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第1章 直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第 1 课时 直角三角形的性质和判定
解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直
角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°
1．掌握“直角三角形两个锐角互余”， ＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，
并能利用“两锐角互余”判断三角形是直 ∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－
角三角形；(重点) ∠1＝180°－70°＝110°.故选A.
2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边 方法总结：熟知直角三角形两锐角互余
上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、 的性质，并准确识图是解决此类题的关键．
难点) 探究点二：有两个角互余的三角形是直
角三角形
如图所示，已知AB∥CD，∠BAF
一、情境导入 ＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角
在小学时我们已经学习过有关直角三 三角形．
角形的知识，同学们可以用手上的三角板和
量角器作直角三角形，并和小组成员一同探
究直角三角形的性质．
解析：三角形内角和定理是解答有关角
的问题时最常用的定理，是解决问题的突破
口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证
∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝(180°－
∠BCD)，∠F＝(180°－∠ABC)，由AB∥CD
二、合作探究 可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．
探究点一：直角三角形两锐角互余 证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋
如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC ∠ABF＝180°，∴∠F＝(180°－∠ABF)．同
与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等 理，∠E＝(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝
于( ) 180°－(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，
∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝
180°－×180°＝90°，∴△EOF是直角三角
形．
方法总结：由三角形的内角和定理可知
一个三角形的三个内角之和为180°，如果一
个三角形中有两个角的和为90°，可知该三
A．110° B．100° C．80° D．70° 角形为直角三角形．
第 1 页 共 3 页探究点三：直角三角形斜边上的中线等 证明：如图，取CF的中点M，连接AF、
于斜边的一半 AM.∵EF 是 AB 的垂直平分线，∴AF＝
BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝
120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝(180°－120°)
＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在
Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，
∴∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM.∴△AFM为
如图，△ABC中，AD是高，E、F 等边三角形．∴AF＝AM＝FC.又∵BF＝AF，
分别是AB、AC的中点． ∴BF＝FC，即FC＝2BF.
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF 方法总结：当已知条件中出现直角三角
的周长； 形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三
(2)求证：EF垂直平分AD. 角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个
解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线 性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜
等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝ 边上的中线．
AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算 【类型二】 利用直角三角形的性质解决
即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等 实际问题
的点在线段的垂直平分线上”证明即可． 如图所示，四个小朋友在操场上
(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC 做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形
的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝ 的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中
AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长 点 O 处，则游戏________(填“公平”或
＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； “不公平”)．
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是
AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平
分线上的点，∴EF垂直平分AD.
方法总结：当已知条件含有线段的中点、
直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜
边上的中线的性质，连接中点和直角三角形 解析：游戏是否公平就是判断点A、B、
的直角顶点进行求解或证明． C、D到点O的距离是否相等．四个直角三
探究点四：直角三角形性质的综合运用 角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中
【类型一】 利用直角三角形的性质证明 点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角
线段关系 形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质
如图，在△ABC中，AB＝AC， 可知，OA＝OB＝OC＝OD＝EF，即点A、B、
∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交 C、D到O的距离相等．由此可得出结论：游
BC于F，交AB于点E.求证：FC＝2BF. 戏公平．
方法总结：题目中如果出现“直角三角
形”和“中点”这两个条件时，应连接直角
顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等
解析：根据EF是AB的垂直平分线，联 于斜边的一半的性质”解题．
想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到 【类型三】 利用直角三角形性质解动态
△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C 探究题
＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF 如图所示，在Rt△ABC中，AB＝
的中点M，连接AM，就可以利用直角三角 AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
形的性质进行证明． (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、
第 2 页 共 3 页B、C的距离的数量关系；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上
移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN 通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已
的形状，并证明你的结论． 知条件判定一个三角形是否为直角三角形
这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在
直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线
这一性质解决问题．在今后的教学中应让学
生不断强化提高这一点.
解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O
是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝BC；(2)由
于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因
此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝
∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以
△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝
∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所
以△OMN是等腰直角三角形．
解：(1)连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC
＝90°，O为BC的中点，∴OA＝BC＝OB＝
OC，即OA＝OB＝OC；
(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如
下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，
∴OA＝OB，∠NAO＝∠CAB＝∠B＝45°，
AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，
∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋
∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝
∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．
方法总结：解决动态探究性问题，要把
握住动态变化过程中的不变量，比如角的度
数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边
上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐
角互余．
三、板书设计
1．直角三角形的性质
性质一：直角三角形的两锐角互余；
性质二：直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
2．直角三角形的判定
方法一：一个角是直角的三角形是直角
三角形；
方法二：两锐角互余的三角形是直角三
角形．
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