文档内容
2018 年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）.
1．（4分）﹣ 的倒数是 ；4的算术平方根是 ．
2．（4分）分解因式：x3y﹣4xy= ；不等式组 的解集是
3．（2分）近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约
有65000000人脱贫，65000000用科学记数法表示为 ．
4．（2分）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
5．（2分）如图，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB、CD 相交于点 E、F，∠BEF的
平分线EN 与CD 相交于点 N．若∠1=65°，则∠2= ．
6．（2 分）如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C顺时针旋转 90°，得到△DEC，连
接AD，若∠BAC=25°，则∠BAD= ．
7．（2 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且
= ，则 = ．
8．（2 分）某水果店销售 11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一
个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的平均价格是 元．
9．（ 2分 ） 如 图 ， A、 B、 C是 ⊙O 上 的 三 个 点 ， 若 ∠AOC=110°， 则
∠ABC= ．
10．（ 2分 ） 在 △ABC 中 ， 若 |sinA﹣ |+（ cosB﹣ ） 2=0， 则 ∠C的 度 数
是 ．
11．（2 分）如图，用一个半径为 20cm，面积为 150πcm2的扇形铁皮，制作一
个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r 为 cm．
12．（4 分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中
有 2 个正方形，第（2）个图案中有 5个正方形，第（3）个图案中有 8个正
方形……，则第（5）个图案中有 个正方形，第 n个图案中有
个正方形．
二、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分.请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）.
13．（3分）关于一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
14．（3 分）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面
积所对应的圆心角是 108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的
概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（3分）若 P （x ，y ），P （x ，y ）是函数 y= 图象上的两点，当 x ＞x
1 1 1 2 2 2 1 2
＞0时，下列结论正确的是（ ）
A．0＜y ＜y B．0＜y ＜y C．y ＜y ＜0 D．y ＜y ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
16．（3 分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽
毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵 6元，且用
400元购买乒乓球拍的数量与用 550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒
乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
17．（3 分）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该
几何体的小立方块有（ ）
A．3块 B．4 块 C．6块 D．9块
18．（3分）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中
∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ）A．150° B．180° C．210° D．270°
19．（3分）如图，把直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，已知
∠OAB=30°，B点的坐标为（0，2），将△ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到
△ABC，则点C 的坐标是（ ）
A．（2 ，4） B．（2，2 ） C．（ ） D．（ ， ）
20．（3 分）均匀地向一个容器注水，最后将容器注满．在注水过程中，水的高
度h随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
三、（本大题共 3小题，第 21题 5分，第 22题题 5分，第 23题 8分，共 18
分）.
21．（5分）计算： tan30°+ +（﹣ ）﹣1+（﹣1）201822．（5分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中m=2+ ．
23．（8分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E为 AB 边上的中点，连接 DE 并
延长，交CB 的延长线于点F．
（1）求证：AD=BF；
（2）若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形 EBCD的面积．
四、（本大题共 3小题，第 24题 8分，第 25题 8分，第 26题 9分，共 25
分）.
24．（8 分）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇
同学在 A 处观测对岸点 C，测得∠CAD=45°，小英同学在距点 A 处 60米远
的 B点测得∠CBD=30°，请根据这些数据算出河宽（精确到 0.01米，
≈1.414， ≈1.732）．
25．（8分）如图△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD
延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若PD= ，求⊙O 的直径．
26．（9 分）某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱
情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生
必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计
图．根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中x= ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，若该校有 1800名学生，请你估计该校有多少名学生
最喜欢娱乐类节目；
（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算
从甲、乙、丙、丁 4名同学中选取 2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用
列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．五、（本大题共 2小题，第 27题 11分，第 28题 12 分，共 23分）.
27．（11分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，BC=a，将边
AB 绕点 B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．求证：△BCD 的面积为
a2．（提示：过点D 作BC 边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究 2：如图 2，在一般的 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a，将边 AB 绕
点 B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．请用含 a的式子表示△BCD 的
面积，并说明理由．
（3）探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=a，将边 AB 绕点
B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．试探究用含 a的式子表示△BCD
的面积，要有探究过程．28．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为 A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，2），作直线 BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PD⊥x轴于点 D，设点 P 的
横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP 的面积S 与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP 与△COB 相似，求点 P 的坐标．2018 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12小题 15空，每空 2分，共 30分）.
1．（4分）﹣ 的倒数是 ﹣5 ；4的算术平方根是 2 ．
【考点】22：算术平方根；28：实数的性质．
【专题】1：常规题型；511：实数．
【分析】根据倒数和算术平方根的定义计算可得．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣5、4的算术平方根是2，
故答案为：﹣5、2．
【点评】本题主要考查实数，解题的关键是掌握倒数和算术平方根的定义．
2．（4分）分解因式：x3y﹣4xy= xy（x+2）（x﹣2） ；不等式组 的
解集是 ﹣3≤x＜2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题．
【分析】根据因式分解和不等式组的解法解答即可．
【解答】解：x3y﹣4xy=xy（x+2）（x﹣2），
解不等式组 可得：
﹣3≤x＜2，
故答案为：xy（x+2）（x﹣2）；﹣3≤x＜2．
【点评】此题考查因式分解，关键是根据因式分解和不等式组的解法解答．
3．（2分）近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约
有65000000人脱贫，65000000用科学记数法表示为 6.5×107 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】1：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整
数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将65000000用科学记数法表示为：6.5×107．
故答案为：6.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的
值．
4．（2分）函数y= 中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．（2分）如图，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB、CD 相交于点 E、F，∠BEF的
平分线EN 与CD 相交于点 N．若∠1=65°，则∠2= 50° ．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】先根据平行线的性质求出∠BEN的度数，再由角平分线的定义得出
∠BEF的度数，根据平行线的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=65°，
∴∠BEN=∠1=65°．∵EN平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEN=130°，
∴∠2=180°﹣∠BEF=180°﹣130°=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线定义．解题时注意：两直线平
行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6．（2 分）如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C顺时针旋转 90°，得到△DEC，连
接AD，若∠BAC=25°，则∠BAD= 70° ．
【考点】R2：旋转的性质．
【专题】1：常规题型；558：平移、旋转与对称．
【分析】根据旋转的性质可得 AC=CD，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，
然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD
可得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC 绕其直角顶点 C按顺时针方向旋转 90°后得到
Rt△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质
并准确识图是解题的关键．7．（2 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且
= ，则 = ．
【考点】SC：位似变换．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且
= ，
∴ = ，
则 = = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（2 分）某水果店销售 11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一
个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的
平均价格是 15.3 元．
【考点】W2：加权平均数．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即
可得解．【 解 答 】 解 ： 该 店 当 月 销 售 出 水 果 的 平 均 价 格 是
11×60%+18×15%+24×25%=15.3（元），
故答案为：15.3．
【点评】本题考查扇形统计图及加权平均数，解题的关键是掌握扇形统计图直
接反映部分占总体的百分比大小及加权平均数的计算公式．
9．（2分）如图，A、B、C是⊙O 上的三个点，若∠AOC=110°，则∠ABC=
125° ．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】首先在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，由由圆周角定理，可求得
∠ADC 的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC 的度数．
【解答】解：如图，在优弧AC 上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC=100°，
∴∠ADC= ∠AOC=55°，
∴∠ABC=180°﹣∠ADC=125°．
故答案为：125°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，
注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（2分）在△ABC 中，若|sinA﹣ |+（cosB﹣ ）2=0，则∠C的度数是
90° ．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；T5：特殊
角的三角函数值．【分析】先根据非负数的性质求出 sinA= ，cosB= ，再由特殊角的三角函数
值求出∠A 与∠B 的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC 中，|sinA﹣ |+（cosB﹣ ）2=0，
∴sinA= ，cosB= ，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是
解答此题的关键．
11．（2 分）如图，用一个半径为 20cm，面积为 150πcm2的扇形铁皮，制作一
个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r 为 7.5 cm．
【考点】MP：圆锥的计算．
【专题】559：圆的有关概念及性质．
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为 20cm，面积为 150πcm2的扇形
铁皮制作一个无底的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此
求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器底面半径为
r，
则由题意得R=20，由 Rl=150π得l=15π；
由2πr=15π得r=7.5cm．
故答案是：7.5cm．
【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无底的圆
锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．
12．（4 分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中
有 2 个正方形，第（2）个图案中有 5个正方形，第（3）个图案中有 8个正
方形……，则第（5）个图案中有 14 个正方形，第 n个图案中有 3n﹣1
个正方形．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】2A：规律型；51：数与式．
【分析】由题意知，正方形的个数为序数的3倍与1的差，据此可得．
【解答】解：∵第（1）个图形中正方形的个数2=3×1﹣1，
第（2）个图形中正方形的个数5=3×2﹣1，
第（3）个图形中正方形的个数8=3×3﹣1，
……
∴第（5）个图形中正方形的个数为 3×5﹣1=14个，第 n个图形中正方形的个数
（3n﹣1），
故答案为：14、3n﹣1．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的
3倍与1的差是解题的关键．
二、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分.请将正确的选项序
号填入下面相应题号的表格内）.
13．（3分）关于一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【考点】AA：根的判别式．
【专题】523：一元二次方程及应用．
【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
一元二次方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键．
14．（3 分）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面
积所对应的圆心角是 108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】VB：扇形统计图；X5：几何概率．
【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个
比例即可求出落在陆地的概率．
【解答】解：∵“陆地”部分对应的圆心角是 108°，
∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360= ，
∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是 ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率=
相应的面积与总面积之比．
15．（3分）若 P （x ，y ），P （x ，y ）是函数 y= 图象上的两点，当 x ＞x
1 1 1 2 2 2 1 2
＞0时，下列结论正确的是（ ）
A．0＜y ＜y B．0＜y ＜y C．y ＜y ＜0 D．y ＜y ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】11：计算题．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得 y = ，y = ，然后利用求
1 2
差法比较y 与y 的大小．
1 2
【解答】解：把点P （x ，y ）、P （x ，y ）代入y= 得y = ，y = ，
1 1 1 2 2 2 1 2则y ﹣y = ﹣ = ，
1 2
∵x ＞x ＞0，
1 2
∴x x ＞0，x ﹣x ＜0，
1 2 2 1
∴y ﹣y = ＜0，
1 2
即y ＜y ．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k为
常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值
k，即xy=k．
16．（3 分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽
毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵 6元，且用
400元购买乒乓球拍的数量与用 550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒
乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】522：分式方程及应用．
【分析】设每副乒乓球拍的价格为 x元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）元，根
据用 400元购买乒乓球拍的数量与用 550元购买羽毛球拍的数量相同列出方
程．
【解答】解：设每副乒乓球拍的价格为 x元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）
元，
依题意得： =
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关
系，根据数量关系列出方程．17．（3 分）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该
几何体的小立方块有（ ）
A．3块 B．4 块 C．6块 D．9块
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视
图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图可得最底层有 3个小正方体，由主视图可得有 2层上面
一层是 1个小正方体，下面有 2个小正方体，从左视图上看，后面一层是 2
个小正方体，前面有1 个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图
表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清
物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分
析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
18．（3分）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中
∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．270°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．
【解答】解：如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，
∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，
故选：C．
【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外
角性质解答．
19．（3分）如图，把直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，已知
∠OAB=30°，B点的坐标为（0，2），将△ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到
△ABC，则点C 的坐标是（ ）
A．（2 ，4） B．（2，2 ） C．（ ） D．（ ， ）
【考点】D5：坐标与图形性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】1：常规题型．
【分析】过点 C作 CD⊥y轴，垂直为 D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求
得 BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在 Rt△BCD 中，求得
BD、DC 的长，从而可得到点C的坐标．
【解答】解：∵∠OAB=∠ABC=30°，∠BOA=∠BCA=90°，AB=AB，
∴△BOA≌△BCA．
∴OB=BC=2，∠CBA=∠OBA=60°，
过点C 作CD⊥y轴，垂直为D，则∠DCB=30°．∴DB= BC=1，DC= BC= ．
∴C（ ，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含 30°直角三角形的性
质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（3 分）均匀地向一个容器注水，最后将容器注满．在注水过程中，水的高
度h随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．
【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观
察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，从图中可以看出，OA 上升较快，AB 上升较慢，
BC 上升最快，
由此可知这个容器下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数的图象所表示
的意义是解题的关键，注意容器粗细和水面高度变化的关系．
三、（本大题共 3小题，第 21题 5分，第 22题题 5分，第 23题 8分，共 18分）.
21．（5分）计算： tan30°+ +（﹣ ）﹣1+（﹣1）2018
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质和负指数幂的性质分
别化简得出答案．
【解答】解：原式= × +2﹣2+1
=1+2﹣2+1
=2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（5分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中m=2+ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再约分即可
化简原式，继而将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当m=2+ 时，
原式= = = +1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运
算顺序和运算法则．
23．（8分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E为 AB 边上的中点，连接 DE 并
延长，交CB 的延长线于点F．
（1）求证：AD=BF；
（2）若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形 EBCD的面积．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）依据中点的定义可得到 AE=BE，然后依据平行线的性质可得到
∠ADE=∠F，接下来，依据 AAS 可证明△ADE≌△BFE，最后，依据全等三角
形的性质求解即可；
（2）过点 D 作 DM⊥AB 于 M，则 DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高，先求
得△AED 的面积，然后依据S =S ﹣S 求解即可．
四边形EBCD 平行四边形ABCD △AED
【解答】解：（1）∵E是AB 边上的中点，
∴AE=BE．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠F．
在△ADE 和△BFE 中，∠ADE=∠F，∠DEA=∠FEB，AE=BE，
∴△ADE≌△BFE．
∴AD=BF．
（2）过点D 作DM⊥AB 与M，则DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高．
∴S = • AB•DM= AB•DM= ×32=8，
△AED
∴S =32﹣8=24．
四边形EBCD
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定，熟
练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键．
四、（本大题共 3小题，第 24题 8分，第 25题 8分，第 26题 9分，共 25分）.
24．（8 分）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇
同学在 A 处观测对岸点 C，测得∠CAD=45°，小英同学在距点 A 处 60米远
的 B点测得∠CBD=30°，请根据这些数据算出河宽（精确到 0.01米，
≈1.414， ≈1.732）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】552：三角形．
【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出 AE、EB，然后
根据BE﹣AE=60就能求得河宽．
【解答】解：过C作CE⊥AB 于E，设CE=x米，
在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x
在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE= CE= x，
∴ x=x+60解之得：x=30 +30≈81.96．
答：河宽约为81.96米．
【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化
为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．
25．（8分）如图△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD
延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若PD= ，求⊙O 的直径．【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．
【专题】1：常规题型；55A：与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接 OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由 OA=OC 得出
∠ACO=∠OAC=30°，再由 AP=AC 得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，
可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）利用含 30°的直角三角形的性质求出 OP=2OA，可得出 OP﹣PD=OD，再
由PD= ，可得出⊙O 的直径．
【解答】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA 是⊙O 的切线．
（2）在Rt△OAP 中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD= ，
∴2OA=2PD=2 ．
∴⊙O 的直径为2 ．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的
判定定理、圆周角定理及含 30°直角三角形的性质．
26．（9 分）某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱
情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生
必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计
图．根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）最喜欢娱乐类节目的有 20 人，图中x= 18 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，若该校有 1800名学生，请你估计该校有多少名学生
最喜欢娱乐类节目；
（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算
从甲、乙、丙、丁 4名同学中选取 2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用
列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
【分析】（1）先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减
去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可
得x的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同
时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为6÷12%=50人，
∴最喜欢娱乐类节目的有50﹣（6+15+9）=20，x%= ×100%=18%，即x=18，
故答案为：20、18；
（2）补全条形图如下：
（3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有1800× =720 人；
（4）画树状图得：
∵共有 12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 = ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统
计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事
件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、（本大题共 2小题，第 27题 11分，第 28题 12 分，共 23分）.27．（11分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，BC=a，将边
AB 绕点 B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．求证：△BCD 的面积为
a2．（提示：过点D 作BC 边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究 2：如图 2，在一般的 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a，将边 AB 绕
点 B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．请用含 a的式子表示△BCD 的
面积，并说明理由．
（3）探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=a，将边 AB 绕点
B顺时针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD．试探究用含 a的式子表示△BCD
的面积，要有探究过程．
【考点】RB：几何变换综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）如图 1，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC的延长线交于点 E，由垂直
的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有 DE=BC=a．进而由三角形的面积公
式得出结论；
（2）如图 2，过点 D 作 BC的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质
就可以得出△ABC≌△BDE，就有 DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出
结论；
（3）如图 3，过点 A 作 AF⊥BC与 F，过点 D 作 DE⊥BC的延长线于点 E，由
等腰三角形的性质可以得出 BF= BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可
以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D 作DE⊥CB交 CB的延长线于E，
∴∠BED=∠ACB=90°，
由旋转知，AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC 和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S = BC•DE
△BCD
∴S = ；
△BCD
解：（2）△BCD 的面积为 ．
理由：如图2，过点D 作BC的垂线，与BC 的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段 AB 绕点 B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC 和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S = BC•DE
△BCD
∴S = ；
△BCD
（3）如图3，过点A 作AF⊥BC与F，过点D 作 DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BF= BC= a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB 和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE= a．
∵S = BC•DE= • a•a= a2．
△BCD
∴△BCD 的面积为 ．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质的运用，等腰
三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，判断出△ABC≌△BDE是解本题的关键．
28．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为 A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，2），作直线 BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PD⊥x轴于点 D，设点 P 的
横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP 的面积S 与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP 与△COB 相似，求点 P 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c得到关于
a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；
（2）设点P 的坐标为（t，﹣ t2+ t+2），则DP=﹣ t2+ t+2，然后由点A 和点
B的坐标可得到AB=4，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；
（3）当△ODP∽△COB 时， = ；当△ODP∽△BOC，则 = ，然后依据
比例关系列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）把 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入 y=ax2+bx+c
得： ，
解得：a=﹣ ，b= ，c=2，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2．
（2）设点P 的坐标为（t，﹣ t2+ t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4．
∴S= AB•PD= ×4×（﹣ t2+ t+2）=﹣ t2+ t+4（0＜t＜3）；
（3）当△ODP∽△COB 时， = 即 = ，
整理得：4t2+t﹣12=0，
解得：t= 或t= （舍去）．
∴OD=t= ，DP= OD= ，
∴点P 的坐标为（ ， ）．
当△ODP∽△BOC，则 = ，即 = ，
整理得t2﹣t﹣3=0，
解得：t= 或t= （舍去）．
∴OD=t= ，DP= OD= ，
∴点P 的坐标为（ ， ）．
综上所述点P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数的解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，依据相
似三角形的性质列出关于 t的方程是解题的关键．
