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数学运算与思维策略类题型解题技巧讲义
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第一部分：解题技巧
第一节：基本概念
1.整数
通常像……-3,-2,-1,0,1,2,3……的数都称为整数。
在整数系中,零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3……-n(n为非零自然数)为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。正整数可分成奇数和偶数两类。
2. 分数
如果把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或其中几份的数叫分数。 表示这样的一份的数叫分数单位。
注:整数可以看作分母为1的分数。
3. 有理数:正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。有理数的小
数部分有限或为循环。
4. 无理数:从范围上讲,不是有理数的实数遂称为无理数,无理数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,
小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。
5. 约数:又称因数。如果自然数a除以整数b(其中b≠0)除 得的商正好是整数而没有余数，则称b 为a 的约
数。例如：4的约数有:1、2、4;
6的约数有:1、2、3、6
10的约数有:1、2、5、10。
6. 公因数:如果一个自然数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么称c为a与b的公因数。
7. 最大公因数:多个自然数的公因数中最大的一个公因数，称为这几个自然数的最大公因数。
例如：求48 和36的最大公因数。
把48和36 分别分解质因数:48=2×2×2×2×3;36=2×2×3×3。其中 48 和36 公有的质因数为2、2、3，所以48
和36 的最大公因数是2×2×3=12。
注:在自然数(0和正整数)的范围内，任何正整数都是0的约数;一个数的约数必然包括1及其本身。
8. 倍数:一般来说，如果一个自然数a除以整数b(其中 b≠0)除 得的商正好是整数而没有余数，则称a为 b
的倍数。
例如：15能够被 3和5整除，因此15 是3 的倍数，也是5的倍数。
9. 最小公倍数:一般来说，如果一个自然数c既是 a的倍数又是b 的倍数，那么这个数就是a、b的公倍数，
如果这个数 c在a、b的所有公倍数里为最小，那这个数c 就是最小公倍数。
例如：2 和4的最小公倍数是4。3和 5的最小公倍数是15。
注:我们在计算最小公倍数的时候，一般都会借助计算最大公约数的过程来辅助计算。无论是约数还是倍数，它
都是一种二元关系的概念，我们不能孤立地说某个整数是约数还是倍数。而且一个整数的约数是有限的，同时它
也可以在特定情况下成为公约数。
10. 余数:
整数除法中被除数未被除尽的部分
7÷3=2……1，1就为余数。
第二节：数字特性
数字特性思想是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果所具备的某种“数字特性”，从而达到排
除错误选项的方法。
数字特性主要包括奇偶特性、整除特性及倍数特性，公务员考试中运用较多的是3、9的整除特性，条件中存
在比例数、百分数、小数时的倍数特性及其综合运用。当遇到复杂计算和较难题目无从入手时，数字特性往往
就是直取答案、节省时间的关键。
数字特性常用题型:和差倍比问题、不定方程等。尤其当题目条件中涉及比例数、百分数、小数时要考虑数字
特性法解题。当遇到复杂计算或较难突破的题目时，亦可考虑数字特性法。
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理论要点
1.奇偶特性
重要结论:
任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果和是偶数，那么差也是偶数。
任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反;和或差是偶数，则两数奇偶相同。
解题思想:Ax+By=C。
不定方程，求x或 y，可代入排除。
不定方程，求整体的式子Mx+Ny，则需要通过奇偶性分析5x 或5y 的尾数来凑解。
例题：小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文 94分，数学的得分最高，外语的得分等
于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得
分。问小王的物理考了多少分?
A.94 B.95 C.96 D.97
【本题答案】C
【题型识别】根据题目中“其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分”的表述，
再根据奇偶特性可判定物理分数为偶数，然后考虑代入排除法。
【指点迷津】首先排除 B、D两项，代入A项发现不满足题目要求，因此，选择C项。
2.比例特性
当题目较难计算，而题目条件中涉及比例数、百分数等条件时，考虑倍数特性。
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是 m的倍数;b 是n 的倍数。
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，a±b应该是m±n 的倍数。
例题：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均分为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高
20%，则此班女生的平均分是：
A.84分 B.85分 C.86 分 D.87 分
【本题答案】A
【题型识别】题目中涉及百分数，考虑倍数特性。
【指点迷津】由“女生的平均分比男生的平均分高 20%”可知，女生平均分与男生的比例为 6∶5。根据倍数
特性，女生平均分为6的倍数，只有A选项满足题意。因此，本题的正确答案为 A选项。
3.整除特性
当题目涉及到数字求和类问题或极难计算时，可考虑3、9的整除特性。
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能 被3整 除。
一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能 被9整 除。
【百职斩】例题：由1、2、3 组成没有重复数字的所有三位数之和是多少?
A.1222 B.1232 C.1322 D.1332
【本题答案】D
【题型识别】数字求和，考虑3或者 9的整除特性。
【指点迷津】数字求和，考虑整除特性。每个三位数都是由 1、2、3组成，由于1+2+3=6能整除3，说明每个三
位数都能整除3，则所有的这些三位数的和也能整除3，只有D选项满足题意。因此，本题的正确答 案为 D选
项。
第三节：代入排除法
代入排除法不仅仅是一种方法，更是一种思想，做任何题目的时候都要有这种思维意识。代入排除不是一种机
械的代入，而是需要利用题目和选项所给出的一些特性，选择性地代入排除。当题目涉及到“最大”或“最小”
时，注意代入的逻辑顺序;当题目未提及大小时，通常从中间选项进行代入排除。
常用题型:多位数问题、年龄问题、和差倍比问题及较复杂类型问题。
可用题型:不定方程问题、费用问题、同余问题、周期问题、复杂行程问题等
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1.多位数问题
当题目涉及数位、小数点的移动，数的大小类等问题时，直接考虑代入排除法。
例题：一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边的两位数移到前面，则所得新的五位数要比
原来的五位数的2倍还多75，则原五位数是多少?
A.12525 B.13527 C.17535 D.22545
【本题答案】A
【题型识别】题目中出现“一个五位数”的表述，并且最后要求的就是这个五位数，判定此题为多位数问题，
应采用代入排除法求解。
【指点迷津】直接代入A选项，左边三位数125，右边两位数25，满足5倍的关系。按题意移动后所 得新的五
位数25125=12525×2+75，满足题意。因此，本题的正确答案为A。
2.年龄问题
当题目涉及年龄差时，注意无论多少年后，年龄差不变，为定值;
当题目涉及年龄倍数时，随着年龄的增长，年龄倍数会越来越小;
当题目涉及两个人年龄的对话时，即将此年龄段平均分成三等份，利用等差数列解题。
例题：小华4年后的年龄与小丽 4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的 3倍，
小华和小丽今年的年龄分别是多少岁?
A.10，18 B.4，12 C.5，13 D.6，14
【本题答案】C
【题型识别】年龄问题，题目要求根据小华与小丽两个人的年龄关系，求两个人各自的年龄，直接代入排除。
【指点迷津】由题目第一句话可知，两人的年龄相差8岁，四个选项均满足此条件。A 项，3年后两人分别为
13岁、21岁，其和不是3的倍数，排除;B项，3年后两人分别为 7岁、15岁，其和不是3的倍数，排除;C 项，3
年后两人分别为8岁、16岁，其和正好是3的 8倍，满足题意。因此，本题的正确答案为 C。
3.其他问题
当题目较抽象或较复杂，无任何思路时，可考虑代入排除法。
例题：根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22 个工作日，那么当年的8 月1 日可能
是：
A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日
【本题答案】D
【题型识别】时间问题，根据选项可以确定8月有22 个工作日，考虑代入排除。
【指点迷津】A项，若8月1日是周一，易得到8 月有 23 个工作日，不满足题意，排除A、C两项;B项，若 8
月1日是周三，易得到8月也有23 个工作日，不满足题意，排除。因此，本题的正确答案为D。 第四节：赋
值法
赋值法也称特值法，即根据题目的具体情形，合理巧妙地对某些元素设出一个具体的数值。特别适用于抽象难
入手的题目，将这类抽象题目置于具体的数据环境中，以简化思维得出最终结果。
赋值法常用题型:工程问题、费用问题、行程问题、多元不定方程等。
尤其当题目中出现多个变量之间存在百分数、分数或比例关系时，多适用赋值法。 例题：某种溶液的浓度为
20%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：
A.13% B.12.5% C.12% D.10%
【本题答案】C
【题型识别】等溶质稀释问题。除了公式法外，因为题目中没有具体数据，也可以赋值。
【指点迷津】加水前后溶液的溶质为定值，根据比例份数令溶质为60，所以2 0%=60/300，15%=60/400，因此每
次加水100，所以再加100 水，得60/500=12%，因此选择C。
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第二部分：常见题型
第一节：数列与平均数
基本概念
（一）等差数列:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（二）等比数列:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比
数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（三）平均数:平均数是用来表示某一组数据集中趋势的量数，是反映该组数据集中趋势的一项具体指标。通
常我们所说的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商，但在具体统计
的工作中，一般是以平均数(均值)和标准差这两个最重要的测度值来描述数据资料的集中趋势和离散程度。
理论要点
（一）等差数列
平均数=总数/项数
总数=平均数*项数
总数=中位数*项数
例题：四个连续奇数的和为32，则他们的积为多少?
A.945 B.1875 C.2745 D.3465
【本题答案】D
【题型识别】题目中出现“连续奇数”，可以判定题目涉及等差数列考点。
【指点迷津】由题，四个连续奇数必组成为公差为2的等差数列，根据等差数列特点可知，中位数=平均数
=32÷4=8，所以这四个数分别为5、7、9、11，因此四个数的乘积为 3465。
（二）平均数
【百职斩】例题：商店购进甲乙两种不同的糖所用的钱数相等。已知甲种糖每千克 6元，乙种糖每千克12 元。
如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元?
A.7 B.8 C.9 D.10
【本题答案】B
【题型识别】根据题目可以确定为等总价平均价格问题。
【指点迷津】两种糖各自的总价格相等，直接代入公式可求得这种什锦糖的平均成本
=2×6×12÷(6+12)=8(元)。因此，本题的正确答案为B选项。
（三）等比数列
例题：小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是
3600 元，那么小周比小孙的收入高( )
A.700元 B.720 元 C.760元 D.780 元
【本题答案】B
【题型识别】根据题目“小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比”，可以明确题目考查等比
数列问题。
【指点迷津】解法一:小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，因此小赵∶小孙=小孙∶小
周，设小周收入为x元，可列得方程:3000∶3600=3600∶x，解得 x=4320。因此，小周比小孙收入高
4320-3600=720(元)。因此，本题正确答案为B选项。解法二:小孙比小赵多 600 元，且小孙收入为小赵的
1.2倍，所以小周比小孙的收入多600×1.2=720(元)。因此，本题正确答案为B选项。
第二节：工程问题
基本公式
工作总量=工作效率×工作时间
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核心思想
赋值法、比例法、方程法
理论要点
（一）、已知时间类工程问题
题型特色：已知工作时间
解题步骤:
(1)赋值工作总量为题目中涉及“完成工作”时间的公倍数(最好是最小公倍数)或单位“1”;当涉及具体量的
变化时，需要将工作总量设为比例份数或者使用方程法来求解；
(2)根据所赋的工作总量结合工作时间求出每个人的效率;
(3)依据题意进行解题。
1.同时合作型
例题：一项工程，甲一人做完需30 天，甲、乙合作完成需18 天，乙、丙合作完成需15 天，甲、乙、丙三人
共同完成该工程需：
A.10天 B.12天 C.8天 D.9天
【本题答案】A
【题型识别】和例题1一样，本题也是只知道甲、乙、丙三人工作时间的一道题目。不同的是比例题1 多了一
个主体，那原来的方法还行不行呢?我们一起来看看。
【指点迷津】解法一:已知工作时间，赋值工作总量为30、18、15的最小公倍数 90，则甲的效率为90÷30=3;
甲、乙合作的效率为 90÷18=5，因此乙效率为2;乙、丙合作效率为90÷15=6，丙效率为4;甲、乙、丙三人共
同完成该工程需90÷(3+2+4)=10(天)。因此，本题的正确答案为A选项。
解法二:赋值工作总量为30、15的最小公倍数30，则甲的效率为30÷30=1;乙、丙合作效率为30÷15=2。则甲、
乙、丙三人合作的效率为1+2=3，完成工程需要30÷3=10(天)。因此，本题的正确答案为A选项。
2.交替合作型
例题：一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10 天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲
挖1天，再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作，挖完这条隧道共用多少天?
A.14 B.16 C.15 D.13
【本题答案】A
【题型识别】同学们，通过读题发现这是一道知道工作时间的题目，并且关于甲、乙两人的工作量没有给出具
体的数值。与上几道例题不一样的地方在于本道题后半部分的表述比较繁琐，有“乙接替甲挖1天，再由甲接
替乙挖1天……两人如此交替工作”这样的字眼，属于工程问题中的交替合作类。
【指点迷津】已知工作时间，赋值工作总量为 20，则甲的效率为1，乙的效率为2，两人交替挖，一个周期(即
甲、乙各挖一天)为2天，能完成工作量3。20个工作量经过6个周期(即 12天)后，完成了6×3=18个工作量，剩
余2个工作量，需要甲挖1天，乙挖半天。因此，一共需要 12+1+1=14天。因此，本题的正确答案为A选项。
交替合作类问题，首先要得到一个周期需要的时间及完成的工作量;然后算出完成全部工作大概需要几个周
期，得到一个时间;最后重点分析余下的工作量需要的时间为多少，将两个时间相加即可。
（二）已知效率类工程问题
题型特色:已知工作效率之间的关系
解题步骤:
(1)赋值工作效率为具体数值，得到各人的效率;
(2)依据题意进行解题。
1.已知效率之间关系
例题：三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的 1.5 倍。如果乙和丙一起分拣所有的快
件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能够完成
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所有快件的分拣工作?
A.1小时 45 分钟 B.2小时 C.2小时15 分钟 D.2小时 30 分钟
【本题答案】C
【题型识别】根据题目中出现的“乙和丙的效率都是甲的1.5倍”，我们可以知道这是一道已知工作效率之间
关系的工程问题。
【指点迷津】已知甲、乙、丙三人效率之间的关系为“乙和丙的效率都是甲的 1.5 倍”，赋值甲效率是2，
则乙、丙的效率均为 3，设工作总量为x，根据题意可以得到x÷(2+3)-x÷(3+3)=36，解得 x=1080，所以
甲、乙、丙三人合作需要1080÷(2+3+3)=135(分钟)，因此，本题的正确答案为C选项。
2.给“人”“机器”型
例题：有20名工人修筑一段公路，计划15天完成。动工3天后抽出5 人去其他工地，其余人继续修路。如果
每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用：
A.19天 B.18天 C.17 天 D.16 天
【本题答案】A
【题型识别】虽然本道题目是一道关于“修路”的工程问题，但是题目中出现了“修路”的具体人数，我们细
分为给“人”型的工程问题。
【指点迷津】题目中出现“人”，赋值每名工人的工作效率为1，则总工作量为300，3天完成 3×20=60个工作
量，剩下的 240 个工作量由15 个人完成需要240÷15=16天，所以一共需要3+16=19(天)。因此，本题的正确
答案为A选项。
第三节：几何问题
理论要点
1.多边关系
三角形三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
多边形各边关系
任意一边长度小于剩余各边长之和。
例题：某厂生产一批商标，形状为等边三角形或等腰三角形。已知这批商标边长为 2cm或4cm，那么这批商标
的周长可能是：
A.6cm12cm B.6cm8cm12cm C.6cm10cm12cm D.6cm8cm10cm12cm
【本题答案】C
【题型识别】通过读题发现本道题目是关于三角形的一道题，并且知道边长为“2cm或4cm”，再结合题目得
出这是一道关于三角形三边关系的几何问题。
【指点迷津】根据三角形三边特性“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”可知，此三角形的三边有
以下三种情况：(2、2、2)，(4、4、2)，(4、4、4)，则周长有6、10、12 三种情况。因此本题答案为C选
项。
2.其他几何计数问题
例题：七边形的对角线的条数是：
A.14 B.12 C.10 D.16
【本题答案】A
【题型识别】此题是关于七边形对角线的一道题目。
【指点迷津】每个顶点可引4条对角线，共7个顶点，每条对角 线被重复计算2次，因此对角线条数为
4×7÷2=14。因此，本题的正确答案为A选项。
3.长度计算
例题：一条路上依次有A、B、C三个站点，加油站M 恰好位于AC的中点，加油站 N恰好位于BC 的中点。若
想知道M和N两个加油站之间的距离，只需要知道哪两点之间的距离?
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A.CN B.BC C.AM D.AB
4.其他平面几何问题
例题：三角形的内角和为180°，问六边形的内角和是多少度?
A.720 B.600 C.480 D.260
【本题答案】A
【题型识别】很明显这是一道关于多边形内角和的几何问题。
【指点迷津】直接利用公式。六边形内角和=(6-2)×180°=720°。因此本题的正确答案为A选项。
5.面积计算
例题：工作人员做成了一个长60 厘米，宽40厘米，高22厘米的箱子，因丈量错误，长和宽均比设计尺寸多
了2厘米，而高比设计尺寸少了3厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米? A.4 B.20
C.8 D.40
【本题答案】C
【题型识别】通过读题“长和宽均比设计尺寸多了2厘米，而高比设计尺寸少了 3厘米”，结合提问发现这是
一道关于长方体表面积计算并比较的几何问题。
【指点迷津】根据题意，设计时的箱子的表面积为2×(58×38+38×25+58×25)平方厘米，加工后的箱子表面
积为2×(60×40+60×22+40×22)平方厘米。两者之差
=2×(58×38+38×25+58×25)-2×(60×40+60×22+40×22)=8(平方厘米)，因此，本题的正确答案为 C选项。
6.体积计算
例题：连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如图所示)。已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体
积为多少立方厘米?
【本题答案】C
【题型识别】很明显这是一道关于求解立体图形体积的题目。但是正八面体并不属于规则图形，怎么办呢?一
起来看一下。
【指点迷津】正八面体可以看做由两个正四棱锥拼成的，每个四棱锥的底面的边为原正方体四个侧面的中心连
线，高分别为原正方体上下两个底面距离的一半，则V=1/3×(6^2×1/2)×3×2=36(立方厘米)。因此，本题的
正确答案为 C选项。
第四节：时间问题
（一）星期日期
星期每 7天一个循环。
对于某些星期日期问题中会问“N年后的今天是星期几”,我们可以牢记口诀“过N年加N天 ,闰日再加1”。
也就是说如果N年中有 M个闰日(2月29 日),那么,题目相当于在问过 N+M 天后是星期几。
例题：2005年7月1日是星期五,那么2008年7 月1 日是星期几?
A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期二
【本题答案】D
【题型识别】题目中有“2005年7 月1 日是星期五”,所以是一道星期日期问题。
【指点迷津】2005—2080年过了 3年,加3天;且含有1个闰日,再加1天 ,共计4天。星期五之后4天是星期二。
因此,本题的正确答案是D选项。
（二）钟表问题
钟表一圈分成了12格,每格 30°。
每小时,时针转1格30°, 分针转 12格360°(1圈);
每分钟,时针转0.5°,分针转6°。
（三）周期循环问题有两种题目
一种是需要求出最小公倍数;
另外一种需要求出经过整数周期后的余数。
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注意:每隔N天,即为每“N+1天”。
例题：有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发,三辆车再次回到公交总站所用的时间分别
为40分钟、25分钟和 50分钟。假设这三辆公交车中途不休息,请问它们下次同时到达公交总站将会是几点?
A.11点20 分 B.11 点整 C.11点40 分 D.12点整
【本题答案】A
【题型识别】根据题目中“三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40 分钟、25 分钟和 50 分钟”,可以知
道这是一个周期循环题目。
【指点迷津】因为要求 3辆车同时到达,所以这个时间必为 40、25、50的公倍数,再结合题目中问的是下次同
时到达公交站的时间,所以是40、25、50 的最小公倍数,为200,也就是 200 分钟,即3 小时20 分钟后,三车下
一次同时到达公交站点,即11点20 分。因此,本题的正确答案为A选项。
（四）表盘计算问题
钟表追及问题本质上讲与行程问题中的追及问题一样:
分针追上时针的度数=追及时间×5.5°;
追及时间=分针与时针的度数差÷5.5°
如果涉及求角度或是指针重合次数等问题,可以直接拨表盘解题。
例题：钟表有一个时针和一个分针,分针每1小时转360°,时针每12 小时转 360°,则24 小时内时针和分针
成直角共多少次?
A.28 B.36 C.44 D.48
【本题答案】C
【题型识别】题目中有“分针每 1小时转360°,时针每 12 小时转360°”,很显然是一个钟表问题。
【指点迷津】一般情况,1 小时内会出现2 次垂直情况,但是3点、9 点、15点、21 点这 4个特殊时间,只有 1
次垂直,所以有24×2-4=44(次)。因此,本题答案为C选项。
（五）年龄问题
过n年,长n岁;两人之间的年龄差不变;两人年龄之间的倍数会随着时间变小。
题目若涉及年龄差,把握“两人年龄差不变”原理,采取方程法或代入排除法解题;
题目若涉及年龄倍数,把握“两人年龄倍数越来越小”原理解题;
题目若涉及两人对话,把握“年龄差不变”原理,使用“平均分段法”解题。
例题：小李的弟弟比小李小 2岁,小王的哥哥比小王大2 岁、比小李大 5岁。1994 年,小李的弟弟和小王的年
龄之和为 15。问2014年小李与小王的年龄分别多少岁?
A.25、32 B.27、30 C.30、27 D.32、25
【本题答案】B
【题型识别】题目中给出了几个人之间年龄的关系,并且是问其中两人的具体年龄。故是一道年龄问题。
【指点迷津】解法一:根据已知,小王比小李的弟弟大5岁,1994 年,根据两人的年龄和为15,两人的年龄差不
变,还是5 岁,可得 1994 年小王为10 岁,故小王在2014 年为 30岁。因此,本题答案为B选项。解法二:根据已
知,小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5 岁,因此小李比小王小 3岁,结合选项只有B符合条件。因此,本题答
案为B选项。
第五节：溶液问题
基本公式
溶液=溶质+溶剂
浓度=溶质÷溶液=溶质÷(溶质+溶剂)
理论要点
（一）基础计算问题
当溶液蒸发或稀释时，把握溶质不变的本质利用公式结合方程法来解题。
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例题：将40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，变为浓度 20%的溶液。应蒸发掉水多少千克?
A.8千克 B.9千克 C.10千克 D.11千克
【本题答案】A
【题型识别】通过读题发现，题目中有“40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，变为浓度 20%的溶液”，很明
显这是一道关于溶液浓度的题目。
【指点迷津】设蒸发掉x千克水，根据“蒸发后溶质不变”可得:40×16%=20%×(40-x)，解得 x=8。因此，本
题答案选择A选项。对于溶液“蒸发溶剂”问题，我们要注意的是溶质不会发生变化。
（二）混合溶液原理
两种溶液相混合，则有:
混合溶液浓度=(溶液 A的溶质+溶液B 的溶质)÷(溶液A+溶液B)
两种溶液混合，混合溶液的浓度一定介于溶液 A和溶液 B的浓度之间。
例题：甲容器有浓度为3%的盐水 190克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙取出210克盐水倒入甲，
甲容器中的盐水的浓度是多少?
A.5.45% B.6.15% C.7.35% D.5.95%
【本题答案】B
【题型识别】通过读题，发现题目中有“从乙取出210 克盐水倒入甲”，属于溶液混合问题。
【指点迷津】根据题意，结合两溶液混合公式可得，混合后溶液的浓度
=(3%×190+9%×210)÷(190+210)=6.15%。因此，本题答案选择B选项。
（三）反复操作问题
例题：从一瓶浓度为20%的消毒液中倒出2/5 后，加满清水，再倒出 2/5，又加满清水，此时消毒液的浓度
为：
A.7.2% B.3.2% C.5.0% D.4.8%
【本题答案】A
【题型识别】题目中有“倒出2/5 后，加满清水，再倒出2/5，又加满清水”，属于反复操作型的溶液问题。
【指点迷津】倒出比例为2/5，重复 2次，因此消毒液的浓度为20%×(1-2/5)^2=7.2%。因此，本题的正确答
案为A选项。
（四）抽象比例问题
在溶液中加入溶剂或蒸发溶剂时，把握溶质不变原理进行解题。
例题：某种溶液的浓度为20%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：
A.13% B.12.5% C.12% D.10%
【本题答案】C
【题型识别】通过读题发现，往溶液里加的溶剂是水，溶质的量没有发生变化，并且每次加入的水的量是相
同的，属于“溶质不变加减水”的题目。
【指点迷津】根据题意，溶液中溶质的量是保持不变的，不妨赋值溶质的量为 60克，则第一次加水前有溶液
60÷20%=300;加水后溶液的浓度变为 15%，则溶液的量为60÷15%=400，即加入的水的量为100;第三次加入同
样多的水后，溶液的量为 500，此时溶液的浓度为 60÷500=12%。因此，本题的正确答案为C选项。 第六节：
经济利润问题
题型分类
1基础经济问题
主要涉及“进价”“原价”“售价”“利润”“利润率”等常见经济概念之间的关系。
常见的解题方法:方程法、赋值法。
2分段计费问题
每一段的计费标准不用。
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常见的题目情景有“水费”“电费”“停车费”“打车费”等等。解决问题的关键就是找到分段点，明确对应
计费标准。
3最优方案问题
通常会给出两到三个不同的方案，并且会设问“最少花费多少元”或者“最多能获利多少元”。
这一类题型通常难度指数偏低，只需要对比不同的方案即可，但是容易设置陷阱，同学们需细心应对。
基础公式
总售价(总收入)=单价×销售量;总利润=单件利润×销售量
利润=售价-成本
利润率=利润/成本=售价-成本/成本=售价/成本-1
售价=成本×(1+利润率)
成本=售价/1+利润率
折扣:“二折”，即现价为原价的20%，“九折”，即现价为原价的90%。通常情况下，打折是在售价的基础上
打折，而非成本。
理论要点
1基础经济问题
总售价(总收入)=单价×销售量;总利润=单件利润×销售量
利润=售价-成本
利润率=利润/成本=售价-成本/成本=售价/成本-1
售价=成本×(1+利润率)
成本=售价/1+利润率 例题：某种汉堡包每个成本4.5 元，售价10.5 元，当天卖不完的汉堡包即不再出售。
在过去十天里，餐厅每天都会准备 200个汉堡包，其中有六天正好卖完，四天各剩余 25个，问这十天该餐厅
卖汉堡包共赚了多少元?
A.10850 B.10950 C.11050 D.11350
【本题答案】B
【题型识别】题目中出现“成本”“售价”等词汇，我们可以明确该题属于基础经济问题。
【指点迷津】解法一:考虑数字特性，卖出1个获利6元，未卖出赔4.5 元，即总利润为3的倍数，观察选项
只有B项满足。解法二:总成本为4.5×200×10=9000(元)，总售价为10.5×(2000-100)=19950(元);总利润=
总售价-总成本=10950(元)。解法三:总利润=6×(200×6+175×4)+(-4.5)×(25×4)=10950(元)。
2部分打折类
实际总收入(利润)=未打折部分收入(利润)+打折部分收入(利润)
例题：某网店以高于进价10%的定价销售T 恤，在售出 23后，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预
计盈利为成本的：
A.3.2% B.不赚也不亏 C.1.6% D.2.7%
【本题答案】D
【题型识别】题目中出现“以定价的8折将余下的T恤全部售出”等这样的语句，我们可以明确该题属于基础
经济问题中的部分打折问题。
【指点迷津】本题单价和数量均未知，考虑赋值法。将单价赋值为100元/件，数量赋值为3件。实际总收入
=未打折部分收入+打折部分收入=110×2+88×1=308(元)。故盈利308-300=8(元)。盈利是成本的
8÷300≈2.7%。因此，本题的正确答案为D选项。
3分段计费问题
核心思想:分段计算，找出所求量对应的级别，最后加总即可。突破点:分段点。
例题：某市出租车:起步价格为2 公里6元，2公里后每 增加1公里收取1.7 元，6公里之后每增加1 公里收取
2元，不足1 元四舍五入。某乘客乘坐31公里，应该付( )元车费。
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A.63元 B.64元 C.65 元 D.66 元
【本题答案】A
【题型识别】题目中每一段的计费标准不一样，我们可确定为分段计费问题。
【指点迷津】乘客乘坐 31 公里应付车费=6+1.7×4+(31-6)×2=62.8≈63(元)。因此，本题正确答案为A选
项。
4最优方案问题
核心思想:将不同情况下的费用分别计算出来，比较得出最优结果。这种题型通常偏容易，但是容易有陷阱，
需要大家细心。
例题：某单位举办活动，需要制作8 米长的横幅20 条。用来制作横幅的原料有两种，一种每卷10米，售价 10
元;另一种每卷25 米，售价 23元。如果每卷原料截断后无法拼接，则该单位购买横幅原料最少需要花费
( )元。
A.146 B.158 C.161 D.200
【本题答案】B
【题型识别】题目给出两种方案，并且设问为“最少需要花费多少元”，可以确定为最优方案问题。
【指点迷津】每卷 10 米的只能制作一条横幅，相当于单价为 10元;每卷25 米的能制作三条横幅，因此相当
于单价为 23/3元。因此要制作20条横幅，购买方式为每卷25 米的购买6卷、每卷10 米的购买2卷，花费为
23×6+10×2=158(元)。
第七节：排列组合问题
理论要点
加法原理:分类用加法，适用于分不同情况讨论的情形。
乘法原理:分步用乘法，适用于分步骤进行的情形。
例题：南阳中学有语文教师8名、数学教师 7名、英语教师5 名和体育教师2名。现要从以上四科教师中各选
出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
A.96 B.124 C.382 D.560
【本题答案】D
【题型识别】本题设问为“共有几种不同的选法”，我们可以确定属于排列组合问题。
指点迷津】本题考点:分步+组合。四科教师中每科选1人，共有C1 8xC1 7xC1 5xC1 2=560(种)不同的选
法。
例题：有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共
可表示多少种不同的信号?
A.24种 B.48种 C.64 种 D.72 种
【本题答案】C
【题型识别】本题设问为“共可表示多少种不同的信号”，我们可以确定属于排列组合问题。
【指点迷津】分情况用加法原理，与顺序有关即为排列问题。
4盏灯用1盏:A1 4=4(种);4盏灯用 2盏:A2 4=4×3=12(种);4盏灯用3盏:A3 4=4×3×2=24(种);4盏灯全
用:A44=4×3×2×1=24(种)。
故共可以表示信号 4+12+24+24=64(种)。因此，本题的正确答案为C选项。
捆绑插空问题
捆绑法
特征:“相邻”“在一起”
方法:先将相邻的主体捆绑在一起，再将它们视为一个整体与其他主体进行全排列。
插空法
特征:“不相邻”“不在一起”
方法:先将其他主体排好，再将不相邻的主体进行插空。
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例题：某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要求停水的两天不相连，
则自来水公司共有( )种停水方案。
A.21 B.19 C.15 D.6
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“不相连”，我们可以确定属于排列组合问题中的插空问题。
【指点迷津】将供水的 5天排成一列，一共形成 6个空，从中任意选 2个，共有 C2 6=15(种)停水方案，因
此本题的正确答案是C。
分配插板问题
同质物体分堆，至少分一个，可直接用分配插板法。
结论:将m 个相同的物品，分给n个人，每个人至少得 1个，则共有 Cn-1 m-1种分配方法。
注意:如果是每个人至少得多个，要先转化为每个人至少得一个，再用分配插板法解题。
例题：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1 个桔子，一共有几种分配方法?
A.14 B.18 C.20 D.22
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“将7个大小相同的桔子分给4个小朋友”，我们可以确定属于排列组合问题中的分
配插板问题。
【指点迷津】7个桔子摆一排，中间有6个空，插 3个板，就能分给4 个小朋友，因此，分配方法总数为 C3
6=20(种)。故本题答案为C选项。
错位排列问题
结论:有N个信封 N封信，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法种数记为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，
D5=44......
例题：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共
有几种不同的尝法?
A.6种 B.9 种 C.12种 D.15种
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜”，我们可以确定属于排列组合
问题中的错位排列问题。
【指点迷津】错位排列问题，D4=9(种)。因此，本题的正确答案是B选项。
圆型排列问题
结论:n 个人排成一圈，则有An n/n=An-1 n-1种排法。
例题：五个人围成一圈跳舞，请问有多少种不同的排列方法?
A.120 B.72 C.48 D.24
【本题答案】D
【题型识别】本题出现“围成一圈”，我们可以确定属于排列组合问题中的圆型排列问题。
【指点迷津】圆型排列，五个人排列方法共有A4 4=4×3×2×1=24(种)。
概率问题
概率=满足条件的个数/总个数
例题：“A成立”时“B 成立”的概率=A、B同时成立的概率/A成立的概率从3双完全相同的鞋中，随机抽取
一双鞋的概率是：
A.1/2 B.3/5 C.1/6 D.1/3
【本题答案】B
【题型识别】本题设问为“概率是多少”，我们可以确定属于概率问题。
【指点迷津】基本公式:满足条件的概率=满足条件的个数÷总的情况数。本题结合已知，3双鞋是
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相同的，所以随机抽取一双鞋，从左脚抽一只、从右脚抽一只的情况数为C1 3×C1 3=9(种)，总的情况数为
从6只鞋子里任意抽取2只即C2 6=15(种)。所以满足条件的概率=9÷15=3/5。因此，本题答案为B选项。
第八节：最值问题
题型分类
最不利构造
多集合反向构造
数列构造
题型特征
题目中涉及“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最重”“最轻”“最快”“最慢”“排
名第......”
理论要点
（一）最不利构造
特征:“至(最)少……保证(确保)……”
方法:“最不利情形+1”
例题：从一副完整的扑克牌中，至少抽出( A.21 )张牌才能保证至少6张牌的花色相同。
B.22 C.23 D.24
【本题答案】C
【题型识别】设问为“至少……保证……”，我们可以确定为最不利构造。
【指点迷津】最不利情形:每种花色的牌都抽5张，4×5=20(张)，再摸出两张王共22 张，这时再抽一张即
可满足题意，22+1=23(张)。因此，本题的正确答案为C选项。
（二）多集合反向构造
特征:“都......至少......”
方法:反向———加和———做差
例题：某社团共有46 人，其中35 人爱好戏剧，30人爱好体育，38 人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至
少有多少人以上四项活动都喜欢?
A.5 B.6 C.7 D.8
【本题答案】A
【题型识别】设问为“至少......都......”，我们可以确定为多集合反向构造。
【指点迷津】这一类题型分为三步走:第一步:反向。即每项活动不喜欢的分别有11 人、16人、8人、6人;第
二步:加和。所得值为反向的最大值。即11+16+8+6=41(人);第三步:做差。即答案=总数-反向最大值
=46-41=5(人)。因此，本题的正确答案为 A选项。
（三）数列构造
特征:“排名第……最(至)……”“最……最(至)……”
方法:排序———定位———构造———加和
特别要注意题目中是否有“整数”“互不相等”等限制条件，有或无会导致构造数列、列方程上的一些区
别。例 题：100 人参加 7项活动，已知每个人只参加一项活动，每项活动都有人参加而且参加的人数都不一
样，那么参加人数第四多的活动最多有几个人参加?
A.22 B.21 C.24 D.23
【本题答案】A
【题型识别】设问为“第四多......最......”，我们可以确定为数列构造。
【指点迷津】题中7项活动参加总数是100 人，求的是参加人数第四多活动最多有多少人，判定属于构造数列
题，做此类题就是构造数列。排名第四的活动人数最多，即其他活动人数最少。设排名第四的活动有x人参
加，可列出方程，x+3+x+2+x+1+x+3+2+1=100，解得x=22。因此，本题的正确答案为A.
第九节：行程问题
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题型分类
基础行程类：
火车过桥(隧道型)
等距离平均速度
基本相遇追及型
环形相遇型
直线往返相遇型
其他：
相遇追及问题
流水行船问题
比例行程问题
基础公式
路程=速度×时间
核心方法
赋值法、方程法、图示法
理论要点
1基础行进型
核心公式:S=v×t
例题：一辆汽车从A地开到 B地需要一个小时，返回时速度为每小时 75千米，比去时节约了20 分钟，问
A、B两地相距多少千米?
A.30 B.50 C.60 D.75
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“速度”等相关词汇，我们确定本题为行程问题。
【指点迷津】根据题意可知，汽车返程比去时节约了20 分钟，即实际开了2/3 小时。A、B两地相距
75×2/3=50(千米)。因此，本题的正确答案为B选项。
2火车过桥(隧道)型
火车通过整座大桥，从车头上桥至车尾离桥，行进路程S=桥长+车长=速度×时间;
火车在整座大桥上，从车尾上桥至车头离桥，行进路程S=桥长-车长=速度×时间。
例题：一列长90米的火车以每秒30 米的速度匀速完全通过一座长1200 米的桥，所需时间( )秒。
A.37 B.40 C.43 D.46
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“速度”“火车”、“桥”等相关词汇，我们确定本题为行程问题中的火车过桥(隧
道)问题。
【指点迷津】根据公式，火车完全通过大桥的行进路程 s=桥长+车长=1200+90=1290(米)，则需要的时间
t=s÷v=1290÷30=43(秒)。因此，本题的正确答案为C选项。
3等距离平均速度
等距离平均速度核心公式:- V=2v1v2/v1+v2
例题：老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100米/分钟，问老张往返的平均速度是多少米/分钟?
A.85 B.80 C.75 D.70
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“上山速度”“返回速度”等相关词汇，我们确定本题为行程问题中的等距离平均速度
问题。
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【指点迷津】根据等距离平均速度公式得:- V=2v1v2/v1+v2=2×60×100/60+100=75(米/分钟)。故本题正确
答案为 C选项。
4基本相遇追及型
核心公式
相遇问题:相遇路程=(大速度+小速度)×相遇时间
追及问题:追及路程=(大速度-小速度)×追及时间
例题：甲以 6千米/小时的速度步行从 A地往 B地，在甲出发 90分钟时，乙发现甲落下重要物品，立即骑自
行车以12千米/小时追甲，在11 点追上，甲出发的时间为上午( )点。
A.7 B.8 C.9 D.10
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】由题意可知，甲出发90 分钟所走路程即为乙追甲的路程。则追及时间=追及路程÷(乙速度-甲速
度)=6×1.5÷(12-6)=1.5(小时)，11 点追上，甲先走了1.5 小时，乙又追了甲1.5小时，故出发时间为早上 8
点。因此，本题的正确答案为B选项。
5环形相遇型 【百职斩】【www.baizhizhan.com】独家提供/务必登录网站或app 核实资料是否整套完整
当甲、乙两人运动方向相同时，为追及运动。设甲速度>乙速度，则第一次追上时，甲比乙多跑1圈;第二次追
上时，多跑2圈......第N次追上时，多跑N圈。则有:
同向环形问题:追上N圈时，N圈跑道长度=(甲速度-乙速度)×追及时间
当甲、乙两人运动方向相反时，为相遇(或背离)运动。则第一次相遇时，两人共同行进1圈;
第二次相遇时，两人共同行进2圈......第N次相遇时，共走N圈。则有:
反向/背向环形问题:相遇N圈时，N圈跑道长度=(甲速度+乙速度)×相遇时间
例题：甲乙两人在一条椭圆形田径跑道上练习快跑和慢跑，甲的速度为3米/秒，乙的速度为 7米/秒，他们在
同一点同向跑步，经过 100 秒第一次相遇，若他们反向跑，多少秒后第一次相遇?
A.30 B.40 C.50 D.70
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“相遇”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】根据公式，两人同向跑步，100秒后追上。跑道周长=(7-3)×100=400(米)。若反向跑步，那么相
遇时间 t=400÷(7+3)=40(秒)。因此，本题的正确答案为B选项。
6直线往返相遇型
如果两人分别从两端出发:
那么两人第N次迎面相遇，路程和=全程×(2N-1);
第N次追上相遇，路程差=全程×(2N-1)。
如果两人从同一点出发:
那么两人第N次迎面相遇，路程和=全程×2N;
第N次追上相遇，路程差=全程×2N。
例题：甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5 米，乙每分钟游52.5 米。两人同时分别从泳池的
两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50 秒内两人共相遇多
少次?
A.2 B.3 C.4 D.5
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】泳池长30米，两人速度和为90 米/分，则两人迎面相遇时所走的路程和应为1×30，
3×30，5×30，7×30…，而 1分 50秒两人游了90×(1+50/60)=165(米)，5×30<165<7×30，所以最多可以迎
面相遇 3次。而两人路程差为(52.5-37.5)×(1+5/6)=27.5(米)，不到一个全程，因此从出发开始计算的1分
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50秒内两人没有一次追上相遇。因此，本题的正确答案为B选项。
7流水行船问题
顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间
无动力漂流所需时间t=2t逆t顺/t 逆-t顺
例题：长江上游的A港与下游S港相距270 千米，一轮船以恒定速度从A 港到 S港需 6.75小时，返回需 9小
时。如果一只漂流瓶从A港顺水漂流到S港，则需要的时间是：
A.84小时 B.50 小时 C.54小时 D.81 小时
【答案】C
【题型识别】本题出现“顺水”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的流水行船问题。
【指点迷津】根据顺水漂流模型，漂流时间=(2×6.75×9)÷(9-6.75)=54(小时)。
8比例行程问题
路程相同，速度和时间成反比;
时间相同，速度和路程成正比。
例题：甲乙两辆车从A地驶往90 千米外的B地，两车的速度比为 5∶6。甲车于上午 10 点半出发，乙车于 10
点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时?
A.10 B.12 C.12.5 D.15
【答案】D
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】根据题意可知:s一定，所以速度比为时间的反比。因此甲乙所用时间的比应该为6∶5。设甲用了
6t，乙用了5t，又根据题意甲比乙多用12分钟，所以t 为12，即甲用了 72 分钟，乙用了 60分钟。因此甲的
时速为90÷72/60=千米，乙的时速为90 千米，两者相差15千米/小时，故选D。
第十节：牛吃草问题
方法:套公式，列方程。
公式:y=(N-x)×T
y:原有的总量(比如“原有的草量”)
T:完全消耗所需的时间
N:促使原有总量减少的变量(比如“牛数”)
x:单位时间内的增长量(比如“草的生长速度”)。
题目特征:给出两组对应的T、N;本质:两个变量影响原有总量的变化。
理论要点
1基本公式型
y=(N-x)×T
例题：一片草地(草以均匀速度生长)，240 只羊可以吃6天，200只羊可以吃10 天，则这片草可供190只羊吃的
天数是：
A.11天 B.12天 C.14 天 D.15 天
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“240只羊可以吃6天，200 只羊可以吃10天”，我们可以确定为牛吃草问题。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T根据题意可得:y=(240-x)×6；y=(200-x)×10 解得:x=140， y=600将
N=190代入，则600=(190-140)×T，得T=12。故本题答案为B选项。
2可持续发展型
减少速度(N)≤增长速度(x)
例题：某河段中的沉积河沙可供80 人连续开采6个月或60 人连续开采10 个月。如果要保证该河段河沙不被开
采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断地开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
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A.25 B.30 C.35 D.40
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“80 人连续开采6个月或 60人连续开采10个月”，我们可以确定为牛吃草问题。此外，
出现“保证该河段河沙不被开采枯竭”，确定为可持续发展型。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T根据题意可得:y=(80-x)×6，y=(60-x)×10解得:x=30，表示每个月河沙
沉积速度为30，则要保证不被开采枯竭，每个月最多供30 人开采。故本题答案为B 选项。
3同增同减型
例题：当算出x为负值时，则表示N和x 同增同减，直接代入计算即可。某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐
充满后同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60 个人吸氧，45分钟后氧气耗尽。问
如果该氧气罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间?
A.1.5个小时 B.2个小时 C.2.5个小时 D.3个小时
【本题答案】D
【题型识别】本题出现“同时供 40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供 60个人吸氧，45
分钟后氧气耗尽”，我们可以确定为牛吃草问题。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T根据题意可得:y=(40-x)×60，y=(60-x)×45 解得:y=3600， x=-20。则
3600÷20=180(分钟)=3(小时)。故本题答案为D选项。
第十一节：容斥原理
基本公式
两集合容斥问题
总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB
三集合容斥问题
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-②-2×③
(其中②表示满足两种的个数;③表示三者都满足的个数)
核心方法
公式法、图示法
理论要点
（一）两集合容斥问题
解题方法:公式法、图示法。
核心公式:总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB
例题：某班对50名学生进行体检，有20 人近视，12人超重，4人既近视又超重。问该班有多少人既不近视又
不超重?
A.22人 B.24人 C.26 人 D.28 人
【本题答案】A
【题型识别】本题出现“有20 人近视，12人超重，4人既近视又超重”，我们可以确定为两集合问题。
【指点迷津】根据两集合容斥原理可知，近视和超重的学生共有20+12-4=28(人)，可得既不近视也不超重的人
数为50-28=22(人)。故正确答案为A选项。
（二）三集合容斥问题
解题方法:公式法、图示法。
适用情形:当题目直接求公式中的某个未知量时，直接适用公式法;
当题目所求未知量未在公式中体现出来时，直接适用图示法。
核心公式:①总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC(适用于 AB、BC、AC均已知的情形);
②总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-②-2×③(适用于已知满足两种情况个数的情形)。
计算策略:因三集合容斥公式太长，在选项尾数都不相同的情况下，可直接适用尾数法快速选出正确答案。
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例题：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40 人选修甲课程，36 人选修乙课程，30 人
选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有 26 人，兼选乙、丙两门课程的有 24
人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?
A.1人 B.2 人 C.3人 D.4 人
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“三门课程均未选”，我们可以确定为三集合问题。
【指点迷津】直接使用公式法。三者都不=总数
-[(A+B+C)-(AB+BC+AC)+ABC]=50-[(40+36+30)-(28+26+24)+20]=2(人)。因此，本题的正确答案为B选项。
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