文档内容
大庆市 2024 届高三年级第三次教学质量检测
数 学
2024.04
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选
择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A.30 B.32 C.36 D.40
4.小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成
折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
A.100 B.105 C.110 D.120
5.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.6.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字 ，从中有放回地随机取两球，每次取一球，
记第一次取出的球的数字是 ，第二次取出的球的数字是 .若事件 “ 为偶数”，事件 “
中有偶数且 ”，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 有2个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过 的弦 满足
，则椭圆 的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知点 是双曲线 上一点，过 向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的浙近线方程为
B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C.
D. 的面积为
10.设正方体 的棱长为 为线段 上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面C.设 与 所成的角为 ，则 的最大值为
D.当棱锥 体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为
11.如图，函数 的图象与直线 相交， 是相邻的三个交点，红
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若 的最大值为 ，则
C.若 ，函数 在 上单调递减，则
D.若 是偶函数，则 的一个可能取值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在： 的展开式中，含 项的系数是__________.
13.在 中， ，若 边上的两条中线 相交于点 ，则
__________； __________.
14.已知二次函数 有两个不相等的零点 ，其中 .在函数 图象上横坐标为 的点处作
的切线，切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面的过程得到 ：一直继续下去，得
到 ，其中 .若 ，则 前6项的和是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知 ，函数 ，且 .
（1）求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
16.（本小题满分15分）
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行
笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1
分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分.
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分 服从正态分布 ，要求满足 为达标.
现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题是否答对互不影响，
求该应聘者的面试成绩 的分布列与数学期望.
附：若 ，则 ，
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， ，
，且 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知平面内一动圆过点 ，且在 轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；
（2）设点 是圆 上的动点，曲线 上有四个点 ，其中 是 的中点，
是 的中点，记 的中点为 .
①求直线 的斜率：
②求 面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离
之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当 的三个内角均小于 时，满足 的点 为费马点；
②当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知 的内角 所对的边分别为 ，点 为 的费马点，且
.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最大值；
（3）若 ，求实数 的最小值.大庆市高三年级第三次教学质量检测
数学答案及评分标准
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C D B D A
1.B 【解析】
因为 ，所以 .故选：B.
2.D 【解析】
因为复数 对应的点的坐标是 ，所以 ，所以 .故选：D.
3.A 【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，所以
.故选：A.
4.C 【解析】
因为 ，由图可知8次成绩由小到大排序，第7个位置的数是110，所以这8次成绩的第80百
分位数是110.故选：C.
5.D 【解析】
函数 的图象如下，由图可知 在 上单调递增.因为 ，所以 ，解得
.故选：D.
6.B 【解析】
由已知
则 .故选：B.
7.D 【解析】
已知函数 有2个零点，所以方程 有两个根，即函数 与
的图象有两个公共点.
（1）当 时， .若直线 与曲线 相切，设切点坐标为 ，则曲线在点 处的切线方程为 .又因为切线过点 ，
所以 ，解得 ，即 .
（2）当 时， .若直线 与曲线 相切，设切点坐标
为 ，则曲线在点 处的切线方程为 .又因为切线过点 ，所以
，解得 ，即 .
综上，结合函数 与函数 的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时
.故选：D.
8.A 【解析】
法一：由题可知 ，所以 ，解得 .
由 得 ，整理得 ，
所以 .故选：A.法二：由题可知 ，由已知得 ，解得 .
记 中点为 ，因为 ，所以 .
在 和 中，由 得 ，解得 ，
所以 .故选：A.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABD 【解析】
题号 9 10 11
答案 ABD BCD AD
因为双曲线的方程为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为
.故A正确.
双曲线的右焦点 到渐近线 的距离为 .故B正确.
由点到直线的距离公式可得 .故 错误.
如图，因为 ，所以 .在 和 中， ，，所以 ，所以
，故D正确.
故选：ABD.
10.BCD 【解析】
如图（1），当点 与 重合时， 与 所成的角是 .故 错误.
如图（2），易证平面 平面 ，所以 平面 .故B正确.
如图（3），因为 ，所以 与 所成的角为 .因为 平面 ，所以
，所以 ，当点 与 （或 重合时 最大，此时 最大，易
得 .故C正确.
如图（3），因为 ，所以当点 与 重合时三棱锥 体积最大，此时三棱锥的外
接球即为正方体的外接球.设外接球半径为 ，则 ，所以 ，所以该三棱锥外接
球的表面积为 .故D正确.
故选：BCD.
11.AD 【解析】
设 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 .因为 ，所以
，所以 ，所以 .故A正确.
当 时，
，
（其中 ）.因为 时 有最大值，所以 ，所以
.故B错误.
法一：当 时， 是单调递减函数，所以
的减区间为 .因为函数 在 上单调递减，
所以 ，得 .因为 ，所以 .故C
错误.
法二：因为 ，所以 .又因为 ，所以
.因为函数 在 上单调递减，所以 ，解
得 .故C错误.因为 ，所以 的一条对称轴方程是 ，所以 时，
是偶函数.故D正确.故选：AD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.（13小题第1问2分，第2问3分）
12.24； 13. ； 14.63.
12. 【解析】
在 的展开式中， .令 得 ，所以含 项
的系数是 .
13. 【解析】
法一：在 中，由余弦定理得 ，所以 .
因为 ，所以 ，建立平面直角坐标系，如图，则
，所以 ，
所以 .
法二： .
因为 ，所以
14. 【解析】
不妨设 ，则 ，所以 .
所以在 处的切线方程为： .
令 ，则 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，前6项和为 .故 的前6
项和是 .
三､解答题
15.（本小题满分13分）
解：（1） 的定义域为 ，
由已知得 ，
因为 ，所以 ，解得 .
令 ，解得 （舍）， .
当 时， ；当 时， .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 有极小值 .因为 在 上只有一个极值，所以 .
因为 恒成立，所以 ，即 ，得 .
所以 的取值范围是 .
16.（本小题满分15分）
解：（1）因为 服从正态分布 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
因此，进入面试的人数约为159.
（2）由题意可知， 的可能取值为
则 ；
；
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以 .17.（本小题满分15分）
解：（1）因为 ，
由余弦定理得 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）在平面 内，过点 作 ，交 于 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 .
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 .
由（1）可知 为二面角 的平面角，即 ，所以 ，由
，可得 .
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角为 ，则所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
18.（本小题满分17分）
解：（1）设动圆圆心 ，
当 时，由已知得 ，即 ；
当 时，点 的轨迹为点 ，满足 .
综上可知，点 的轨迹方程为 .
（2）设 .
由题意得， 的中点 在抛物线 上，即 .
又 ，将 代入得 ，
同理可得 ，
可知 为方程 的两根，所以 .
所以直线 的斜率为0.
（3）由 得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
又因为点 在圆上，则 ，且 .
设 的面积为 ，则 ，当 时， 有最大值48.
所以 面积的最大值为48.
19.（本小题满分17分）
解：（1）因为 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理得： .
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 的三个角都小于 ，
因为点 为 的费马点，所以 .
由 得：
，
整理得 .
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，
所以 的最大值为 .
（3）由（2）知 .设 ，
由 得 .
由余弦定理得：
因为 ，所以 ，
整理得 .
因为 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，整理得 ，解得 或者 （舍去）.
所以实数 的最小值为 .
