文档内容
2021 年青海省中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的）
1．（3分）若a＝﹣2 ，则实数a在数轴上对应的点的位置是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y（ ）
A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y
3．（3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a +（2a+3b﹣13）2＝0，则此
等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝90°，BC＝5，对角线 BD平分∠ABC
（ ）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
6．（3分）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线
交于A，B两点，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为
16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
7．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上（羊只能在草地上活动）
那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A． πm2 B． πm2 C． πm2 D． πm2
8．（3分）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后
头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，于
是奋力直追，最后同时到达终点．用S 、S 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑
1 2
时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
9．（2分）已知 m是一元二次方程 x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式 m2+m的值等
于 ．10．（2分）5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，
我国人口 10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示
为 ．
11．（2分）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝ ．
12．（2分）已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 ．
13．（2分）已知点A（﹣1，y ）和点B（﹣4，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y
1 2 1
与y 的大小关系是 ．
2
14．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥DB，∠1＝50°，则∠2的度数是 ．
15．（2分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每
个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．
16．（2分）点 P是非圆上一点，若点 P到⊙O上的点的最小距离是 4cm，最大距离是
9cm ．
17．（2分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，若△DEF的周长为
10 ．
18．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线 BD＝8cm，垂足为 E，且 AE＝3cm，则 AD与
BC之间的距离为 ．19．（2分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，点 M在 DC上且 DM＝2，则 DN+MN的最
小值是 ．
20．（2分）观察下列各等式：
① ；
② ；
③ ；
…
根据以上规律，请写出第5个等式： ．
三、解答题（本大题共 7小题，共 72分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步
骤）
21．（7分）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a＝
22．（10分）如图，DB是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用 2B铅笔）：作线段 BD的垂直平分线 EF，交 AB，DC分别于
E，O，F，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过D作MN⊥AC于点M，交AB
的延长线于点N
（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．
24．（10分）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小
相同（即AB＝CD） A 绕门轴AA 向里面旋转35°，将右边的门CDD C 绕门轴DD
1 1 1 1 1 1
向外面旋转 45°，其示意图如图 2，求此时 B与 C之间的距离（结果保留一位小
数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， ≈1.4）
25．（12分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭
用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单
位：吨），每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整
的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7
频数（户数） 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b c 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数
是 ．（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有
多少户？
（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行
“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率
26．（10分）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角
尺，30°，15°等大小的角
操作感知：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF（如图1 ）．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到线段BN
（如图2）．
猜想论证：
（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状
拓展探究：
（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出
符合（1）
27．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，点A在x轴上，
点B在y轴上（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝
时2021 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的）
1．（3分）若a＝﹣2 ，则实数a在数轴上对应的点的位置是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；数感．
【分析】先把化成假分数，根据a的值即可判断a在数轴上的位置．
【解答】解：∵a＝﹣2 ＝﹣2+（﹣ ），
∴只有A选项符合，
故选：A．
【点评】本题主要考查数轴的概念，牢记数轴的三要素是最基本的，数轴上的点与实数
一一对应．
2．（3分）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y（ ）
A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y
【考点】列代数式．
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【专题】数字问题；符号意识．
【分析】它的十位数字是x，它表示是x个10，个位数是y，表示y个1，这个两位数
是10x+y．
【解答】解：一个两位数，它的十位数字是x，这个两位数10x+y．
故选：D．
【点评】此题是考查列代数式，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量．一个多位数，就是个位上的数字乘1，十位上的数字乘10，百位上的数字乘
100…再相加的和．
3．（3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a +（2a+3b﹣13）2＝0，则此
等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三
角形三边关系；等腰三角形的性质．
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【专题】三角形；推理能力．
【分析】首先根据 +（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得
a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵ +（2a+3b﹣13）2＝0，
∴ ，
解得： ，
当b为底时，三角形的三边长为2，7，3；
当a为底时，三角形的三边长为2，7，3，
∴等腰三角形的周长为7或5．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，
关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．【分析】从左面看该几何体，能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表
示，画出相应的图形即可．
【解答】解：该几何体的左视图如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的左视图，掌握能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮
廓线用虚线表示是正确画图的关键．
5．（3分）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝90°，BC＝5，对角线 BD平分∠ABC
（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质．
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【专题】三角形；推理能力．
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后
根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝ ×5×3＝7.5．
故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（3分）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线
交于A，B两点，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为
16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【考点】垂径定理的应用．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理
求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝ AB＝4（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝ ＝ ＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+8＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
7．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上（羊只能在草地上活动）
那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A． πm2 B． πm2 C． πm2 D． πm2
【考点】扇形面积的计算．
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【专题】常规题型．
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角
为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝ ＝ π（m4）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝ ＝ （m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝ π+ ＝ 2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由
哪几个图形组成的，然后分别计算即可．8．（3分）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后
头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，于
是奋力直追，最后同时到达终点．用S 、S 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑
1 2
时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组
成；最后同时到达终点，即到达终点的时间相同．
【解答】解：A．此函数图象中，S 先达到最大值，即兔子先到终点；
2
B．此函数图象中，S 第4段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，于
2
是奋力直追”不符；
C．此函数图象中，符合题意；
D．此函数图象中，S 先达到最大值，即乌龟先到终点．
1
故选：C．
【点评】本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关
键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
9．（2分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于
6 ．
【考点】代数式求值；一元二次方程的解．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】将x＝m代入原方程即可求m2+m的值．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝3，得m2+m﹣6＝4，
即m2+m＝6，
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把 m2+m当成一个整体，利用了整体的思
想．
10．（2分）5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，
我国人口10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示为
1.41178×109 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；数感．
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n
是正整数，这种记数法叫做科学记数法，n的值等于原来数的整数位数减1，1亿＝1×
108．
【解答】解：14.1178亿
＝14.1178×108
＝1.41178×104，
故答案为：1.41178×109．
【点评】本题考查了科学记数法，牢记1亿＝1×108是解题的关键．
11．（2分）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝ 3 ．
【考点】同类项；二元一次方程组的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据同类项的定义，列出关于m，n的方程组，解出m，n，再求和即可．
【解答】解：根据同类项的定义得： ，
∴ ，
∴m+n＝2+8＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相
同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．12．（2分）已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 m＞3 ．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
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【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【分析】根据第四象限点的特点，2m﹣5＞0，6﹣2m＜0，可得答案．
【解答】解：∵A（2m﹣5，5﹣2m）在第四象限，
∴ ，
解得m＞3，
故答案为：m＞8．
【点评】本题主要考查坐标系内点的坐标符号特点及解一元一次不等式的基本能力，严
格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数
不等号方向要改变．
13．（2分）已知点A（﹣1，y ）和点B（﹣4，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y
1 2 1
与y 的大小关系是 y ＜y ．
2 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y 与y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝6＞6，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y ）和点B（﹣2，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2
∴y ＜y ，
4 2
故答案为y ＜y ．
1 8
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数
的性质，利用反比例函数的性质解答．
14．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥DB，∠1＝50°，则∠2的度数是 40° ．【考点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】由EF⊥BD，∠1＝50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，
再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【解答】解：在△DEF中，∠1＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠D＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题的关键是求出∠D
＝40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是关键．
15．（2分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每
个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 4 cm2．
【考点】旋转对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由于∠AOB为 120°，由三个叶片组成，绕点 O旋转 120°后可以和自身重
合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一．
【解答】解：∵三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，
而∠AOB为120°，
∴图中阴影部分的面积之和＝ （4+4+4）＝7（cm2）．
故答案为4．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
16．（2分）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm
6.5cm或2.5cm ．
【考点】点与圆的位置关系．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最
小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝4cm，
∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝6cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9cm﹣3cm＝5cm，
∴半径r＝2.2cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的
关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，若△DEF的周长为
10 20 ．【考点】三角形中位线定理．
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【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】先根据三角形中位线的性质得：AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，根据周长
得：EF+DE+DF＝10，所以2EF+2DE+2DF＝20，即AB+BC+AC＝20．
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，CA边的中点，
∴EF、DE，
∴EF＝ AB BC AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，
∵△DEF的周长为10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴3EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质：三角形的
中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解决问题的关键．
18．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线 BD＝8cm，垂足为 E，且 AE＝3cm，则 AD与
BC之间的距离为 6cm ．
【考点】平行四边形的性质．
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【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再S
四边形ABCD
＝BC•h，可求得h的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
在△ABD和△BCD中
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AE⊥BD，AE＝3cm，
∴S
△ABD
＝ BD•AE＝ 8），
∴S
四边形ABCD
＝2S
△ABD
＝24cm2，
设AD与BC之间的距离为h，
∵BC＝6cm，
∴S
四边形ABCD
＝BC•h＝4h，
∴4h＝24，
解得h＝5cm，
故答案为：6cm．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，由条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的
面积的2倍是解题的关键，再借助等积法求解使解题事半功倍．
19．（2分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，点 M在 DC上且 DM＝2，则 DN+MN的最
小值是 10 ．
【考点】勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
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【专题】动点型．
【分析】要求 DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化
DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣6＝6，
∴BM＝ ＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
20．（2分）观察下列各等式：
① ；
② ；
③ ；
…
根据以上规律，请写出第5个等式： 6 ＝ ．
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【分析】观察第一个等式，等号左边根号外面是2，被开方数的分子也是2，分母是22
﹣1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；观察第二个等式，等号左边根号外面是3，被开方数的分子也是3，分母是32﹣1，等号右边是这个整数与这个分数
的和的算术平方根；根据规律写出第5个等式即可．
【解答】解：第5个等式，等号左边根号外面是6，分母是52﹣1，等号右边是这个整
数与这个分数的和的算术平方根，
故答案为：2 ＝ ．
【点评】本题考查了探索规律，逐步找到规律是解题的关键，注意第5个等式等号左边
根号外面应该是6．
三、解答题（本大题共 7小题，共 72分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步
骤）
21．（7分）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a＝
【考点】分式的化简求值．
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【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分子利用完全平
方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，
约分得到最简结果，代入a的值，即可求出结果．
【解答】解：原式＝
＝ ＝ ，
∵a＝ +4，
∴ ＝ ＝1+ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最
简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
22．（10分）如图，DB是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用 2B铅笔）：作线段 BD的垂直平分线 EF，交 AB，DC分别于
E，O，F，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，再证明△ODF
≌△OBE得到DF＝BE，所以DE＝EB＝BF＝DF，于是可判断四边形DEBF为菱形．
【解答】解：（1）如图，DE；
（2）四边形DEBF为菱形．
理由如下：如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDB＝∠EBD，
在△ODF和△OBE中，
，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴DF＝BE，
∴DE＝EB＝BF＝DF，
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知
直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过D作MN⊥AC于点M，交AB
的延长线于点N
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．
【考点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质．
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【专题】证明题．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBG＝∠ADM，根据两角相等
的两个三角形相似证明；
（2）证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥MN，
根据切线的判定定理证明．
【解答】证明：（1）∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDM＝90°，
∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
（2）连接OD．
∴BO＝OA，BD＝DC，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵MN⊥AC，∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三
角形的判定定理是解题的关键．
24．（10分）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小
相同（即AB＝CD） A 绕门轴AA 向里面旋转35°，将右边的门CDD C 绕门轴DD
1 1 1 1 1 1
向外面旋转 45°，其示意图如图 2，求此时 B与 C之间的距离（结果保留一位小
数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， ≈1.4）
【考点】生活中的旋转现象；解直角三角形的应用．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则
EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF
的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，使得BE＝CM，∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，
∴BE＝AB•sinA＝5×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB•cosA＝6×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，
∴CF＝CD•sinD＝4×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD•cosD＝4×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝CM，
∴四边形BEMC是平行四边形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝5.3，
∴EM＝ ＝ ≈1.4，
答：B与C之间的距离约为1.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构
造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
25．（12分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭
用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单
位：吨），每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整
的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7频数（户数） 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b c 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 20 ，b＝ 0.18 ，c＝ 0.20 ．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 4.92 ，众数是 4 ，中位数是
5 ．
（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有
多少户？
（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行
“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数；列表法与
树状图法．
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【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）由平均数、众数、中位数的定义求解即可；
（3）由总户数乘以月平均用水量不超过5吨的户数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽查的户数为：4÷0.08＝50（户），
∴a＝50×7.40＝20，b＝9÷50＝0.18，
故答案为：20，8.18；
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数＝ ＝
3.92（吨），
众数是4吨，中位数为 ，
故答案为：4.92，4，5；
（3）∵4+20+8＝33（户），
∴估计该市直属机关 200户家庭中月平均用水量不超过 5吨的约有：200× ＝132
（户）；（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为 ＝ ，乙），丙），丁），甲），丙），丁），甲），
乙），丁），甲），乙），丙）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识
点，能正确画出树状图是解此题的关键．
26．（10分）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角
尺，30°，15°等大小的角
操作感知：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF（如图1 ）．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到线段BN
（如图2）．
猜想论证：
（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状
拓展探究：
（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出
符合（1）
【考点】剪纸问题；翻折变换（折叠问题）．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理
能力．
【分析】（1）由折叠的性质可得 AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，可求∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠
PBN，可得∠BMN＝∠BPM＝60°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求BP＝BM＝ a，由题意可得BC≥BP，即可求解．
【解答】解：（1）△BMP是等边三角形，
理由如下：如图3，连接AN，
由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，∠ABM＝∠NBM，
∴AN＝BN，
∴AN＝BN＝AB，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，
∴∠BMN＝∠BPM＝60°，
∴△BMP是等边三角形；
（2）∵AB＝a，∠ABM＝30°，
∴BM＝ ＝ a，
∵△BMP是等边三角形，
∴BP＝BM＝ a，
∵在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP，
∴BC≥BP，
∴b≥ a．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出
∠ABM＝∠FBM＝30°＝∠PBF是解题的关键．
27．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，点A在x轴上，
点B在y轴上（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝
时
【考点】二次函数综合题．
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【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析
式；
（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计
算出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+3＝2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣5，0），2），
把A（﹣8，0），0），3）代入抛物线解析式，
得 ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x5﹣x+2；
（2）方法一：ax2+（b﹣5 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣6x+2＞2，当函数y＝﹣x3﹣2x+2＝2时，
解得x＝0或x＝﹣2，
由图象知，当﹣3＜x＜0时函数值大于2，
∴不等式ax8+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
方法二：ax2+（b﹣6 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣x+6＞x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜6时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+4的函数值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞8的解集为：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，
①如图8，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝ ，
∴PD＝ ＝6，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝﹣x3﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x6﹣2x，
即﹣x2﹣6x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣4，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝6，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝（x+6）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x6+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝± ﹣6，
由图象知此时P点在第三象限，∴x＝﹣ ﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣ ﹣1，﹣ ），
③如图5，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝ ，
∴PD＝ ＝8，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝（x+7）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x3+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝± ﹣4，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x＝ ﹣1，
∴此时P点的坐标为（ ﹣1， ），
综上，P点的坐标为（﹣7 ﹣1，﹣ ﹣1， ）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质
等知识点，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性
质等是解题的关键．
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日期：2021/9/2 10:01:43；用户：星光；邮箱：orFmNt9Sl5o9zVVGxqq8R8Yve1Uc@weixin.jyeoo.com；学号：24989655
