3个盒子，每盒24块需要2个盒子，
每盒48块需要1个盒子。
47块月饼有2种装法：每盒1块需要47个盒子，每盒47块需要1个盒子。
练习：
1、100以内16的倍数有（ ），其中最小的倍数是（ ）。
16的全部因数有（ ），其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。
2、一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）。
16=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
3、一个数最小的一个因数是______，最大的因数是______．最小的倍数是______，这个数的倍数的个
数是无限的．
4、48名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种排法？（每行最少2人）
（五）2.3.5倍数的特征
2的倍数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8。
5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。
3的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除。
9的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被9整除。
练习：
1、在下面的横线里填上一个适当的数字．
（1）既是2的倍数，又是3的倍数． 47______2
（2）既有因数3，又有因数5． 4______1______（3）既是2的倍数，又是5的倍数． 529______
（4）同时是2、3、5的倍数． 7______
（5）同时是3、5的倍数 12______5
（6）有因数2，同时又是3的倍数． 3______8．
2、判断对错
（1）一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位一定是0．______．
（2）在小于20的自然数中，既是2的倍数又是3的倍数的数有3个．______
（3）一个三位数各个数位上的数字都相同，这个数一定是3的倍数．______．
（4）15的倍数一定也是3的倍数______
（5）3的倍数一定是奇数______
3、用0、5、8、4组成三位数：
（1）这个三位数有因数2：______
（2）这个三位数有因数5：______
（3）这个三位数有因数3：______
（4）这个三位数既有因数2，又有因数5：______
（5）这个三位数既有因数2，又有因数3：______
（6）这个三位数既有因数2和5，又有因数3：______．
4、既有因数2，又有因数3的最小数是（ ）；既有因数2，又有因数5的最小的数是（ ），既有因数
3，又有因数5的最小数是（ ）。
5、商店运来45个柚子，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果
每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
（六）偶数：在自然数中，能被2整除的数，叫做偶数；
奇数: 不能被2整除的数是奇数。
奇数偶数性质：
偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=偶数
偶数±奇数=奇数 奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数
练习：
1、选出两张数字卡片，按要求组成一个数．
3 0 4 5
（1）奇数：______ （2）偶数：______
（3）5的倍数：______ （4）3的倍数：______
（5）既是2的倍数，又是3的倍数：______ （6）同时是2、3、5的倍数：______．
2、判断对错
（1）圆圆说：“所有的自然数不是奇数就是偶数．”______．
（2）一个自然数不是奇数就是偶数，所以所有的偶数都是合数，所有的奇数都是质数．______．
（3）两个奇数的积可能是奇数，也可能是偶数．______．
（4）1既是奇数也是质数．______
3、写出相邻的三个奇数
4、写出相邻的三个偶数
5、（1）有5个连续自然数之和是135，这5个连续自然数是______．
6、（2）有5个连续奇数之和是135，这5个连续奇数是______．
7、晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了15下开关，这时灯是______着的，如果再按50下，
这时灯是______着的．（填“开”或“关”）
8、把一张卡片正面朝上放在桌上，翻动20次仍正面朝上．______．
(七)质数、合数
1、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
2、一个数除了1和它本身外还有别的因数，这个数叫作合数。
3、判断一个数是质数还是合数，主要看这个数的因数的个数。只有两个因数的数是质数；有两个以上因数的数是合数。
4 、 1 既不是质数也不是合数。最小的质数是 （ ） ，最小的合数是 （ ） 。
例题：
1、20以内的全部质数有（ ）
2、最小的自然数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），既是偶数又是质数的数
是（ ），最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），（ ）既不是质数也不是合数。
3、在括号里填上合适的质数
8=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ） 20=（ ）+（ ） 28=（ ）+（ ）
4、分一分
在17、22、29、7、37、87、93、96、41、58、61、14、57、19中
奇数：______
偶数：______
质数：______
合数：______．
5、王老师的QQ号码是一个六位数．
第一位数：既是偶数又是质数．
第二位数：是最小的自然数．
第三位数：是4的倍数，又是4的因数．
第四位数：既是2的倍数又是3的倍数．
第五位数：是奇数又是合数．
第六位数：既是质数，又是奇数，并且是12的因数．你知道王老师的QQ号码是多少吗？
第二单元测试题
班别： 姓名：
一、 口算（10分）
①2.5×4÷2.5×4 ②1.6÷2.5÷4 ③3.5÷0.7
④4.2+6.8 ⑤1.8÷0.9 ⑥10× 4.9
⑦1.02÷0.51 ⑧7.5÷2.5 ⑨12.5×80
⑩11.8-2.8
二、填空（28分，每空1分）
1、在1、-5、1.3、2、8、13、 、-2这些数中，自然数有（ ），整数有（ ），质数有（
），合数有（ ），奇数有（ ），偶数有（ ）。
2、9是27的（ ），又是3的（ ）。
3、一个数既是42的因数，又是3的倍数，这个数可以是（ ）。
4、15的最小因数是（ ），最大因数是（ ）。
5．在1~20的质数中，（ ）是偶数，（ ）是奇数。
6．要使四位数105□，能同时是2和3倍数，□里应填数字（ ）。
7．在435后面写出三个连续的偶数是（ ），（ ），（ ）。8．24所有的因数有（ ），在这些因数中：
奇数有（ ），合数有（ ），
质数有（ ），偶数有（ ）。
9．在自然数1～20中，哪些数符合下列条件：
（1）既是奇数又是合数（ ）。
（2）既是偶数又是质数（ ）。
10．两个都是质数的连续自然数是（ ）和（ ）。
11．一个两位质数，如果调换个位和十位的数字，还是一个质数，这个数是（ ）。
12．电灯开始是灭的，按1次开关灯亮，按2次开关灯灭……。按26次开关灯是（ ）。
三、判断题（16分）
1、所有的质数都是奇数。 （ ）
2、最小的质数是1，最小的合数是4。 （ ）
3、相邻的两个自然数，一个是奇数，一个是偶数。 （ ）
4、一个数的倍数一定比这个数的因数大。 （ ）
5、 同时是2和5的倍数的数个位上一定是0。 （ ）
6、因为6÷12=0.5，所以6是0.5的倍数。 （ ）
7、一个数最大的因数和最小的倍数相等。 （ ）
8、一个自然数不是质数就是合数。 （ ）
四、选择题(10分)
1．如果a表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）。
A．a+2 B．2a C．a-1 D．2a-1
2．用0，3，5，7四个数字，组成最小的奇数是（ ）。
A．7035 B．3057 C．3570 D．3075
3．m是合数，m有（ ）个因数。
A．2 B．3 C．至少3 D．无数
4．一个两位数，个位上的数既是奇数又是合数，十位上的数既是偶数又是质数，这个数是（ ）。
A．24 B．42 C．29 D．92
5．最小的质数与最小的合数的积是（ ）。
A．2 B．4 C．6 D．86．24的因数有（ ）个。
A．8 B．7 C．6 D．5
7．正方形的边长是质数，它的面积一定是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．合数 D．质数
8．已知两个质数的积是21，这两个质数的和是（ ）。
A．9 B．10 C．11 D．12
9．一个两位数是5的倍数，两个数位上数字和是6，这样的两位数共有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．要在43□2中的□里填上一个数字，使这个四位数能被3整除，有（ ）种填法。
A．1 B．2 C．3 D． 4
五、基本技能（20分）
（一）上边哪些数是下边哪些数的倍数？ 用线连一连。（8分）
36 12 45 72 34 57 22 52
8 5 4 6 19 17 13 11
（二）把下列数按要求填入圈内（6分）
18 35 68 40 56 25 95 100 26 19 204 108
5的倍数 2的倍数
（三）用质数填空 （6分）
18=（ ）×（ ）×（ ）
30=（ ）×（ ）×（ ）20=（ ）+（ ）
25=（ ）+（ ）+（ ）
24=（ ）+ （ ） 21 = ( ) + ( )
六、实际应用（16分）（3题6点，其余题5分）
1．王老师把五年一班的学生分成小组来植树，按4人一组，6人一组，都能正好分完，五年一班有多少
人？（班级人数在40～50之间）
2．已知两个质数的和是43，这两个质数的积是多少？
3．从3、6、9、0这四个数中，任意选出三个数字按要求组成三位数。
（1）是2的倍数。（写出3个）
（2）是3的倍数。（写出3个）
（
3）是5的倍数。（写出3个）最大公约数与最小公倍数（一）
一、基本概念知识
1.公约数和最大公约数
①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所
有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;
18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数 的最大公约数通常用符号（ ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.
其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数
③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在
所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…
18的倍数有：18，36，54，72，90，…
自然数 的最小公倍数通常用符号[ ]表示，例如 12 和 18 的公倍数有：36，
72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：
求 个数的最大公约数：
（1） 必须每次都用 个数的公约数去除；
（2） 一直除到 个数的商互质（但不一定两两互质）；
（3） 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求 个数的最小公倍数：
（1） 必须先用（如果有） 个数的公约数去除，除到 个数没有除去1以外的公约数后，在用 个数的公约
数去除，除到 个数没有除1以外的公约数后，再用 个数的公约数去除，如此继续下去，为保证
这一条，每次所用的除数均可选质数；
（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到 个数的商两两互质为止；
（3） 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种
茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？
分析与解： 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，
所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，
180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最
大公约数。是144，180，240的最大公约数。所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5
（元）。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。
例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
分析与解： 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能
从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们 的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然
数 都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和
909。所以所求数是101。
例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过
多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个
矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格
点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下
图）。
所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起
点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，
所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。
例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5
倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的
年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。
由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现
在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），
爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
二、随堂练习
最大公约数与最小公倍数（二）
摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相
乘，那么
（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）
=18×12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自
然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）×[a，
b]=a×b。
例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然
数。
解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍
数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故
原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，
c]=120=23×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求
a，b。”当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个
小瓶装入液体的重量相
同。问：每瓶最多装多
少千克？
分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数。
现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数
化为整数，求出数值后，再除以这个数。 为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶
液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。
上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80
的1/36，所以每瓶最多装
在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到
分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公
约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。
由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
（4） 即为所求。
例5 求 ， ， 的最大公约数。类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分
数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公
倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。
求一组分数的最小公倍数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；
一个陷井。它
们之中谁先掉进陷
井？它掉进陷井时
另一个跳了多远？
同理，黄鼠
狼掉进陷井
时与起点的
距离为
所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。
黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了
专题练习
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？
3.求下列各组分数的最大公约数：
4.求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？
于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。
随堂练习解答
专题练习解答
1.72×120=（7，120）×［72，120］=24×360。
2.12，72与24，36两组。
提示：72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：
①12×1=12，12×6=72； ②12×2=24，12×3=36。
5.等于。
6.151瓶。7.120米。
最大公约数与最小公倍数（三）
【知识导引】
一、约数的概念与最大公约数
约数又叫因数 (在正整数 范围内）整数a能被整数b整除 ，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最
大公约数 :如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做
这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如： ， ，所以 ；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如： ，所以 ；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗
转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第
一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后
一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后
的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数： ；
； ； ； ；所以1515和600的最大公约数是
15。
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 。
3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分
子的最大公约数b； 即为所求。
二、倍数的概念与最小公倍数
对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的
倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小
公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数法求最小公倍数
例如： ， ，所以 ；
②短除法求最小公倍数
例如： ，所以 ；
③公式法：
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 ；求出各个分数分母的最大公约数
即为所求。例如：
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果 为 、 的最大公约数，且 ， ，那么 互质，所以 、 的最小公倍数为 ，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
① ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是 、 、 、 及最小公倍数的约数。
2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即 。
3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：
①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如： ，210就是567的
最小公倍数。
②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如： ，而6,7,8的
最小公倍数为
③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。
【例题解析】
【A组——基础夯实】
例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36
答：另一个数是36。
例2 求437与323最大公约数是多少？
解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，
那么（437,323）=19
答：437与323的最大公约数是19。
例3 已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是
多少？
解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80
答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。
例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份
礼物中，三样水果各多少？
解：最多可以分成 （份）每份中有苹果336÷42=8（个）
每份中有桔子252÷42=6（个）
每份中有梨210÷42=5（个）
答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。
【B组——能力提升】
例1 已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。
解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2
（1）当两个数互质时，1×（1+142）=1×143=11×13；
（2）当两个自然数最大公约数为2时，2×（142+2）=2×144=16×18，
所以这两个自然数是11和13或者16和18。
答：略。
例2 已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数。
例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问
能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该
是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形
的长和宽的最大公约数，1米3分米 5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，正方形的边长为
，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平
方厘米)，共可裁成正方形纸块 （块）。
答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块。
例4 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。
解：设这两个自然数为： ，其中 与 互质，则有 ， ，所以a=9，b=1或a=7，
b=3，所以这两个两个自然数为5×9=45，5×1=5或5×7=35，5×3=15。它们的差分别是：45－5＝40，35
－15＝20
答：所求这两个数的差是40或者20。
例5 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同
小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60
个脚印，求圆形花圃的周长。解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为
厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是： (个)， (个),由于
两人有1个脚印重合，所以实际上只有 (个)脚印。 ，即走完全程共重合10次，因此，
花圃周长为： (厘米)
答：花圃周长是2160厘米。
【习题精选】
【A组——基础夯实】
1. ①用短除法求120、48和56的最小公倍数；
②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。
2. 已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和[a，b，c]
3. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是
。
4. 8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站
发车，至少再过________分钟这两路车才又同时发车。
5. 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是________。
6. 四个连续自然数的和等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是 。
7. 一个房间长450厘米，宽330厘米。现计划用方砖铺地，需要用边长最大为________厘米的方
砖 块(整块)，才能正好把房间地面铺满。
8. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用
这些果品，最多可以分成________份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个
数彼此相等)。在每份礼物中，苹果有________个，桔子有________个，鸭梨有________个。
9. 三个质数的和是62，这三个质数的积是________。
10. 一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有________块。
【B组——能力提升】
1. 有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小
段，每段最长________米。
2. 有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150－200之间。
共有________棵树苗。
3. 同学们训练广播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，至少有
________人参加了广播操训练。
4. 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，这两个数为_____________。
5. 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是__________。
6. 一个长方形的周长是40厘米，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积
最大是___________，最小是___________。
7. 幼儿园一个班节约图书，如借35本，平均发给每个小朋友后还差1本；如借56本，平均分发给每个小朋友；如借69本，平均分发给每个小朋友后则差3本，问这个班的小朋友最多有________人。
8. 一个数分别被2、4、5除都余1，这个数在100-130之间，这个数是_________。
专项练习题
一. 填空题。
1. a和b都是自然数，如果a，a和b的最大公约数是（b），最小公倍数是（a）。
2. 甲?，乙?，甲和乙的最大公约数是（2）×（3）＝（6），甲和乙的最小2??352??37
公倍数是（2）×（3）×（5）×（7）＝（210）。
3. 所有自然数的公约数为（1）。
4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（mn）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（4）和（9）是互质数，（9）和（10）是互质数，（9）和（16）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（15）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（1），最小公倍数是（110）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（63）。
*9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（106）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（2）和（3）。
（2）连续两个自然数（4）和（5）。
（3）1和任何自然数（1）和（9）。
（4）两个合数（9）和（16）。
（5）奇数和奇数（15）和（7）。
（6）奇数和偶数（7）和（4）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。（×）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。（×）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（√）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（×）
b?m 5. a是质数，b也是质数，a?，m一定是质数。（×）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（13、26）
5和9（1、45）
四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）
45和60
36和60
27和72
76和80 最大公约数15，最小公倍数180。 最大公约数是12，最小公倍数180。 最大公约数是9，最小
公倍数216。 最大公约数是4，最小公倍数1520。
一．选择题（共12小题）
1．要使3□15能被3整除，□里最小能填（ ）
A．9B．6C．0D．3
2．一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成（
）
A．12个B．15个C．9个 D．6个
3．a的最小倍数等于b的最大因数，a和b比较（ ）A．a大于b B．a等于b C．a小于b D．不确定
4．A=5B（A、B都是非零的自然数）下列说法不正确的是（ ）
A．A和B的最大公约数是A B．A和B的最小公倍数是A
C．A能被B整除，A含有约数5
5．某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级
至少有（ ）名学生．
A．90 B．107 C．105 D．210
6．A=23×32×52，A有很多约数，其中最大的两位约数是（ ）
A．90 B．93 C．95 D．99
7．两个数的（ ）的个数是无限的．
A．公约数 B．公倍数 C．最小公倍数 D．最大公约数
8．在下面各组数中，既是2的倍数，又是3的倍数的数是（ ）
A．14，80 B．72，10 C．6，90
9．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
10．一个数最大的因数和最小的倍数的积是49，这个数是（ ）
A．1B．7C．49
11．教室里有同学不到40人．把这些同学平均分成三组或四组，正好分完．教室里最多有（ ）人．
A．30 B．24 C．36 D．40
12．自然数a=2×3×5，a的全部约数多少有（ ）个，正确的是．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
二．填空题（共8小题）
13．已知三个数的和是50，第二个数比第一个数少16，第一个数比第三个数多18，则第一个数与第二
个数的最大公因数是 这三个数的最小公倍数是 ．
14．如果甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×5×7，那么甲、乙数的最大公因数是 ，最小公倍数是
．
15．36和20的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．
16．两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，其中一个数16，另一个数是 ．
17．如果A=2×2×3，B=3×5×m，A、B两数的最大公因数是6，那么m是 ，A、B两数的最小公倍
数是 ．
18．已知 a=2×2×3×5，b=2×3×7，则a，b最大公约数是 ，最小公倍数是 ．
19．一个三位数，既是5的倍数又是2的倍数．这个数最高位上数字是最小的合数，十位上数字是9的
最小倍数．这个三位数是 ．
20．育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生 人．
三．解答题（共7小题）
21．如图，A圈内是42的约数，B圈内是56的约数，C圈内是63的约数，请在图中适当的位置上填上符
合要求的数．
22．为了筹备毕业典礼座谈会，六（1）班的同学全部行动起来了．全班 的同学布置教室，的同学采购
物品，其余的准备汇报的节目．六（1）班最少有多少人？
23．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟
发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？
（先填表再回答）
1路公交车 5时40分 5时48分
2路公交车 5时40分
24．一次会餐共有三种饮料．餐后统计，三种饮料共用了65瓶，平均每两个人饮用一瓶A饮料，每三
个人饮用一瓶B饮料，每四人饮用一瓶C饮料．问参加会餐的人数是多少人？
25．有两根木条，一根长18分米，另一根长12分米．要把它们截成同样长的小段（每段为整分米长），
而且没有剩余，每小段木条最长多少分米？一共可以截成多少段？
26．今年3月12日，五年级有一部分学生参加了植树活动，人数在30和50人之间，如果分4人一组，
6人一组或者8人一组，都恰好分完．五年级参加植树的学生有多少人？27．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形纸裁成相同大小的正方形（纸无剩余），正方形的边长最
大是多少厘米，至少能裁成多少张？
一．选择题（共12小题）
1．要使3□15能被3整除，□里最小能填（ ）
A．9B．6C．0D．3
【分析】能被3整除的数的特征：各个数位上的和是3的倍数，这个数就能被3整除，据此先把四位数
3□15的千位、十位、个位上的数加起来，然后分析再加上几是3的倍数，找出最小的一个，据此分析选
择．
【解答】解：四位数3□15的千位、十位、个位上的数加起来是：3+1+5=9，9是3的倍数，所以，□里应填
0、3、6、9，其中0是最小的．
故选：C．
【点评】本题主要考查能被3整除的数的特征，注意掌握特征；各个数位上的和是3的倍数．
2．一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成（
）
A．12个B．15个C．9个 D．6个
【分析】要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18的公因数，要求分
的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形
的边长，就是长方形纸的长边最少可以分几个，宽边最少可以分几个，最后把它们乘起来即可．
【解答】解：24=2×2×2×3，
18=2×3×3，
所以24和18的最大公因数是；2×3=6，即小正方形的边长是6厘米，
长方形纸的长边可以分；24÷6=4（个），
宽边可以分：18÷6=3（个），
一共可以分成：4×3=12（个）；
故选：A．
【点评】本题关键是理解：要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18
的公因数．
3．a的最小倍数等于b的最大因数，a和b比较（ ）A．a大于b B．a等于b C．a小于b D．不确定
【分析】首先根据因数和倍数的含义，可得一个数的最小倍数和一个数的最大因数都等于它本身，所以
a的最小倍数等于a，b的最大因数等于b；然后根据a的最小倍数等于b的最大因数，可得a=b，据此
判断即可．
【解答】解：a的最小倍数等于a，b的最大因数等于b；
因为a的最小倍数等于b的最大因数，
所以a=b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因数、倍数的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的最
小倍数和一个数的最大因数都等于它本身．
4．A=5B（A、B都是非零的自然数）下列说法不正确的是（ ）
A．A和B的最大公约数是A B．A和B的最小公倍数是A
C．A能被B整除，A含有约数5
【分析】A=5B（A、B都是非零的自然数），说明A是B的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数和
最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可
【解答】解：由题意得，A=5B（A、B都是非零的自然数），
可知A是B的倍数，所以：A 和B的最大公约数是B；A 和B的最小公倍数是A；A能被B整除，A含有约
数5．
只有A说法不正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公
约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．
5．某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级
至少有（ ）名学生．
A．90 B．107 C．105 D．210
【分析】由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公
倍数，求至少就是、5、7的最小公倍数加2，据此解答．
【解答】解；：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积；
3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105；
105+2=107（名）；
答：所以这个学校五年级至少有107名学生．
故选：B．【点评】解答本题关键是由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人
就是3、5、7的公倍数．
6．A=23×32×52，A有很多约数，其中最大的两位约数是（ ）
A．90 B．93 C．95 D．99
【分析】先把A计算出来，A=23×32×52=1800，再用1800分别除以90，93、95、99，如果没有余数就是
1800的因数．
【解答】解：A=23×32×52=1800，
1800÷90=20，90是1800的因数，
1800÷93=19…33，93不是1800的因数，
1800÷95=18…90，95不是1800的因数，
1800÷99=18…18，99不是1800的因数，
故选：A．
【点评】考查了求一个数的因数的方法，可以用筛除法解答．
7．两个数的（ ）的个数是无限的．
A．公约数 B．公倍数 C．最小公倍数 D．最大公约数
【分析】两个数的公因数是两个数公有的因数，公因数的个数是有限的，公因数中最大的一个就是这两
个数的最大公因数；两个数的公倍数是两个数公有的倍数，公倍数的个数是无限的，公倍数中最小的
一个就是这两个数的最小公倍数；据此解答．
【解答】解：由分析可得：两个数的公倍数的个数是无限的．
故选：B．
【点评】本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数及最大公因数的意义．
8．在下面各组数中，既是2的倍数，又是3的倍数的数是（ ）
A．14，80 B．72，10 C．6，90
【分析】根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍
数，这个数一定是3的倍数；既是2的倍数又是3的倍数的特征是：个位上必须是偶数且各位上的数字
之和是3的倍数．据此解答．
【解答】解：A中14和80都是2的倍数，不是3的倍数．
B中10是2的倍数，不是3的倍数，72是2的倍数，也是3的倍数．
C中6和90既是2的倍数又是3的倍数．
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征．9．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；
两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数
与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
【解答】解：因为a是b的因数
所以b是a的倍数，属于倍数关系，b＞a
所以a和b最小公倍数是b．
故选：B．
【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数
为较大的数．
10．一个数最大的因数和最小的倍数的积是49，这个数是（ ）
A．1B．7C．49
【分析】根据：一个数的最大因数和最小倍数是它本身，计算出这个数．
【解答】解：因为一个数的最大因数和最小倍数是它本身，一个数的最大因数和最小倍数的积是49，这
个数是7．
故选：B．
【点评】此题主要考查一个数的最大因数和最小倍数是它本身．
11．教室里有同学不到40人．把这些同学平均分成三组或四组，正好分完．教室里最多有（ ）人．
A．30 B．24 C．36 D．40
【分析】即求3和4的公倍数，先求出3和4的最小公倍数，然后找出40以内的3和4的最大的公倍数，
即可．
【解答】解：3和4的最小公倍数是12，40以内的3和4的公倍数有：12，24，36，最大为36；即教室里最
多有36人；
故选：C．
【点评】此题考查的是求两个数的最小公倍数是方法；互质数的两个数，它们的最小公倍数是这两个数
的乘积．
12．自然数a=2×3×5，a的全部约数多少有（ ）个，正确的是．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】根据自然数a=2×3×5，可知a=30，那么30共有（1、2、3、5、6、10、15、30）8个约数，进而解答即可．
【解答】解：a=2×3×5=30，
30有1、2、3、5、6、10、15、30共8个约数，
故选：D．
【点评】解答此题，应根据已知的条件，求出这个自然数，利用找一个数的因数的方法解答即可．
二．填空题（共8小题）
13．已知三个数的和是50，第二个数比第一个数少16，第一个数比第三个数多18，则第一个数与第二
个数的最大公因数是 4 这三个数的最小公倍数是 42 0 ．
【分析】假设第一个数是x，则第二个数是x﹣16，第三个数是x﹣18，则x+（x﹣16）+（x﹣18）=50，解方
程的x=28，x﹣16=12，x﹣18=10，根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积28
和12的最大公因数，根据最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解28、12和10的最小公
倍数，即可得解．
【解答】解：假设第一个数是x，则第二个数是x﹣16，第三个数是x﹣18，
则：x+（x﹣16）+（x﹣18）=50
3x﹣34=50
3x=50+34
x=84÷3
x=28
x﹣16=12
x﹣18=10
28=2×2×7
12=2×2×3
10=2×5
所以第一个数与第二个数的最大公因数是2×2=4；这三个数的最小公倍数是2×2×7×3×5=420
故答案为：4，420．
【点评】首先利用解方程的方法求出这三个数是解决此题的关键．
14．如果甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×5×7，那么甲、乙数的最大公因数是 3 0 ，最小公倍数是
42 0 ．
【分析】两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有
质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【解答】解：已知甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×5×7，
甲、乙两数的最大公因数是：2×3×5=30，最小公倍数是2×3×5×7×2=420．
故答案为：30，420．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最
大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法
解答．
15．36和20的最大公因数是 4 ，最小公倍数是 18 0 ．
【分析】求最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因
数的连乘积；由此解决问题即可．
【解答】解：36=3×3×2×2，
20=2×2×5，
所以36和20的最大公因数是2×2=4，
最小公倍数是2×3×3×2×5=180；
故答案为：4，180．
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法．
16．两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，其中一个数16，另一个数是 2 4 ．
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因
数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先用48除以16得到另一个数的独有因
数，然后用最大公因数8乘另一个数的独有因数，即可得解．
【解答】解：48÷16=3，
8×3=24；
答：两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，其中一个数16，另一个数是24．
故答案为：24．
【点评】已知两个数的最大公因数和最小公倍数，又知道其中一个数，求另一个数，可以先求出这个数
的独有因数，用两个数的最小公倍数÷已知的一个数，然后独有因数乘最大公因数，即为所要求的另
一个数．
17．如果A=2×2×3，B=3×5×m，A、B两数的最大公因数是6，那么m是 2 ，A、B两数的最小公倍数
是 6 0 ．
【分析】根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，AB的最大公因数是6，可知
m=6÷3=2，然后根据最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
【解答】解：如果A=2×2×3，
B=3×5×m，A、B两数的最大公因数是6=2×3，那么m是 2，A、B两数的最小公倍数是2×3×2×5=60；
故答案为：2，60．
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最
大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法
解答．
18．已知 a=2×2×3×5，b=2×3×7，则a，b最大公约数是 6 ，最小公倍数是 42 0 ．
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因
数的连乘积，即可得解．
【解答】解：a=2×2×3×5，
b=2×3×7，
所以a，b最大公约数是 2×3=6，最小公倍数是 2×3×2×5×7=420；
故答案为：6，420．
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最
大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法
解答．
19．一个三位数，既是5的倍数又是2的倍数．这个数最高位上数字是最小的合数，十位上数字是9的
最小倍数．这个三位数是 49 0 ．
【分析】既是5的倍数又是2的倍数，说明个位数是0，最小的合数是4，所以百位数字是4，十位上数字
是9的最小倍数，即十位上数字是9，由此得出答案．
【解答】解：因为既是5的倍数又是2的倍数，说明个位数是0，最小的合数是4，所以百位数字是4，十
位上数字是9的最小倍数，即十位上数字是9，
所以这个三位数是490；
故答案为：490．
【点评】本题考查的知识点为：合数与质数的定义；2与5的倍数的特征．
20．育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正
好是整行，这个班至少有学生 4 9 人．
【分析】要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小
公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决
问题即可．
【解答】解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；
答：这班至少有学生49人；
故答案为：49．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连
乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
三．解答题（共7小题）
21．如图，A圈内是42的约数，B圈内是56的约数，C圈内是63的约数，请在图中适当的位置上填上符
合要求的数．
【分析】把42、56和63分解质因数，然后分别写出它们的因数：
42=2×3×7，42的因数有1、2、3、7、6、14、21、42；
56=2×2×2×7，56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56；
63=3×3×7，63的因数有1、3、7、9、21、63；据此得解．
【解答】解：如图，
．
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最
大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法
解答．22．为了筹备毕业典礼座谈会，六（1）班的同学全部行动起来了．全班 的同学布置教室，的同学采购物
品，其余的准备汇报的节目．六（1）班最少有多少人？
【分析】根据题意，全班 的同学布置教室，的同学采购物品，所以班级人数必为9和5的倍数，找到最
小公倍数即为所求．
【解答】解：六（1）班人数必为9和5的倍数，9和5的最小公倍数是45，所以应是45人．
答：六（1）班最少有45人．
【点评】此题考查了学生运用最小公倍数灵活解答问题的能力．
23．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟
发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？
（先填表再回答）
1路公交车 5时40分 5时48分
2路公交车 5时40分
【分析】根据题干可得：第二次同时发车相隔的时间是8和12的最小公倍数，由此即可解决问题．
【解答】解：如表，
1路公交车 5时40分 5时48分 5时56分 6时04分 6时12分
2路公交车 5时40分 5时52分 6时04分 6时16分 66时28分
8和12的最小公倍数是24，
所以两路车经过24分钟后第二次同时发车，
5时40分+24分=6时04分，
答：这两路车6时04分第二次同时发车．
【点评】此题要抓住每次同时发车相隔的时间都是8和12的公倍数．
24．一次会餐共有三种饮料．餐后统计，三种饮料共用了65瓶，平均每两个人饮用一瓶A饮料，每三个
人饮用一瓶B饮料，每四人饮用一瓶C饮料．问参加会餐的人数是多少人？
【分析】根据题意可知参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4的公倍数，那就先求出2、3、4的公倍数
是12，可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料： + + =13瓶．
一共可有：65÷13=5桌．就可利用12人一桌×5桌=参加会餐的人数．
【解答】解：2、3、4的最小公倍数是：12．可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料：
+ + =13（瓶），
一共有：65÷13=5（桌），一共有：12×5=60（人），
答：参加会餐的人数是60人．
【点评】此题主要是考查对公倍数的应用，先明白此题关键是参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4
的公倍数12，再根据题里数据解答即可．25．有两根木条，一根长18分米，另一根长12分米．要把它们截成同样长的小段（每段为整分米长），
而且没有剩余，每小段木条最长多少分米？一共可以截成多少段？
【分析】根据题意，可计算出18与16的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约
数加上16除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
【解答】解：18=2×3×3，
12=2×2×3，
所以最大公因数是2×3=6，
所以每段最长6分米，
18÷6+12÷6
=3+2
=5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6分米；一共可以截成5段．
【点评】解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以
截成的段数，再相加即可
26．今年3月12日，五年级有一部分学生参加了植树活动，人数在30和50人之间，如果分4人一组，6
人一组或者8人一组，都恰好分完．五年级参加植树的学生有多少人？
【分析】即求30﹣50之间的4、6、8的公倍数，也就是求30﹣50之间的6和8的公倍数，根据求两个数
的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【解答】解：6=2×3，8=2×2×2，
6和8的最小公倍数是2×2×2×3=24；
因为在30～50之间，所以五年级植树的人数应为：24×2=48（人）．
答：五年级参加植树的学生有48人．
【点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，解答此题的关键是先求出6和8的最小公倍数，进而结
合题意，解答得出结论．
27．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形纸裁成相同大小的正方形（纸无剩余），正方形的边长最大
是多少厘米，至少能裁成多少张？
【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求120和80的最大公因数，求至少可以裁成多少
个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【解答】解：120和80的最大公因数是40；
120×80÷（40×40），=9600÷1600，
=6（个）；
答：裁成的正方形边长最大是40厘米，至少可以裁成6个这样的正方形．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
第二单元 轴对称与平移
第
轴对称图形 平移 旋转
二
单
绕着一个点或一个轴为中心
对折两侧完全 沿着一条直线运动
概念 做圆周运动 元：
轴
图 形 的 两 边 大 小 大小、形状、方向 ， 大小、形状 ，方向和位
对
特点 ，方向 位置 置
称
定方向、画弧、 和
先描点再连线
画法 描点、连线
平
移
对称轴 箭头 方向
注意
测
试题
一、填一填。（10分）
1．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做（ ）图形，那么直线就是（ ）。
2.在平移的过程中，得到的图形与原来图形的（ ）和（ ）都相同。
3．奥运五环图案的形成（不考虑颜色和连接方式）是通过基本图形（ ）得到的。
4．我们学过的轴对称图形有：（ ）（ ）（ ）（ ）等。
5.将图形A向（ ）平移（ ）格，图形B向（ ）平移（ ）格能使图（1）变成图（2）。
A B
图形（1） 图形（2）
二、仔细判断。（正确的在打“√”，错误的打“×”）（12分）
5．利用平移、对称可以设计许许多多美丽的图案。（ ）6.风吹动的小风车是平移现象。（ ）
7.正方形是轴对称图形，它有4条对称轴。（ ）
8.用两个大小不相等的圆组成的图形不一定是轴对称图形。（ ）
三、用心选一选。（选择正确答案的序号填空）(24分)
9.下列现象中，不属于平移的是（ ）。
A．钟表的指针滴答滴答的走。
B．汽车在平坦的公路上行驶。
C. 飞机在跑道上滑行。
10.下列图形不是轴对称图形的是（ ）。
A．长方形 B.平行四边形 C.等边三角形 D.等腰梯形
11.小红从镜子看到左边三角形的样子是（ ）。
A .
B. C.
D.
12.长方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，正三角形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对称轴。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 无数条
13.轴对称图形沿着一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的（ ）叫做对称轴。
A. 线段 B. 直线 C. 不知道
四、按要求画图。（16分）
14.先根据虚线 a 作出图形A的轴对称图形B，再将图形B 向右平移6格得到图形C。
15.画出小鱼向右平移8格，再向下平移2格后的图案。五、观察方格纸中图形的变换，回答问题。（16分）
16.
（1）图形A如何变换得到图形B?
（2）图形B如何变换得到图形C？
17.
（1）图A如何变换得到图B？
（2）图B如何变换得到图C？
六、图案设计。（22分）18、(1)利用平移设计花环。（10分）
（2）在方格纸上设计一个轴对称图形，并通过平移绘出美丽的图案。（12分）第一、二单元测试卷
一、填空题。（27分）
1、 3.2965保留一位小数约是（ ），保留三位小数约是（ ），保留整数约是（ ）。
2、在计算4.9÷（8.2 - 4.7）时，应先算（ ）法，再算（ ）法，计算结果是（ ）。
3、6.4÷0.004的商的最高位是在（ ）位上。
4、9.6654保留两位小数约等于( ),保留整数约等于( )。
5、0.444… 记作( ), 2.13535… 记作( )。
6、计算小数除法时，商的小数点一定要与( )的小数点对齐。
7、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（ ），折痕所
在的直线叫做（ ）。
8、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离（ ）。
9、 除数是一位小数的除法,计算时除数和被除数同时扩大( )倍。
10、在○里填上“＞”、“＜”、或“=”
2.4÷1.2○2.4 0.35÷0.99○0.35 0÷9.9○9.9
11、在5.454，5. ，5.4，5. ，5. 这五个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）
12、正方形有（ ）条对称轴，长方形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（
）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴，半圆形的对称轴有（ ）条。
二、选择题。（把正确的答案的序号填在括号里。）（16分）
1、在除法算式中，0不能做（ ）。 A、除数 B、商 C、被除数
2、下列各数是循环小数的是（ ）A、0.151515 B、0.1515……0. C、511512
3、除数大于1时，商（ ）被除数。A、大于 B、小于 C、等于
4、3.6与2.4的和除0.6，商是多少？列式正确的是（ ）。
A、3.6+2.4÷0.6 B、（3.6+2.4）÷0.6 C、0.6÷（3.6+2.4）
5、下列算式中，与7.2÷0.36不相等的式子是（ ）。A、720÷36 B、72÷3.6 C、7.2÷0.036
6、下列英文字母中，是轴对称图形的是（ ） A、S B、H C、P D、Q
7、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（ ）
8、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（ ） A、
2个 B、3个 C、4个 D、5个
三、计算题。27分1、口算。（10分）
10÷4= 12.9÷0.3= 1.3÷0.13= 0.6÷1.2= 0.3÷2=
0.32÷0.04= 2.64÷1.1 = 3.6÷0.4= 3.98÷1.0= 1.56÷7.8=
2、竖式计算。（8分）带*的要验算。
70÷5.6 = 176.4÷0.63= *9.744÷4.8=
3、脱式计算。（9分）
0.2×0.6×0.5×4 12.5÷2.5×0.4 （7.5－2.3×0.4）÷0.01
四、画出下面图形的另一半，使得他们是轴对称图形。（8分）
五、应用题。（1-3题每小题4分，4、5题每小题5分，共22分）
1、张阿姨做的一套童装用布2.2m，30m 2、在百米赛跑中，小刚用了22秒。他每
最多可以做多少套这样的童装？ 秒跑多少米？（得数保留两位小数）
3、淘气的爸爸要去法国学习一段时间，他带了6000元人民币去银行换欧元。你知道这些钱大约可
以换多少欧元吗？（1欧元兑换人民币8.19元）
4、食堂运来一批煤，如果每天烧0.18吨，可以烧60天，如果每天烧0.15吨，可以烧多少天？
5、用一根铁丝正好折成一个长13.2cm,宽9.6cm的长方形，如果把这根铁丝拉直，再折成一个等边
三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？第四单元 多边形面积
㈠比较图形的面积
借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。
平面图形面积大小的比较有多种方法：
根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可以借助参照物进行比较；可以运用重叠的方法进行
比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接计算面积后再进行比较等。
图形面积相同，其形状可以是不同的。
补充知识点：
确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少来确定
㈡地毯上的图形面积
知识点：
根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。
直接通过数方格的方法，得出答案的面积。
将图案进行“化整为零”式的计算，即根据图案的特点，将整体的图案分割为若干个相同面积的
小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面积。
采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。
补充知识点：
在解决问题时，策略和方法是多种多样的。
㈢动手做
认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边
是平行四边形的底。
三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这
条对边就是梯形的底。
高和底的关系是对应的。
用三角板画出平行四边形的高的方法：
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一
条边上的高。
注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对
边画高。
用三角板画出三角形的高的方法：
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。从这个顶
点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上
的高。
用三角板画梯形的高的方法：
用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。
1、三角形面积
（1） 三角形面积=底×高÷2（2） 已知三角形面积、三角形的底，求三角形的高 三角形的高=三角形面积×2÷底
（3） 已知三角形面积、三角形的高，求三角形的底 三角形的底=三角形面积×2÷高
2、平行四边形的面积
（1） 平行四边形面积=底×高
（2） 已知平行四边形面积、平行四边形的底，求平行四边形的高 平行四边形的高=平行
四边形面积÷底
（3） 已知平行四边形面积、平行四边形的高，求平行四边形的底 平行四边形的底=平行
四边形面积÷高
3、梯形的面积
（1） 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
（2） 已知梯形面积、梯形上底、梯形下底，求梯形的高。 梯形的高=梯形的面积×2÷（上底+下
底）
（3） 已知梯形面积、梯形的高，求梯形上底与下底的和。 上底+下底=梯形的面积×2÷高
（4） 已知梯形面积、梯形的高、梯形上底，求梯形下底。 下底=梯形的面积×2÷高－上底
（5） 已知梯形面积、梯形的高、梯形下底，求梯形上底。 上底=梯形的面积×2÷高－下底
例题
多边形 底 高 面积
1.5cm 0.6cm
三角形
2.1m 8.4平方米
1.7dm 13.6平方分米
5.6米 4.2米
平行四边形
5.1厘米 25.5平方厘米
1.23分米 6.15平方分米
上底 下底 高 面积
1.2厘米 3.4厘米 5厘米
梯形
2.1分米 4分米 10平方分米
1.7分米 5分米 9.6平方分米
1.9米 4.3米 27.9米
2、一块平行四边形钢板，底是12.5米、高是6.2米，这块钢板重多少千克？（每平方米钢板重16.5千
克）
3、一批同样的圆木堆成的横截面是梯形，上层是5根，下层是10根，一共堆6层，这堆圆木共多少根？
如果这批圆木共重26.1吨，每根圆木重多少吨？
4、一块三角形稻田，底长32米，高25米，平均每平方米收稻谷1.2千克，这块稻田可收稻谷多少千克？
5、一个三角形的面积是22平方米，高是4米，它的底边长多少？
6、有一块平行四边形的麦田，底275米，高60米，共收小麦19.8吨。
这块麦田有多少公顷？平均每公顷收小麦多少吨？
7、一个三角形苗圃，底长80m，高35m，在圃中栽种菊花苗，每 棵菊
花苗占地0.2平方米，这块花圃共需多少棵菊花苗？
8、用篱笆围成一个梯形养鸡场（如图），其中一边
利用房屋墙壁。已知篱笆长80m，求养鸡场的占地面积。
（第四单元：多边形的面积）
学校 班级 姓名 成绩一、填一填（第1小题每空1分，其余每题3分，共31分）
⒈ 4.6㎡＝（ ）d㎡ 320c㎡＝（ ）d㎡
1.02公顷＝（ ）平方米 8平方米5平方分米＝（ ）平方米
⒉ 一个平行四边形的底和高都是1.6m，它的面积是（ ）㎡，和它等底等高的
三角形的面积是（ ）㎡。
⒊ 一个直角三角形的三条边分别是6cm、8cm和10cm，这个直角三角形的面积是（ ）c㎡，斜边上的高是（ ）cm。
⒋ 两个完全一样的梯形或三角形都可以拼成一个（ ）。
⒌ 一个正方形的周长是24 dm，它的边长是（ ）dm，面积是（ ）d㎡ 。
⒍ 一个平行四边形的面积是5㎡，如果把它的底和高都扩大到原来的2倍，得到的平行四边形的面积是（ ）㎡。
⒎ 一个梯形，上底和下底的和是8 cm，高是5 cm，它的面积是（ ）c㎡。
⒏ 等腰三角形的周长是16 dm，腰长5 dm，底边上的高是4 dm，它的面积是（ ）d㎡。
⒐ 一个梯形的面积是110 c㎡，高是2.2 dm，下底是8.8 dm，上底是（ ）dm。
⒑ 如右图，大正方形的边长为4 cm，阴影部分面积为14 cm，小正方形的边长为（ ）
cm。
二、选择正确答案的序号填在括号里。（10分）
⒒ 一个平行四边形的面积是64 c㎡，高是2 cm，底是（ ）cm。
A、3.2 B、1.6 C、2
⒓ 正方形的边长扩大4倍，它的面积扩大（ ）倍。
A、4 B、8 C、16 Ｄ、32
⒔ 一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果三角形的高是6 cm，
那么平行四边形的高是（ ）cm。
A、3 B、6 C、12
⒕能拼成一个长方形的是两个完全一样的（ ）三角形。
A、锐角 B 、直角 C、钝角
⒖ 下图两个完全相等的长方形中，阴影部分的面积甲（ ）乙。
A、＞ B、＜ C、＝ Ｄ、无法判断
三、请你来当小裁判。（10分）⒗ 三角形的面积等于平行四边形面积的一半。 （ ）
⒘ 一个三角形的底扩大2倍，高不变，它的面积也会扩大2倍。（ ）
⒙ 两个面积相等的梯形，形状也一定相同。 （ ）
⒚ 梯形只有一条高，三角形有三条高。 （ ）
⒛ 周长相等的两个平行四边形面积一定相等。 （ ）
四、计算下面图形的面积。（单位：cm）（12分）
五、计算下面组合图形的面积。（单位：dm）（6分）
六、解决问题（ 31分）
21、 一块梯形地，上底25m，下底45 m，高20 m。如果每平方米地种7棵玉米苗，这块地一共种玉米苗多少棵？（6分）22、 一条人行道长20 m，宽1.5 m。如果要在这条人行道上铺上一种上底10㎝，下底20㎝，高5㎝的梯形砖，需要多少块这样的砖？（6
分）
23、 有一块平行四边形的麦田，底275米，高60米，共收小麦19.8吨。这块麦田有多少公顷？平均每公顷收小麦多少吨？（7分）
24、 一个三角形的苗圃，底边长200米，高是底的一半多40米。这个苗圃的面积是多少平方米？合多少公顷？（6分）
25、一块三角形广告牌，底长10，高3.4.如果要用油漆刷这块广告牌，每平方米用油漆0.75kg，这块广告牌至少要用油漆多少千克？
（得数保留整千克）（6分）第五单元 分数的意义
（一）分数的再认识
1、整体“1”的含义：一个物体或一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数“1”来
表示，通常叫做整体“1”。
2、分数的意义：把整体“1”平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。分母是几，整
体就被分成了几份，分子是几，就表示其中的几份。
3、 把单位一平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。像1/2、1/3、1/4、1/5……这样的
分数。
例题
1、5/9表示把整体“1”平均分成（ ）份，取这样的（ ）份的数。
2、3/4的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。
3、“一块菜地的1/6种了黄瓜”中，把 （ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，种黄
瓜的是这样的（ ）份。
4、把8公顷地平均分成15份，每份是这块地的（ ），每份是（ ）公顷。
（二）真分数和假分数
1、真分数:
分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数的分数值小于一。如：1/2，3/5，8/9等等。
假分数:和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。
带分数：由整数部分和分数部分组成。
2、带分数、假分数和整数的互化：
把假分数化成整数:
要用分子去除以分母，能整除的，所得的商就是整数；
把假分数化成带分数:
分子除以分母不能整除的，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不
变。
把整数化成假分数:
用指定的分母（0除外）作分母，用分母和整数（0除外）的乘积作分子。
把带分数化成假分数:
用原来的分母作分母，用分子和整数的乘积再加上原来的分子作分子。
3、分数与除法
用字母表示分数与除法的关系：a÷b=(b≠0）
★补充知识点：
分子是分母倍数的假分数可以化成整数； 分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
例题1、当a＝（ ）时，分数b/a 没有意义．
2、在9/8、11/4、12/3、18/6、100/99、6/9 中，假分数有（ ），其中（
）能化成整数。
3、自然数a和b，当a（ ）b时，b/a是真分数，当a（ ）b时，b/a是假分数；当a（ ）b
时，b/a＝1 ．
4、把下面的假分数化成整数或带分数。
6/5 = 3/2 = 85、把下面带分数化成假分数。
2 = 1= 2= 4= 3= 3=
6、的分数单位是（ ），它有（ ）这样的单位，再添上（ ）个这样的单位，结果是
1。
7、分数单位是的真分数有（ ）。
8、分数单位是 的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）．
9、9个 组成的分数是（ ）它比1（ ），是（ ）分数．
10、 8个 组成的分数是（ ），它比1（ ），是（ ）分数．
（三）分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。分数基本性质是约分和通
分的依据。
补充知识：求一个数是另一个数的几分之几：一个数÷另一个数= ，得到的商表示两个数的关
系，没有单位名称。
1、把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数．
2、把下面的分数化成分子是4而大小不变的分数
3、一个分数约分时，用2约了三次，用3约了一次，最后得3 8 ，原来这个分数 是（ ）
4、 ====（ ）÷6=12 ÷（ ）=（ ）÷（ ）
5、妈妈买来12个苹果，吃掉4个，剩下的占苹果总数的几分之几？
6、同学们采集树种，第一组6人采集9千克，第二组7人采集8千克，第三组6人采集8千克，哪个组
平均每人采集得多？
7、水果店运来苹果150千克、桃子250千克、香蕉100千克，三种水果的重量各占总重量的几分之几
（四）找最大公因数
两个或几个数公有的因数叫作它们的公因数，其中最大的一个叫作最大公因数。
找两个数的公因数和最大公因数的方法：
列举法：运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数，再找出两个数的因数中相同的因数，这
些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数。
短除法
1、例补充知识点：
1、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的公因数只有1。
2、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1。
3、如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
例题：
1、28的因数 32的因数
70的因数 80的因数
28和70的公因数 80 和32的公因数
28和70的最大的公因数是（ ） 80和32的最大公因数是（ ）
2、A和B是两个相邻的非零的自然数，它们的最大公因数是（ ）。
3、整数A除以整数B（A和B不为零），商是13，那么A和B的最大公因数是（ ）。
4、所有非零的自然数的公因数是（ ）。
5、求出下面每组数的最大公因数，填在括号里。
20和48 （ ） 69和115 （ ） 18和32 （ ） 24和30 （ ）
17和25 （ ） 35和55 （ ） 78和39 （ ） 60和48 （ ）
6、五（1）班有36人，五（2）班有32人，现在分别要把两个班的学生平均分成若干个小组，要使两个班
的各个小组人数相等，每组最多多少人？各分几个小组？
7、有两根铁丝，一根长26米，另一根长39米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小
段最长多少米？一共可以截成多少段？
8、一面墙长55dm，宽20dm，用正方形瓷砖正好把这面墙贴满，这种瓷砖的边长最长是多少分米？
（五）约分
1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。约分就是把分数
化简成最简分数。
约分时一般用分子和分母的公因数（1除外）去除分数的分子和分母，通常要除到得出最简分数为止。
2、一个分数的分子和分母的公因数只有1，那么这个分数就叫作最简分数。
3、约分只改变分数单位，不改变分数的大小。
约分的方法：
约分的方法一般有两种，一种是用两个数的公因数一个一个去除，另一种是直接用两个数的最大
公因数去除。
补充知识点：
比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分
后进行比较的方法。
1、
例题：
1、约分：（能化成带分数或整数的要化成整数或带分数。）
2、一个分数连续用3约分三次之后，是1 /5，则原分数是多少？
（六）找最小公倍数
1、几个数公有的倍数叫作公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数。
2、找最小的公倍数的方法：先分别找出两个数的倍数，再从中找到它们公有的倍数中最小的一个。
或者用短除法求最小公倍数。3、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
4、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
5、如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
关系 最大公因数最小公倍数
倍数关系 较小数 较大数
互质关系 1 他们的乘积
一般关系 大数翻倍法（短除法） 大数翻倍法（短除法）
6、 互质：两个数的公因数只有1，这两个数叫做互质。
互质的规律：
（1） 相邻的自然数互质；（2） 相邻的奇数都是互质数；
（3） 1和任何数互质；（4） 两个不同的质数互质
（5） 2和任何奇数互质。
质数与互质的区别：质数是就一个数而言，而互质是指两个或两个以上的数之间的关系；这些数本身
不一定是质数，但它们之间最大的公因数是1，如8和9。
例题
1、下面每组中的两个数的最小公倍数是多少？
4和12 1和9 5和14 13和39
2、五（1）班学生云烈士陵园植树，
分成6人一组或7人一组都可以。
这个班至少有多少人参加植树？
3、人民公园是1路汽车和3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发一次，3路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？
4、三个连续自然数的和是18，这三个自然数的最小公倍数是多少？
（七）分数的大小
1、通分：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。通分
实际上是统一分数单位。
2、通分的方法：找出这些分母的公倍数，然后将分数化成以分母的公倍数为分母的分数。（一般用原
来分母的最小公倍数作通分后分数的分母）。
3、比较异分母分数的大小，可以先通分再比较。
★通分的两个要点：和原来分数相等；分母相同。
■分数大小比较：
同分母分数相比较，分子越大分数越大。 同分子分数相比较，分母越小分数越大。
分子分母都不相同的分数相比较的方法：
用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，再比较大小。（把两个
分数化成分子相同的分数，再比较大小）
补充知识点：通分一般以最小公倍数作分母。
例题
1、通分2、加工同样多的零件，小张用了—小时，小吴用了—小时，小李用了—小时。谁做得快一些？
3、李阳和胡明在足球场里进行射球训练，李阳射了60次，射中了34次；胡明射了80次，射中了61次，
请帮 着算一算，谁射得比较准？
一．选择题（共7小题）
1．（2014•广州）把2米长的铁丝平均分成7段，每段占全长的（ ）
A． B． C． D．
米 米
2．（2014•广州模拟）两根同样2米长的铁丝，从第一根上截去它的 ，从第二根上截去 米．余下部分（ ）
A．无法比较 B．第一根长 C．第二根长 D．长度相等
3．（2014•天河区）把一根绳子分成两段，第一段是全长的 ，第二段长 米，若比较这两段绳子的长度，则（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定
4．（2014•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（ ）
A．29 B．31 C．61
5．（2014•民乐县模拟）如果 是真分数， 是假分数，那么n表示的整数最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．无数个 D．2个
6．（2014•永康市模拟）比 大的真分数有（ ）
A．3个 B．4个 C．无数个
7．（2014•临川区模拟）约分和通分的根据是（ ）
A．分数的意义 B．分数与除法的关系
C．分数的基本性质
二．解答题（共4小题）
8．（2014•萝岗区）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数
3和22 17和68 35和42．
9．（2013•二七区）如图，A圈内是42的约数，B圈内是56的约数，C圈内是63的约数，请在图中适当的位置上填上符
合要求的数．10．（2012•东城区模拟）在A医院，甲种药有20人接受试验，结果6人有效；乙种药有10人接受试验，结果只有2人
有效．在b医院，甲种药有80人接受试验，结果40人有效； 乙种药有990人接受试验，结果478人有效．综合A、B
两家医院的试验结果，哪一种药总的疗效更好？
11．（2012•泗县模拟）一次数学竞赛，结果学生中 获得一等奖， 获得二等奖， 获得三等奖，其余获纪念奖．已知参
加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？一．选择题（共7小题）
1．（2014•广州）把2米长的铁丝平均分成7段，每段占全长的（ ）
A． B． C． D．
米 米
考点：分数的意义、读写及分类．
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分析：把2米长的铁丝平均分成7段，根据分数的意义，即将这根2米长的绳子当做单位
“1”平均分成7份，则每段是全长的1÷7= ．
解答：
解：根据分数的意义，每段是全长的：1÷7= ．
故选：D．
点评：完成本题要注意是求每段占全长的分率，而不是每段具体的长度．
2．（2014•广州模拟）两根同样2米长的铁丝，从第一根上截去它的 ，从第二根上截去 米．余下部分（ ）
A．无法比较 B．第一根长 C．第二根长 D．长度相等
考点：分数的意义、读写及分类；分数大小的比较．
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分析：本题要分别求出两根各剩下多少米，就能比较出哪根余下的较长．
解答：
解：第一根余下：2﹣2× = （米），
第二根余下：2 =1 （米），
米＞ 米，所以第二根余下的长．
故选C．
点评：
本题重点要区分开“截去它的 ”与“截去 米”的不同意义．
3．（2014•天河区）把一根绳子分成两段，第一段是全长的 ，第二段长 米，若比较这两段绳子的长度，则（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定
考点：分数的意义、读写及分类．
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专题：分数和百分数．
分析：
第一段是全长的 ，那么第二段是全长的：1﹣ = ；比较 与 的大小即可．
解答：
解：1﹣ = ，
，
所以第二段长．
故选：B．
点评：先求出第二段占全长的几分之几，然后比较大小即可．
4．（2014•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（ ）
A．29 B．31 C．61
考点：求几个数的最小公倍数的方法．
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专题：约数倍数应用题．
分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决
问题．
解答：解：能被2、3、5整除的最小的数是30，
30+1=31．
故选：B．点评：此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．
5．（2014•民乐县模拟）如果 是真分数， 是假分数，那么n表示的整数最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．无数个 D．2个
考点：分数的意义、读写及分类．
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专题：分数和百分数．
分析：真分数是指分子小于分母的分数，据此可知分子是4的真分数的分母必须大于4；假分
数是指分子等于或大于分母的分数，据此可知分子是8的假分数的分母必须小于或等
于8；进而找出n表示的整数最多有几个．
解答：
解：如果 是真分数，那么n＞4
如果 是假分数，那么n≤8
所以n表示的整数最多有5、6、7、8，共4个．
故选：B．
点评：解决此题关键是明确真分数和假分数的意义．
6．（2014•永康市模拟）比 大的真分数有（ ）
A．3个 B．4个 C．无数个
考点：分数大小的比较．
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专题：分数和百分数．
分析：这题可根据分数的基本性质把分子分母同时扩大2倍、3倍、4倍…，即可找出中间数
的各数，进而得出结论．
解答：解：根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大2倍、3倍、4倍…，
如：把分子分母同时扩大2倍，符合条件的分数有 ；
把分子分母同时扩大3倍，符合条件的分数有 等；
因为7的倍数的个数是无限的，所以，有真分数无数个．
故选：C．
点评：解答此题可让我们明白：大于一个真分数的真分数有无数个．
7．（2014•临川区模拟）约分和通分的根据是（ ）
A．分数的意义 B．分数与除法的关系
C．分数的基本性质
考点：约分和通分．
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分析：约分是把分子、分母同时乘以（或除以）一个不为0的数；通分是把两个分母不同的分
数化为分母相同的分数，首先找出分母的最小公倍数，然后分别把两个分数的分母都
乘以一个不为0的数，化为分母相同，相对应的把分子也乘以一个与分母所乘的相同
数；这两个的变化依据是相同的都是分数的基本性质．
解答：解：约分和通分的根据是分数的基本性质
故选C．
点评：此题属于基本概念题的考查，重在掌握两者的区别与内在联系．
二．解答题（共4小题）
8．（2014•萝岗区）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数
3和22 17和68 35和42．
考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
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专题：数的整除．
分析：（1）3和22是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；
（2）因为68÷17=4，即68和17成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是
这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；
（3）35和42，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公
有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由此解答．
解答：解：（1）3和22是互质数，
它们的最大公因数是1，最小公倍数是3×22=66；
（2）因为68÷17=4，即68和17成倍数关系，
它们的最大公因数是17，最小公倍数是68；
（3）35=5×7，
42=2×3×7，
所以35和42的最大公因数是7，最小公倍数是2×3×5×7=210．
点评：此题主要考查了求两个数的最大公因数及最小公倍数：对于一般的两个数来说，这两
个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的
连乘积是最小公倍数；两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这
两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两
个数的乘积．
9．（2013•二七区）如图，A圈内是42的约数，B圈内是56的约数，C圈内是63的约数，请在图中适当的位置上填上符
合要求的数．
考点：求几个数的最大公因数的方法．
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专题：数的整除．
分析：把42、56和63分解质因数，然后分别写出它们的约数：
42=2×3×7，42的约数有1、2、3、7、6、14、21、42；
56=2×2×2×7，56的约数有1、2、4、7、8、14、28、56；
63=3×3×7，63的约数有1、3、7、9、21、63；据此得解．
解答：解：如图，
．
点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘
积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；
数字大的可以用短除法解答．10．（2012•东城区模拟）在A医院，甲种药有20人接受试验，结果6人有效；乙种药有10人接受试验，结果只有2人
有效．在b医院，甲种药有80人接受试验，结果40人有效； 乙种药有990人接受试验，结果478人有效．综合A、B
两家医院的试验结果，哪一种药总的疗效更好？
考点：分数大小的比较．
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分析：分别求出甲、乙两种药在A、B医院实验的有效率即可比较出哪一种药总的疗效更好．
解答：解：甲在A医院的有效率：6÷20×100%=30%，
乙在A医院的有效率：2÷10×100%=20%，
30%＞20%；
甲在B医院的有效率：40÷80×100%=50%，
乙在B医院的有效率：478÷990×100%≈48.3%，
50%＞48.3%；
所以甲种药总的疗效更好．
点评：本题主要考查学生对于求百分率以及百分数大小比较的掌握．
11．（2012•泗县模拟）一次数学竞赛，结果学生中 获得一等奖， 获得二等奖， 获得三等奖，其余获纪念奖．已知参
加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
考点：求几个数的最小公倍数的方法．
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分析：即求在50以内的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两
两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出
参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获纪
念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣ ﹣ ﹣ ），继而根据一个数乘分数的意义，用乘
法解答即可．
解答：解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42，
因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，
所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：
42×（1﹣ ﹣ ﹣ ），
=42× ，
=1（人）；
答：获纪念奖的有1人．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是
这三个数的乘积．
第六单元 组合图形的面积
知识点：
组合图形：有几个简单的图形拼出来的图形，我们把它们叫做组合图形。
1、求组合图形面积的方法：
① 分割法：根据图形和所给的条件，将图形进行合理的分割，形成基本图形，基本图形面积的和
就是组合图形面积。
② 添补法：将图形所缺部分进行添补，组成几个基本图形。基本图形面积-添补的图形面积=组
合图形面积。
2、不规则图形面积的估计与计算：（1）数格子的方法；
数方格的方法：满格记为1，少于半格记为0，大于半格记为1。
（2）转化成规则图形再求面积。
数学好玩 鸡兔同笼：
方法：①列表法：一般采用取中间数列表的方法；
②画图法； ③假设法；
④列方程：根据关系式：“一种动物腿的条数+另一种动物腿的条数=腿的总条数”解答。
点阵中的规律
知识点：
能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。在“点阵中的规律”的活动
中，通过观察前后图形中点的变化规律，推理出后续图形中点的数量。
总结：
求组合图形面积，可以先通过分割、添补等方法，使图形变成已学过的规则图形，再计算它的面积。
例题
1、一个洗浴中心的指示牌（如下图所示），求它的面积。
2、小丽家买了新住房，计划在客厅铺地板（客厅形状如下图），
请你算一算至少要买多大面积的地板。（至少用两种不同的算法）
3、求下面各图形面积（单位分米）
4、下面是一块正方形空心地砖，它实际占地面积是多少？
面积单位
1平方厘米：边长为1厘米的正方形的面积为1平方厘米，写成算式:1厘米×1厘米=1平方厘米
1平方分米：边长为1分米的正方形的面积为1平方分米，写成算式:1分米×1分米=1平方分米
1平方米：边长为1米的正方形的面积为1平方米，写成算式:1米×1米=1平方米
1公顷：边长为100米的正方形面积为1公顷，写成算式：100米×100米=10000平方米=1公顷
1平方千米：边长为1000米的正方形面积为1平方千米，
写成算式：1000米×1000米=1000000平方米=1平方千米
单位换算：
1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米
★天安门广场的面积约是40公顷，1平方千米比两个天安门广场的占地面积还要大。
400米的跑道所围成的操场的面积大约是1公顷；一间教室的面积约是50平方米，200间教室的面积
约是1公顷。
例题：1、计算土地面积常用（ ）和（ ）作单位。
2、1公顷指的是边长（ ）米的正方形土地面积；1平方千米指的是边长（ ）米的正方形土地面
积。
3、单位换算
5公顷=（ ）平方米 3.5平方千米=（ ）公顷 2400000平方米=（ ）平方千米=（ ）公顷
（第六单元： 组合图形的面积）
学校： 班级： 姓名： 得分：
一、 填空（每小题 2 分）共 20 分。
1、1.2 平方米=（ ）平方分米 258 平方厘米=（ ）平方分米
2、15000 平方米=（ ）公顷 4.5 公顷=（ ）平方米
3.一个平行四边形的底 15 厘米，高 8 厘米，它的面积是（ ）平方厘米。
4、三角形的底是 1.2 分米，高是 0.8 分米，它的面积（ ）平方分米。
5、一块梯形的空地上底长 12m，下底长 16m，高 8m，这块地的面积是（ ）㎡。
6、一个平行四边形，面积是 10㎡，若底和高都扩大 2 倍，它的面积是（ ）㎡。
7、一个直角三角形，三条边分别是 8㎝，10 厘米和 6㎝，它的面积是（ ）c㎡。
8、一个三角形和一个平行四边形的底相等。平行四边形的高是 1.6 分米，三角形的高是（ ）分米。
9、两个（ ）的三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
10、一个三角形的面积是 1.8 平方米，高是 1.2 米，底是（ ）米.
二、想一想，画一画，下图各是由哪些图形组成的？（8 分）
三、 估计下列图形的面积。（每个小方格的面积表示 1 平方厘米）（12 分）约（ ）cm2 约（ ）cm2 约（ ）cm2
四、选择题。（选择正确答案的序号填在括号里）（10 分）
11、同底等高的两个三角形（ ）
A、面积不相同
B、形状一定相同
C、面积一定相等
12、右图把正方形分成甲、乙两部分：甲、乙两部分的周
长（ ），面积（ ）。
A、相等 B、甲大 C、乙大
13、、把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积（ ）；
A、变大 B、变小 C、不变
14、、两个完全一样的三角形，不能拼成（ ）。
A、三角形
B、梯形
C、平行四边形
五、求阴影部分的面积。（10 分）单位：厘米
六、计算下图的面积。（10 分）单位：厘米七、解决问题。（30 分）
15、笑笑家的一面墙（如右图，单位米），如果墙面刷石灰，每
平方米用 6.5 元，共要多少元？
16、一个梯形的面积是 120 平方分米，上底是 9 分米，下底是 15 分米，它的高是多少分米？
17、有一条水渠从一块平行四边形田中穿过，（如下图），这块田的实际耕地面积是
多少平方米？
18、有一块长 25 米，宽 20 米的长方形地，如 果在这块地四周
修 3 米宽的小路（如下图）。小路的面积是多少平方米？19、下图是一栋楼房占地的平面图，算一算它的占地面积。单位：米
第七单元 可能性
1、判断游戏是否公平，要看事件发生的可能性是否相等。
2、摸球游戏（用分数表示可能性的大小）
（1）通过游戏所列的条件，推测某种情况出现的概率；
（2）能判断事件发生可能性的大小，写出所有可能发生的情况，推测可能发生的结果。
知识点：用分数表示可能性的大小。
客观事件中，“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”，客观事件中，“一定能”出现的现
象用数据表示为“可能性是“1”，当可能性是相等的时候，用数据表述是“ ”。
逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。一、如果转动一次下面的转盘，然后根据你的判断连一连。
红 红 红 白 红 白 红 白 白 白
红 红 红 黄 红 红 白 白 蓝
白
红 红 红 白 红 红 白 蓝 黄 蓝
红 红 红 白 红 红 白 蓝 蓝 黄
很可能出现红色 一定出现红色 不太可能出现红色 不可能出现红色 可能出现红色
色
二、填一填。
1、盒子里放着不同数量的红、白、黄三种颜色的球，随意摸一个，数量多的那种颜色的球摸出的可能性（ ），数
量（ ）的那种颜色的球摸出的可能性（ ）。
2、盒子里有5枚黑棋和2枚白棋，任意摸出一枚，有（ ）种可能，摸出黑棋的可能性（ ），摸出白棋的可
能性（ ）。
3、在1个小正方体的六个面中，一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意抛一次，（ ）朝上的可能性最小。
4、从三年级师生档案袋中抽出一份档案，是（ ）的可能性大。（填学生或老师）
三、在括号里用分数表示摸白球的可能性。
（ ） （ ） （ ） （ ）
四、判断是非我最棒！（你认为公平的画∨，不公平的画×）
1、红红和亮亮是班里学习委员侯选人，老师准备在他们发表任职演讲后，让全班45名同学
投票，得票多的当选为学习委员。（ ）
2、小红和小兰做抛币游戏30次，正面朝上次数多算小红赢，反面朝上次数多算小兰赢。（ ）
3、口袋里装有2个红色球，3个黄色球。“摸出一个球，若是红色球小明胜，若是黄色球小
华胜。”（ ）
答案
一、 略
二、 1. 大 少 小 2. 两 大 小 3. 1 4. 学生
三、 错误: 引用源未找到 错误: 引用源未找到 错误: 引用源未找到 错误: 引用源未找到
四、 1. √ 2. √ 3. ×
北师大版五年级上册数学期中试卷
_____年______班 学生姓名：___________
同学们，本学期我们愉快地度过了一半的时间了，你在知识的海洋中有哪些收获呢？下面我们来
检测一下自己吧！
一、你还记得吗？填填看。（20分）
1．1～20的自然数中奇数有（ ）个，偶数有（ ）个，质数有（ ）
个，合数有（ ）个。
2．327至少加上（ ），才是2的倍数，至少减去（ ），才是5的倍数。
3.在15、18、20、30、45这五个数中，是3的倍数是（ ）。有因数5的数是（ ），既是3的倍数，又是5的倍数有（ ）。
4．在三位数4 2的“ ”中分别填上（ ）、（ ）、（ ）和（ ）
后组成的数、都是3的倍数。
5．两个完全一样的三角形，拼成一个面积是8.2平方厘米的平行四边形,其中一个
三角形的面积是( )平方厘米。
6．梯形的面积用字母表示（ ）。
7．一个平行四边形面积是38平方厘米，底是9.5厘米，高是（ ）。
8．把3吨煤平均分成3堆，每堆煤重（ ）吨，每堆煤是3吨煤的（ ）。
9. 的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的单位就是最小的质数。
二、下列说法对吗？请你来当小法官。（10分）（对的打“√”，错的打“×” ）
1.三角形的面积比平行四边形的面积小。 （ ）
2．两个连续奇数的积一定是合数。 （ ）
3.一个数的倍数总比这个数的因数大。 （ ）
4．5是因数，15是倍数。 （ ）
5.在献爱心活动中，笑笑捐了自己零花钱的 淘气捐了自己零花钱的 淘气捐的钱比笑笑多。
（ ）
三、火眼金精（把序号填在括号里）（20分）
1.一个质数 （ ）
A、没有因数 B、只有一个因数 C、只有2个因数 D、有3个因数
2.下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是 （ ）
A、13、14、15 B、7、8、9 C、14、15、16
3．分数的分母与除法算式中的除数 （ ）
A、可以是任何数 B、不能是0
4．既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数是 （ ）
A、999 B、995 C、990 D、950
5．分母是6的最简真分数有（ ）个。 （ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
6．5里面有20个 ( )
A、 B、 C、 D、
7.( )的两个三角形面积一定相等。 （ ）
A、底相等 B、高相等 C、等底等高
8．一个梯形的上底、下底都不变，高扩大为原来的2倍，它的面积（ ）
A、不变 B、扩大为原来的2倍 C、缩小为原来的4倍
9、与36相邻的两个偶数是 （ ）A 、35和37 B、34和38 C、36和38 D、34和36
10．一个奇数如果（ ），结果是偶数。 （ ）
A、加上一个偶数 B、乘1 C、加上一个奇数 D、除以1
四、图形你最熟悉，请你求面积！（10分，（1）（2）题3分，（3）4分，单位：厘米）
12
5
24cm²
①
10
长方形的长是12cm，宽是5cm，三角形①的
面积是24cm²，阴影部分面积是多少？
5
第（3）题
14
第（2）题 6
4
12
第（1）题
五、分数是我们的好朋友，你能按要求做一做吗？（9分）
1．将下列各分数化成最简分数。（3）
以
2．把假分数化成带分数或整数。（3分）
3．把下列每组分数化成分母相同而大小不变的分数。（3分）
和 和 和
六、生活中常见的问题，你能解决吗？试试看。（31分，1-5题5分，6题6分）
1．有一块菜地为梯形，上底是13米，比下底短8米，高是50米，去年共收白菜
11900千克，平均每平方米收白菜多少千克？
2．一个果园的形状是平行四边形，底是115米，高是80米，如果每棵果树占地10
米²，这个果园一共可植多少棵树？
3．小明家有三种塑料桶，分别是5千克装，10千克装，2千克装。小明妈妈买回
75千克豆油，选哪种塑料桶装能正好把豆油装完？需这样的桶多少个？4.五年级参加夏令营活动无论是7人编成一组还是8人编成一组都正好无剩余，
参加夏令营至少有多少人？
5.一个长方形，长24cm，宽18cm，如果把这个长方形剪成相同的正方形，而没剩余，剪成的正方形边长
最多是多少厘米？能剪成多少个这样的正方形？
6.长春旅行社推出了辽宁千山一日游A、B两种优惠方案，A方案：大人每位120元，儿童每位80元。B
方案，团体5人以上（含5人）每位100元。
（1）8个大人2个小孩选哪种方案合适？
（2）5个大人5个小孩，选哪种方案合适？
（3）2个大人9个小孩选哪种方案合适？
五年级数学参考答案：（仅做参考，有错误之处，请自行更正。）
一、1．10 10 8 11 2、1 2 3、 （15 18 30 45 ）
（15 20 30 45） （15 30 45 ） 4、0 3 6 9 5 、4.1平方厘米
6、S=（a + b ）h ÷2 7、4cm 8、1 1/3 9、 1/4 5
二、1---5题全是错的。
三、1.c 2.c 3.b 4.c 5.a 6.b 7.c 8.b 9.b 10.c
四、1．84平方厘米 2、60平方厘米 3、36平方厘米
五、1．4/7 3/4 3/5 2、 2 又4/5 3 5又4/7 3、8/12 9/12
12/15 7/15 15/36 26/36
六、1、14千克 2、920棵 3、（1）5千克装 （2）15个
4、56人 5、（1）边长是6厘米 （2）12个
6、（1）B合适 （2）AB都合适 （3）A合适
北师大版小学数学五年级上册期末试题
（总分：100分，时间：8 0分钟）
题号 一 二 三 四 五 总分
得分一、填空（每小题1分，共25分）
1.既是24的因数，又是6的倍数的数有（ ）。
2．在自然数1—10中，（ ）是偶数但不是合数，（ ）是奇数但不是质数。
3．250平方米=（ ）公顷 45分 =（ ）时
4．4÷5＝ ＝ ＝ ＝（ ）填小数。
5．五（1）班有45人，其中男生25人，男生占全班的（），女生占全班的（ ）。
6．把5米长的绳子平均分成8段，每段长（ ）米，每段占全长的（ ）。
7．分母是8的最简真分数有（ ），它们的和是（ ）。
8．口袋里有大小相同的8个红球和4个黄球，从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性是（ ），摸
出黄球的可能性是（ ），摸出（ ）球的可能性最大。
9．在下面的□里填上适当的分数，在上面的□里填上适当的小数。
□ □
0 1 □ 2 □ 3
10.一个三角形的面积是38 ，底边是9.5cm，高是（ ）
11.鸡兔同笼，有11个头，36条腿，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
二、判断（每小题2分，共10分）
1.分数的分子和分母同时乘以或除以一个数，分数大小不变。 （ ）
2. 是一个假分数，那么a不一定大于b。 （ ）
3.淘气和笑笑分别向希望书库捐了各自图书的，则他们捐的一样多。 （ ）
4. ……，第五个点阵中点的个数是1＋4×5＝21。 （ ）
5.把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积不变。 （ ）
三、选择（每小题2分，共10分）
1.一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数和最小公倍数分别是( )。
A、2，36 B、 6，72 C、3，48
2.一个三角形的底不变，如果高扩大4倍，那么它的面积（ ）。
离家的距离 离家的距离 离家的距离
A、扩大4倍 B、扩大2倍 C、无法确定。
3.小军从家出发去书店买书，当他走了大约一半路程时。想起忘了带钱。于是他回家取钱，然后再去书
店，买了几本书后回家。下面（ ）幅图比较准确地反映了小军的行为。
时间 时间 时间A B C
4.有5元和10元的人民币共20张，一共是175元，5元的人民币有（ ）张。
A、5 B、10 C、15 D、17
5.下列分数中，最接近“1”的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
四、计算
1、看谁算的又对又快。（每小题1分，共6分）
+= += —=
2—= += +=
2、计算下面各题，怎样计算简便就怎样计算。（每小题3分，共9分）
2 －（ ＋ ） ＋ ＋ 1 － ＋
3、解方程。（共6分）
x﹣ = 0.5x+7.5x＝16
4、计算面积。（共5分）
五、解决问题（每小题5分，共30分）
1.小张8分钟做了5个零件，小李9分钟做了7个同样的零件，谁做得快？2.有24朵红花、9朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多
少人？每人几朵红花？
3.水果店有一些水果，第一天卖出了,第二天卖出了,还剩下多少没有卖?
4.学校要给一间教室铺地砖，如果用长3分米，宽2分米的长方形地砖，800块正好铺满，如果改用边
长是8分米的正方形地砖，至少需要多少块？
5.1名老师带45名学生去人民公园划船，大船限乘6人，每条24元，小船限乘4人，每条20元，怎样
租船划算？
6.甲乙两车从两地同时开出相向而行，4.5小时后两车相距9千米，甲车每小时行42千米，乙车每小
时行40千米，甲乙两车相距多少千米？期末试题答案
一、填空
1、 6、12、24
2、 2 1和9
3、 1/40 3/4
4、 10 32 25 0.8
5、 5/9 4/9
6、 5/8 1/8
7、 1/8,3/8,5/8,7/8 2
8、 2/3 1/3 红
9、 2/5 1.8 2.2
10、 8cm
11、 4 7
二、判断
1.× 2. √ 3.× 4 . × 5. ×
三、选择
1、B 2、A 3、B 4、A 5、D
四、计算
1、直接写得数
3/2 5/6 1/6 17/11 3/4 17/24
2、简便计算
19.12 11/8 14/9
3、解方程
X=1/2 x=2
4、计算面积
46.5平方厘米
五、解决问题
1、 7/9>5/8,小李快
2、 3人，每人8朵
3、 7/20
4、75块5、大船7条，小船1条，共188元
6、
189+180+9=378（千米）
答：甲乙两车相距378千米。
常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
3、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
4、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
5、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
6、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
7、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
8、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
