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2021 年广西桂林市中考数学真题（解析版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（ ）
A. 3 B. 1 C. ﹣2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较即可得出结论．
【详解】解：∵ ，-2 ，
∴小于0的数是-2．
故选择C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题关键．
2. 如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A. 70° B. 90° C. 110° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的性质即可求解．
【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，
∴∠2=∠1＝110°
故选：C．
【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知对顶角的性质．
3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
的
4. 某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们 成绩（单位：分）分别是8，6，8，7，
9，这组数据的中位数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义即可求解．
【详解】把数据排列为6,7,8,8,9
故中位数是8
故选C．
【点睛】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义．
5. 若分式 的值等于0，则x的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
【详解】由题意可得： 且 ，解得 ．
故选A．
【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
6. 细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025
米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）A. 25×10﹣5米 B. 25×10﹣6米 C. 2.5×10﹣5米 D. 2.5×10﹣6米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7. 将不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组的解集表示方法即可求解．
【详解】不等式组 的解集在数轴上表示出来为
故选B．
【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法．8. 若点A（1，3）在反比例函数y 的图象上，则k的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法把（1，3）代入反比例函数 得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把（1，3）代入反比例函数 得：
＝3，
解得：k＝3，
故选择C．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确掌握待定系数法求反比例函数解析式方法，把
图象上点的坐标代入是解题的关键．
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故选：B
【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角
是直角是解答此题的关键．
10. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数
是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【详解】A、 被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开
方．
11. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，∴ ，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜
边之比．
12. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，
设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. 16（1﹣x）2＝9 B. 9（1+x）2＝16 C. 16（1﹣2x）＝9 D. 9（1+2x）＝16
【答案】A
【解析】
【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算： =______．
【答案】-6
【解析】
【详解】试题分析：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘.
=-6．
考点：有理数的乘法
的
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数 乘法法则，即可完成.
14. 如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ___∠2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）【答案】=．
【解析】
【分析】由图形可知∠1 与∠2 是同位角，利用直线平行判定定理可以确定∠1 =∠2，可判断a//b．
【详解】解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，
∴当∠1 =∠2，a//b．
故答案为=．
【点睛】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键．
15. 如图，在 ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4，则BC是________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】∵D、E分别是AB和AC上的中点，
∴BC=2DE=8，
故答案为8．
16. 在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的5个球：2个白球和3个红球．从中任意取出1个球，取
出的球是红球的概率是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．【详解】2个白球和3个红球．从中任意取出1个球，取出的球是红球的概率是
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的运用．
17. 如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 ___．
【答案】y=x-1
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案．
【详解】解：直线y＝﹣x+1与关于x轴对称的直线的函数表达式为-y=-x+1，
即y=x-1．
故答案为：y=x-1
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线 y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是
x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b．
18. 如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方
形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】连接AA′，根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，再根据等腰三角形的性质，结合已知条件得出旋转角 ，然后利用三角形的性质和勾股定理得出答案；
【详解】解：连接AA′，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在
线段BC′
∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，
∴∠OA′A=∠OAA′= ，
∴∠BAA′= ，
∴∠ABA′=∠AA′B= ，
∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A，
∴ ，
∴ ，∠A′AB=30°，
∴△OAA′为等边三角形，
∴AA′=AB=2，
过点A′作A′E⊥AB于E，
∵∠A′AB=30°，
则A′E= ，AE= ，
∴BE= ，
∴A′B= ，
∵A′C′= ，
∴BC′= A′B+ A′C′= ；故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是得出旋转
角 得出△OAA′为等边三角形．
三、解答题（本大题共8题，共66分）
19. 计算：|﹣3|+（﹣2）2．
【答案】7
【解析】
【分析】根据有理数的绝对值以及乘方的意义化简各数后即可得到答案．
【详解】解：|﹣3|+（﹣2）2
=3+4
=7
【点睛】此题主要考查了有理数的运算，正确化简各数是解答此题的关键．
20. 解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【解析】
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法
要根据方程的特点灵活选用合适的方法21. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段AB；
1 1
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段AB．
2 2
【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）分别确定 向右平移4个单位后的对应点 ，再连接 即可；
（2）分别确定 绕原点O旋转180°后的对应点 ，再连接 即可.
【详解】解：（1）如图，线段 即为所求作的线段，
（2）如图，线段 即为所求作的线段，
【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵点O是对角线BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中， ，
∴△DOF≌△BOE．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
23. 某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投
篮试投比赛，试投每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示．
（1）甲同学5次试投进球个数的众数是多少？（2）求乙同学5次试投进球个数的平均数；
（3）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
（4）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个
球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加
学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．
是
【答案】（1）众数 8个，（2） 个；（3）甲投篮成绩更加稳定；（4）推荐乙参加投篮比赛，理
由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据众数定义求即可；
（2）根据平均数公式求即可；
（3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，可得甲投篮成绩更加稳定；
（4）由乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，推荐乙参加投篮比赛即可．
【详解】解：（1）∵甲同学5次试投进球个数分别为8,7,8,9,8，
∴甲同学5次试投进球个数的众数是8个，
（2）乙同学5次试投进球个数分别为8,10,6,7,10，
∴ 个；
（3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，
∴甲投篮成绩更加稳定；
（4）∵乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，而甲没有进10球的可能，为了能获得冠军，推荐乙
参加投篮比赛．
【点睛】本题考查众数，平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策，掌握众数，平均数，图形的
波动大小，以及利用众数进行决策是解题关键．
24. 为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已
知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改
造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是 300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米
的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作a天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）
米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用= （元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用= （元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用= （元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利
用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
25. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以
点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；（3）若BC＝6，AB＝3 ，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）半径为2，面积为
【解析】
【分析】（1）根据垂直的性质及相似三角形的判定定理即可求解；
（2）延长DE、AB交于N点，先证明△DCE≌△NBE，再得到△AND是等腰三角形，得到
∠DAE=∠NAE，再通过角平分线的性质即可得到OG=OM=r，故可证明；
（3）求出∠FOG=60°，再根据梯形与扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E．
∴∠EAB+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠DEC
由∠B＝∠C＝90°
∴△ECD∽△ABE；
（2）过点O作OM⊥AD，延长DE、AB交于N点
∴CD BN
∴∠CDE=∠N
∵点E为BC中点
∴CE=BE，
又∠EBN＝∠C＝90°
∴△DCE≌△NBE
∴DE=NE
∵AE⊥DN
∴AD=AN，∠ADE=∠ANE
∵∠DAE=90°-∠ADE，∠NAE=90°-∠ANE
∴∠DAE=∠NAE
∵AG是⊙O的切线
∴OG⊥AB
∵∠AMO=∠AGO=90°
∴OG=OM=r
∴OM是⊙O的切线；（3）∵BC＝6，
∴BE=3
∵AB＝3 ，
∴AE= =2BE
∴∠EAB=30°
∴AO=2OG，即AO=2r，
∵AE=AO+OE=3r=6
∴r=2
连接OF
∵∠OEF=60°，OE=OF
∴△OEF是等边三角形
∴∠EOF=60°，EF=OF=2,BF=3-2=1
∴∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60°
在Rt AOG中，AG=
∴BG=AB-AG=
∴S =S -S = = ．
阴 梯形OFBG 扇形FOG
【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理、全等三角形与相似三
角形的判定与性质及扇形面积公式．
26. 如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点
C．（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当 时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横
坐标；若不存在，请说明理由．
【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入函数解析式求解 再把 代入 求解 令
列方程，再解方程即可得到 的坐标；
（2）设 再利用勾股定理表示 再利用 从而列
方程解方程可得答案；
（3）分两种情况讨论，当 时，求解 的解析式，再求解 的坐标即可，当 过 的中
点 时满足条件，再求解 的解析式即可得到答案.
【详解】解：（1）把 代入函数解析式得：把 代入
令
结合题意可得：
（2）如图，设 而
则（3）存在，理由如下：
如图，连接 过 作 交抛物线于
则 到直线 的距离相等，
设直线 为
得：
直线 为
由 设 为 ，而
则直线 为解得： 或
如图，当 过 的中点 时，则
到 的距离相等，
则
同理可得： 的解析式为：解得： 或
综上： 或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，
两平行线之间的距离，三角形的中线的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
