文档内容
2014 年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）
1．（4分） 的倒数是 ； = ．
2．（4分）分解因式：a3b﹣9ab= ；不等式组 的解集是 ．
3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表
明，我省湿地总面积的最新数据为 8140000公顷，居世界第一，该数据用科
学记数法表示为 公顷．
4．（2分）方程 的解是 ．
5．（2 分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用 2米的竹竿做测量工具，移
动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与
这一点相距8米，与水塔相距 32米，则水塔的高度为 米．
6．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，
且AB=4，BD=5，那么点 D 到BC的距离是 ．
7．（2分）若点 M（3，a）关于 y轴的对称点是点 N（b，2），则（a+b）
2014= ．
8．（2分）如图，PA、PB 切⊙O 于点 A、B，点 C是⊙O 上一点，且
∠ACB=65°，则∠P= 度．9．（2 分）从 1，2，3，…，10这 10个自然数中任取一个数，则它是 4的倍数
的概率是 ．
10．（2 分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD 交 BC于点 O，请写出图
中一组相等的线段 ．
11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，
﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点 ．
12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第
8个式子是 ，第 n个式子是 ．（n为正整数）
二、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．
C．（a2）3=a5 D．（a3）2=a6
14．（3分）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°后得到△COD，若
∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是（ ）A．15° B．60° C．45° D．75°
15．（3 分）如图，点 P 、P 、P 分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点
1 2 3
分别作 y轴的垂线，垂足分别是 A 、A 、A ，得到的三个三角形△P A O、
1 1 3 1 1
△P A O、△P A O．设它们的面积分别为 S 、S 、S ，则它们的大小关系是
2 2 3 3 1 2 3
（ ）
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S =S =S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1
16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
18．（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何
体的侧面积是（ ）A．12π B．15π C．24π D．30π
19．（3 分）某商场四月份的利润是 28万元，预计六月份的利润将达到 40万
元．设利润每月平均增长率为 x，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）2=40 B．28（1+x）2=40﹣28
C．28（1+2x）=40 D．28（1+x2）=40
20．（3分）如图所示的计算程序中，y与 x之间的函数关系所对应的图象
（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题21．（6分）计算： +（π﹣3.14）0﹣tan60°+|1﹣ |．
22．（6分）先化简，再求值： ，其中 x=2+
，y=2﹣ ．
23．（8 分）如图，▱ABCD 中，点 E在边 AB 上，点 F 在 AB 的延长线上，且
AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．
四、（本大题共 3小题，第 24题 9分，第 25题 9 分，第 26题 8分，共 26分）
24．（9 分）如图，BE是⊙O 的直径，点 A 在 EB的延长线上，弦 PD⊥BE，垂
足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线．
（2）若⊙O 的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．25．（9 分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一
生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技
类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？
（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并
将调查问卷适当整理后绘制成如图 1所示的条形统计图和如图 2所示的扇形
统计图．
（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）若该校共有 1600名学生，请你估计这 1600人中喜欢动漫类书籍的约有多
少人？
（3）小东从图书馆借回 2本动漫书和 3本科技书放进一个空书包里准备回家阅
读，那么他从书包里任取 2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用
“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）26．（8 分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段
全长 1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知
甲组比乙组每天多掘进 0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比
原来多掘进 0.3米，乙组平均每天比原来多掘进 0.2米．按此施工进度，能
够比原来少用多少天完成任务？五、解答题（共 2小题，满分 20分）
27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图 1，将角尺放在正方形 ABCD 上，使角尺的直角顶点 E与正方形
ABCD 的顶点 D 重合，角尺的一边交 CB于点 F，将另一边交 BA 的延长线
于点G．求证：EF=EG．
（2）如图 2，移动角尺，使角尺的顶点 E始终在正方形 ABCD 的对角线 BD
上，其余条件不变，请你思考后直接回答 EF和 EG 的数量关系：EF
EG（用“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图
3，将（2）中的“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，使角尺的一边经过点 A
（即点G、A 重合），其余条件不变，若 AB=4，BC=3，求 的值．28．（10分）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点为 M（﹣2，﹣4），与 x轴交
于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC 的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P，使△APC 的面积最大？若
能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．2014 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）
1．（4分） 的倒数是 ﹣4 ； = 3 ．
【考点】17：倒数；24：立方根．
【专题】11：计算题．
【分析】利用倒数及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵﹣ ×（﹣4）=1，
∴﹣ 的倒数为﹣4；
∵33=27，
∴ =3．
故答案为：﹣4，3
【点评】本题考查了如何求一个数的倒数和立方根，解题的关键是准确掌握倒
数和立方根的概念．
2．（4分）分解因式：a3b﹣9ab= ab（a+3）（a﹣3） ；不等式组 的解
集是 ﹣2＜x＜3 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题．
【分析】原式提取 ab，再利用平方差公式分解即可；分别求出不等式组中两不
等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：a3b﹣9ab=ab（a2﹣9）=ab（a+3）（a﹣3）；
，
不等式①的解集为x＞﹣2，
不等式②的解集为x＜3，∴不等组的解集为﹣2＜x＜3．
故答案为ab（a+3）（a﹣3），﹣2＜x＜3
【点评】本题考查了分解因式和解一元一次不等式，对于因式分解解题的关键
是理解因式分解的分析步骤，对于不等式组解题关键是正确解出每个不等式
的解集．
3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表
明，我省湿地总面积的最新数据为 8140000公顷，居世界第一，该数据用科
学记数法表示为 8.14×106 公顷．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整
数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵8140000的整数位数为7，
∴8140000=8.14×106．
故答案为8.14×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的
值．
4．（2分）方程 的解是 x=5 ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去掉分母转化为整式
方程，求出解即可．
【解答】解：在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去分母得，
2x﹣2=x+3，
解得x=5，
经检验x=5 是分式方程的解．
故答案为：x=5．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．（2 分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用 2米的竹竿做测量工具，移
动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与
这一点相距8米，与水塔相距 32米，则水塔的高度为 10 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】由已知可得 BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可
求得水塔的高度．
【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，即 ，
∴DE=10，即水塔的高度是 10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比
例式求解线段长．
6．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，
且AB=4，BD=5，那么点 D 到BC的距离是 3 ．【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理．
【分析】首先过点 D 作 DE⊥BC于 E，由在 Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分
∠ABC，根据角平分线的性质，即可得 DE=AD，又由勾股定理求得 AD 的
长，继而求得答案．
【解答】解：过点D 作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= =3，
∴DE=AD=3，
∴点D 到BC 的距离是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用．此题难度不大，注意
数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
7．（2分）若点 M（3，a）关于 y轴的对称点是点 N（b，2），则（a+b）2014=
1 ．
【考点】P5：关于 x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据轴对称的性质，点 M 和点 N 的纵坐标相等，横坐标互为相反
数，可以求得a、b的值，从而可得 a+b的值．
【解答】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=﹣3，a=2，
∴a+b=﹣1，
∴（a+b）2014=（﹣1）2014=1．故答案为：1．
【点评】本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得 a、b的
值．
8．（2分）如图，PA、PB 切⊙O 于点 A、B，点 C是⊙O 上一点，且
∠ACB=65°，则∠P= 50 度．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．
【解答】解：连接OA，OB．
PA、PB 切⊙O 于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．
【点评】本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为 360度求
解．
9．（2 分）从 1，2，3，…，10这 10个自然数中任取一个数，则它是 4的倍数
的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，
②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题先找出 4的
倍数只有4和8这两个数，然后用 2除以10即可．
【解答】解：∵1，2，3，…，10这10个自然数中只有4和8是4的倍数，
因此从 1，2，3，…，10这 10个自然数中任取一个数，则它是 4的倍数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m种结果，那么事件 A 的概
率P（A）= ，难度适中．
10．（2 分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD 交 BC于点 O，请写出图
中一组相等的线段 AD=BC ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】26：开放型．
【分析】易证△CAB≌△DBA，根据全等三角形对应边相等的性质可得
BC=AD，即可解题．
【解答】解：在△CAB 和△DBA 中，
，
∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴BC=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性
质，本题中求证△CAB≌△DBA 是解题的关键．
11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，
﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点 （﹣4，1） ．
【考点】D3：坐标确定位置．
【分析】根据“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），可知原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为 1个单
位的直线上，两者的交点就是原点O．
【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），
∴原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离
为1个单位的直线上，两者的交点就是原点 O，
∴“兵”位于点（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点
的位置．
12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第
8个式子是 ，第 n个式子是 ．（n为正整数）
【考点】42：单项式．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据分子的底数都是 x，而指数是从 1开始的奇数；分母是底数从 1
开始的自然数的平方．
【解答】解： ，…，其因此第 8个式子是
，第n个式子是 ．
故答案为 ， ．
【点评】本题考查了单项式，解题的关键是根据分子和分母分别寻找规律：分
子的底数都是 x，而指数是从 1开始的奇数；分母是底数从 1开始的自然数
的平方．二、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．
C．（a2）3=a5 D．（a3）2=a6
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法．
【分析】结合选项分别进行合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选
择正确选项．
【解答】解：A、不符合同底数幂乘法公式，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂乘法，解题的关键是掌
握各知识点的运算法则．
14．（3分）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°后得到△COD，若
∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是（ ）
A．15° B．60° C．45° D．75°
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB 求解．
【解答】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠BOD=60°，
∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点
的连线所夹的角相等，都等于旋转角．
15．（3 分）如图，点 P 、P 、P 分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点
1 2 3
分别作 y轴的垂线，垂足分别是 A 、A 、A ，得到的三个三角形△P A O、
1 1 3 1 1
△P A O、△P A O．设它们的面积分别为 S 、S 、S ，则它们的大小关系是
2 2 3 3 1 2 3
（ ）
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S =S =S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】11：计算题．
【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【解答】解：∵点P 在双曲线上，
1
∴P A •OA =|k|，
1 1 1
∴S = P A •OA = |k|，
1 1 1 1
同理S = |k|、S = |k|，
2 3
∴S =S =S ，
1 2 3
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k的几何意义：在反比例函数 y= 图
象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形
的面积是定值|k|．
16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心
对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转 180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对
称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转 180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴
对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转 180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称
图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转 180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对
称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形
状是解决问题的关键．
17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【考点】JB：平行线的判定与性质．【专题】11：计算题．
【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到 a与 b平行，再由两直线
平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=30°，
∴∠4=180°﹣∠5，=150°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解
本题的关键．
18．（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何
体的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．
【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是 6，母
线长是5，
∴底面的周长是2π•3=6π，
∴侧面积为： =15π，
故选：B．【点评】本题考查了三视图和几何体侧面积的计算等知识点，解题的关键是根
据三视图想象出该几何体的形状．
19．（3 分）某商场四月份的利润是 28万元，预计六月份的利润将达到 40万
元．设利润每月平均增长率为 x，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）2=40 B．28（1+x）2=40﹣28
C．28（1+2x）=40 D．28（1+x2）=40
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】123：增长率问题．
【分析】根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×（1+x）”列方程即
可．
【解答】解：五月份的利润为28（1+x），
六月份的利润为28（1+x）（1+x）=28（1+x）2，
故选：A．
【点评】本题考查了列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平
均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关系．
20．（3分）如图所示的计算程序中，y与 x之间的函数关系所对应的图象
（ ）
A． B．C． D．
【考点】F3：一次函数的图象．
【分析】先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判
断其图象是哪一个．
【解答】解：根据程序框图可得y=（﹣x）×3+2=﹣3x+2，化简，得y=﹣3x+2，
y=﹣3x+2的图象与 y轴的交点为（0，2），与x轴的交点为（ ，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用程序框图列出函数关系式、以及函数
的图象等知识点，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．
三、解答题
21．（6分）计算： +（π﹣3.14）0﹣tan60°+|1﹣ |．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的
三角函数值．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，
第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化
简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式= +1﹣ + ﹣1= ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）先化简，再求值： ，其中 x=2+
，y=2﹣ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将 x和 y的值代入化简后的式
子求值即可．【解答】解：
=
=
= ，
当x=2+ ，y=2﹣ 时，
原式= =﹣1．
【点评】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后
代值计算．
23．（8 分）如图，▱ABCD 中，点 E在边 AB 上，点 F 在 AB 的延长线上，且
AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出 AD=BC 且 AD∥BC，推出∠DAE=∠CBF，
根据全等三角形的判定推出△ADE≌△BCF 即可．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC 且AD∥BC，
∴∠DAE=∠CBF，
在△ADE 和△BCF 中
∴△ADE≌△BCF（SAS）
∴∠ADE=∠BCF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的
性质的应用，解题的关键是能将求证角相等的问题转化为寻找其所在的三角
形全等，注意：平行四边形的对边互相平行且相等．
四、（本大题共 3小题，第 24题 9分，第 25题 9 分，第 26题 8分，共 26分）
24．（9 分）如图，BE是⊙O 的直径，点 A 在 EB的延长线上，弦 PD⊥BE，垂
足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线．
（2）若⊙O 的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．
【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）连接 OP，如图，利用等腰三角形的性质由 OD=OP 得到
∠OPD=∠ODP， 而 ∠APC=∠AOD， 则 ∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD， 由 于
∠ODP+∠AOD=90°，易得∠APO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AP
是⊙O 的切线；
（2）在 Rt△APO 中，利用勾股定理计算出，AO=8，即 PO= ，则
∠A=30°，可计算出∠POA=60°，∠OPC=30°，再利用垂径定理 PC=CD，且
∠POD=120°， OC= PO=2， 接 着 在 Rt△OPC 中 计 算 出 PC=2 ， 得 到
PD=2PC= ，然后根据扇形面积公式和 S =S ﹣S 进行计算
阴影 扇形OPBD △OPD
即可．
【解答】（1）证明：连接OP，如图，
∵OD=OP，
∴∠OPD=∠ODP，
∵∠APC=∠AOD，
∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，又∵PD⊥BE，
∴∠ODP+∠AOD=90°，
∴∠OPD+∠APC=90°，
即∠APO=90°，
∴OP⊥AP，
∴AP 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△APO 中，
∵AP= ，PO=4，
∴AO= ，即PO= ，
∴∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠OPC=30°
又∵PD⊥BE，
∴PC=CD，
∴∠POD=120°，OC= PO=2，
在Rt△OPC 中，∵OC=2，OP=4，
∴PC= =2 ，
∴PD=2PC= ，
∴S =S ﹣S
阴影 扇形OPBD △OPD
=
= ．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和
圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半
径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．
25．（9 分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一
生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技
类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？
（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并
将调查问卷适当整理后绘制成如图 1所示的条形统计图和如图 2所示的扇形
统计图．
（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）若该校共有 1600名学生，请你估计这 1600人中喜欢动漫类书籍的约有多
少人？
（3）小东从图书馆借回 2本动漫书和 3本科技书放进一个空书包里准备回家阅
读，那么他从书包里任取 2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用
“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）由条形统计图可知选择艺术类的有两人，而由扇形统计图可知选
择艺术类的占总人数的 4%，因此用（2÷4%）可求得抽样的人数，从而根据
扇形统计图中百分比可求得科技类和小说类的人数，根据扇形统计图又可求
得动漫和其他类的百分比．
（2）用总人数乘喜欢动漫类书籍的百分比求解即可，
（3）利用树状图得出所有的情况，再求出P（两本书都是科技类书）即可．【解答】解：（1）∵抽样人数为2÷4%=50，
∴科技类的人数为 50×10%=5，小说类的人数为 50×40%=20，动漫的百分比为
12÷50=24%，其他类的百分比为 8÷50=16%
所以图形如下：
（2）喜欢动漫类书籍的人数约为1600×24%=384人．
（3）树状图为：
∴P（两本书都是科技类书）= ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用频率进行估算、概率的计
算，解题的关键是能看懂条形统计图和扇形统计图的关系．
26．（8 分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段
全长 1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知
甲组比乙组每天多掘进 0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进 0.3米，乙组平均每天比原来多掘进 0.2米．按此施工进度，能
够比原来少用多少天完成任务？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进 x米、y米，根据甲组比乙
组每天多掘进 0.5米，经过 6天施工，甲、乙两组共掘进 57米，列方程组求
解；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要 a天、b天完成任
务，分别求出甲乙所用的时间，然后求出比原来少用的天数．
【解答】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得 ，
解得
答：甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要 a天、b天完成任
务，则
a=（1957﹣57）÷（5+4.5）=200（天），
b=（1957﹣57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），
则a﹣b=10（天）．
答：能比原来少用10天．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知
数，找到题目当中的等量关系，列方程求解．
五、解答题（共 2小题，满分 20分）
27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图 1，将角尺放在正方形 ABCD 上，使角尺的直角顶点 E与正方形
ABCD 的顶点 D 重合，角尺的一边交 CB于点 F，将另一边交 BA 的延长线
于点G．求证：EF=EG．
（2）如图 2，移动角尺，使角尺的顶点 E始终在正方形 ABCD 的对角线 BD
上，其余条件不变，请你思考后直接回答 EF和 EG 的数量关系：EF =EG（用“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图
3，将（2）中的“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，使角尺的一边经过点 A
（即点G、A 重合），其余条件不变，若 AB=4，BC=3，求 的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；
（2）过点 E作 EM⊥AB 于点 M，作 EN⊥BC于点 N，由（1）同理证出
△EMG≌△ENF 得出结论；
（3）过点 E作 EM⊥AB 于点 M，作 EN⊥BC 于点 N，由（2）得出经验，证得
结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．
【解答】解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，
∴∠AEG=∠CEF，
又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，
∴△EAG≌△ECF（ASA）
∴EG=EF
（2）EF=EG；
过点E作EM⊥AB 于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，
则∠MEN=90°，EM=EN，
∴∠GEM=∠FEN，
又因为∠EMG=∠ENF=90°，
∴△EMG≌△ENF
∴EF=EG．
故答案为：=．
（3）过点E作EM⊥AB 于点M，作EN⊥BC于点 N，如图3所示：则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，
∴ ，
∴ ，
又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，
∴∠FEN=∠GEM，
∴Rt△GME∽Rt△FNE，
∴
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和应用，相似三角形的
判定和应用，解题的关键是能从第（1）问的解答中获得解决后两问的经
验．
28．（10分）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点为 M（﹣2，﹣4），与 x轴交
于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC 的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P，使△APC 的面积最大？若
能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；
（2）易求得点 B、C的坐标，即可求得 OC 的长，即可求得△ABC 的面积，即
可解题；
（3）作 PE⊥x轴于点 E，交 AC 于点 F，可将△APC 的面积转化为△AFP 和
△CFP 的面积之和，而这两个三角形有共同的底 PF，这一个底上的高的和又
恰好是 A、C两点间的距离，因此若设设 E（x，0），则可用 x来表示△APC
的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．
【解答】解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，
∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），
∴y=a（x+2）2﹣4，
又∵函数图象经过点A（﹣6，0），
∴0=a（﹣6+2）2﹣4
解得a= ，
∴此函数的解析式为y= （x+2）2﹣4，即y= x2+x﹣3；
（2）∵点C是函数 y= x2+x﹣3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
又当y=0 时，有y= x2+x﹣3=0，
解得x =﹣6，x =2，
1 2
∴点B的坐标是（2，0），
则S = |AB|•|OC|= ×8×3=12；
△ABC（3）假设存在这样的点，过点P 作PE⊥x轴于点 E，交AC 于点F．
设E（x，0），则P（x， x2+x﹣3），
设直线AC 的解析式为y=kx+b，
∵直线 AC 过点 A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∴ ，解得 ，
∴直线 AC 的解析式为 y=﹣ x﹣3，
∴点F 的坐标为 F（x，﹣ x﹣3），
则|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x2+x﹣3）=﹣ x2﹣ x，
∴S =S +S
△APC △APF △CPF
= |PF|•|AE|+ |PF|•|OE|
= |PF|•|OA|= （﹣ x2﹣ x）×6=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）2+ ，
∴当x=﹣3时，S 有最大值 ，
△APC
此时点P 的坐标是 P（﹣3，﹣ ）．
【点评】本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查
了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解
析式是解题的关键．
