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广西 2024 届高中毕业班 5 月仿真考
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D C B C B A B BD AC ABD
二、填空题
12． （ 或 均可以） 13. __________ 14.____________
1．D【详解】由题意得 ， 得 ．故选：D.
2．D【详解】由 可得 ，所以 ，可得
，所以 的共轭复数为 ，即A错误；
的实部为0，即B错误； 的虚部为 ，所以C错误； 的模为1，可知D正确.故选：D
3．C【详解】由于 ，
故条件 等价于 ，这又等价于 或 ，
即 或 ，所以C正确.故选：C.
4. 选B【详解】因为 ，
的展开式的通项为 ，令 ，得 ，则 ，故
5．C 【详解】法一： 函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度
得到函数 的图象，
函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度
得到 的图象，
则 （ ），即 （ ），即 （ ），
由于 ，所以当 时， 取得最小值 ，故选：C．
6．B【详解】如图所示，连接 ， ，由对称性可知， ，
取 的中点 ，则 ， ，
1
学科网（北京）股份有限公司又因为正六边形的边长为1，所以 ，
所以 ，故选：B．
7．A 【详解】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.故选：A
y=√3cosωx(ω>0)
8.【答案】B【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数 图象的一部分，
可得 ；设圆柱底面半径为 ，则 ，所以 ，设椭圆长轴长为 ，短轴长为 ，
因为离心率为 ，得 ，则 ，即 ，所以 ，得
，
又由勾股定理得 ，解得 ，故 .故选：B.
9.【答案】BD 【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有 人，
00后的考生有 人，可得 人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得 ，
解得 ，则前三个矩形的面积和 ，
所以试成绩的 分位数为 分，所以B正确；
对于C中，设面试成绩的最低分为 ，由前三个矩形的面积和为 ，第四个矩形的面积为 ，则
分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D正确.故选：BD.
10【答案】AC 【详解】对于A，依题意，可知
，
设F为 的中点，连接 ，则 ，
而 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，A正确；
对于B，将四面体 放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
由于 ，即异面直线 和 的距离为 ，且 平面 ，
所以四面体 的体积为 ，B错误；
2
学科网（北京）股份有限公司对于C，由以上分析可知，四面体 的外接球半径为 ，
由 ，知点 的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为 ，
则 ，解得 ，所以 的轨迹长度为 ，C正确；
对于D，由题意可得 ,故 的外接圆半径为 ，
所以球心到 所在平面的距离为 ，
设三棱锥 的高为h，
由三棱锥 的体积为 时，可得 ，故 ，
又由 ，故E点轨迹为外接球上平行于平面 且到平面 的距离为 的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，所以点 的轨迹长度大于 ，D错误，故选：AC.
11.【答案】ABD
【解析】对于选项A，函数的定义域为 ，函数的导数 ，易知函数 在
单调递减， 单调递增，所以 是 的极小值点，故A正确；
对于选项B，由 ，得 ，
由于分子判别式小于零，所以 恒成立，
所以函数 在 ，上单调递减，
且 ，
所以函数 有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以在 内， ，函数 单调递增；
3
学科网（北京）股份有限公司在 上， ，函数 单调递减，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减．
又因为当 时， ，
所以不存在正实数 ，使得 恒成立，故C不正确；
对于选项D，设 ，即有 ，
，即为 ，
化为 ，
故 ，所以 ，
则 ，
设 （ ），可得 ，
令 ，则 在 上恒成立，
可得 ，所以 ，故 单调递增，
可得 ，故 成立，故D正确．
故选：ABD.
12． （答案不唯一， 或 均可以）
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为
4，圆心距为 ，所以两圆外切，如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ；
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即
，则 到 的距离 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ；
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
4
学科网（北京）股份有限公司在 上取点 ，设其关于 的对称点为 ，则 ，
解得 ，则 ，所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一， 或 均可以）
13. 【详解】根据题意可知装入水的体积 ．
14. 【详解】由三角形面积公式 结合 ，可知 ，
即 ，又由平方关系 ，所以 ，即
，解得 或 （舍去），
由余弦定理有 ，所以 ，
令 ，所以 ，故只需求出 的范围即可，
由正弦定理边化角得
，
注意到在锐角 中，有 ，简单说明如下：
若 ，则 ，即 不是锐角，但这与 是锐角三角形矛盾，
所以在锐角 中，有 ，所以在锐角 中，有 ，
因为正切函数 在 上单调递增，所以 ，
从而 ，
5
学科网（北京）股份有限公司而函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 .综上所述： 的取值范围为 .
15.【详解】（1）如图，连接 ， ，在正四棱柱
中，
由 与 平行且相等得 是平行四边形，
所以 ，...........................2分
又 平面 ， 平面
所以 平面 ，....................................4分
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， 是 中点，
所以 是 的中点；.............................6分
（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
， ，.............................8分
设平面 的一个法向量是 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
，取 ，得 ，...........................10分
，.................12分
.
所以直线 与平面 所成的角的余弦值 ．.................13分
16.解：当 时 ， .................4分
又 时，得 ，也满足上式.，.................5分
故 ..................6分
（2）由 ，所以 ，.................8分
又 ，所以 前91项中有87项来自 ..................10分
6
学科网（北京）股份有限公司所以故 .................12分
..................15分
17.（1）10∶10平后，两人又打4个球且甲获胜，该局比赛结束，这4个球的得分情况为：前两球是甲、
乙各得1分，后两球均为甲得分．................2分
[2 1 ( 2) 1] 2 1 1
因此所求概率为 × （ 1 − ） + 1 − × × × = .................6分
3 2 3 2 3 2 6
（2）因为甲先发球，且甲 获胜，所以一共打了13个球，最后1个球由甲发球，且最后一球甲赢，
前12球，甲发球6次，乙发球6次，乙共获胜2次，................8分
所以单局比赛中甲 获胜的概率为
； .................15
分
18.【详解】（1）由题意得 ，易知 ，
由椭圆定义可知，动点 在以A，B为焦点，且长轴长为 的椭圆上，
又 不能在直线 上，∴ 的方程为： ．................4分
（2）(i) （法一）设 ， ， ，
易知直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， ∴ ，∴ ，
，即 ，同理可得， ，∴ ，
欲使 ，则 ，
即 ，∴ ，∴存在唯一常数 ，使得当 时， ．......10分
（法二）设 ， ， ，
易知 的斜率 不为零，否则 与 重合，
欲使 ，则 将在 轴上，又 为 的中点，
则 轴，这与 过 矛盾，
故 ，同理有 ，
则 ，可得 ，易知 ， ，
7
学科网（北京）股份有限公司且 ， ，∴ ，即 ，
同理可得， ，欲使 ，则 ， ∴ ，∴ ，
∴存在唯一常数 ，使得当 时， ．................10分
(ii) 由(i)易知 ，且
∴ ，
即 ，同理可得， ，
∵ ，∴ ，
记 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等，
由椭圆的对称性，不妨设此时 ， ，
且直线 和 的夹角为 ，则 ，不难求得 ，
此时，易知 ，且 ，
∴四边形 的面积为 ．................17分
19.【详解】（1） ，则 ，
所以 ，可得 在 处的切线斜率为 ..................4分
（2）（i） ，令 ，
8
学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， 成立；.................10分
（ii）下面证明：当 时， 成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因此 在 上单调递增；所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， 成立，
令 且 ，可得 ，
即 ，
由题意 ，令 且 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
由（i）知当 时， ，所以令 且 ，可得 ，
所以 ，
由前面解答过程得，对任意 成立，
令 且 ，可得 ，
所以 ，
又 且 ，所以 ，
9
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以可得：
，
即可得 ..................17分
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