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2024 年宝鸡市高考模拟检测（二）
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选
考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．
本试卷满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书
写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的．
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人
深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二
是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图 1是“奋斗者”号模型图，
其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（ ） ．
A． B． C． D．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司4．已知各项均为正数的等比数列 ，满足 ，若存在不同两项 使得
，则 的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
5．已知函数 ，则（ ）
A． 存在最小值
B． 在 上是增函数，在 上是减函数
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
6．函数 的最小正周期为 ，其图象向左平移 个单位长度后关于原点
对称，则函数 在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三
类药物能治愈感冒的概率分别为 ，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的
概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题：
① ；② ；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司③ ；④ ．
其中真命题的序号有：（ ）
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
9．已知直线 与双曲线 交于 两点，点 是弦 的中点，
则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
10．在 中， 分别是角 的对边，若 ，则 的值为（
）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
11．记 为等差数列 的前 项和，若 ，且 ，则数列 中最大的负数为（
）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 至多有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知向量 ，且 ，则向量 与 的夹角为______．
14．已知样本 ，的平均数为10，则该样本方差的最小值为______．
15．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 ______．
16．已知定义在 上的奇函数 ，满足 为数列 的前 项和，且
，则 ______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月
上、下班时 两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中 两种交
通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐 和仅乘坐 的员工月交通费用分布情况如下：
交 通 费 用 大于600
（元）
交通工具
仅乘坐 18人 9人 3人
仅乘坐 10人 14人 1人
（1）从全公司员工中随机抽取1人，估计该员工上个月 两种交通工具都乘坐的概率；
（2）从样本中仅乘坐 和仅乘坐 的员工中各随机抽取1人，以 表示这2人中上个月交通费用大于400
元的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化．现从样本中仅乘坐 的员工中随机抽查3
人，发现他们本月交通费用都大于600元．根据抽查结果，能否认为样本中仅乘坐 的员工中本月交通费用
大于600元的人数有变化？请说明理由．
18．（本小题满分12分）
中， 为 边的中点，
（1）若 的面积为 ，且 ，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面
（1）证明： ；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司（2）若 ，当 与平面 所成角的正弦值最大时，求四棱锥 的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 经过点 ，下顶点 为抛物线 的焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 均在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，
ⅰ）．求证：直线 过定点；
ⅱ）．当 时，求直线 的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若 和 的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求 值；
（2）求证：当 时， 的图象恒在 的图象的上方；
（3）令 ，若 有2个零点 ，试证明
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一
题计分．作答时请先涂题号．
22．（选项4-4坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 与曲线 的交点的直角坐标；
（2）将曲线 绕极点按逆时针方向旋转 得到曲线 ，求曲线 的直角坐标方程．
23．（选项4-5不等式选讲）（本小题满分10分）
已知函数 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司（1）求 的最小值；
（2）若 时， 恒成立，求 的最小值．
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