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2011 年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣ 的倒数是 ；﹣3﹣（﹣5）＝ ．
2．（4分）分解因式：﹣x3+2x2﹣x＝ ；计算： ＝ ．
3．（2分）纳米（nm）是一种长度单位，1nm＝10﹣9m，已知某种植物花粉的直径约为
4330nm，那么用科学记数法表示花粉的直径为 m．
4．（2分）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，
C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，则∠ACB＝ °．
5．（2分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
6．（4分）为了了解学生使用零花钱的情况，小军随机的抽查了他们班的30名学生，结果
如下表：
每天使用零花 2 4 6 10 12
钱（单位：
元）
人数 4 10 8 6 2
这些同学每天使用零花钱的众数是 ，中位数是 ．
7．（2分）若a，b是实数，式子 和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011＝ ．
8．（2分）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百
分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ．
9．（2分）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是 ．
10．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE
交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 （只需一个即可，
图中不能添加任何点或线）11．（2分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，
这个正方形零件的边长是 mm．
12．（2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中
有白色地面瓷砖 块．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）.
13．（3分）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三
角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5
14．（3分）如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（ ）
A． B．C． D．
15．（3分）在3.14， ，π和 这四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14和 B．π和 C． 和 D．π和
16．（3分）已知菱形 ABCD的对角线 AC、BD的长度是 6和 8，则这个菱形的周长是
（ ）
A．20 B．14 C．28 D．24
17．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4 B．k≤4 C．k＞4 D．k＝4
18．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
19．（3分）一次函数y＝﹣2x+1和反比例函数y＝ 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
20．（3分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值
范围表示在数轴上为（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共三小题，第21题5分，第22题7分，第23题7分，共19分）21．（5分）计算： ．
22．（7分）请你先化简分式 ，再取恰当x的值代入求值．
23．（7分）学校在艺术周上，要求学生制作一个精美的轴对称图形，请你用所给出的几何
图形：○○△△﹣﹣（两个圆，两个等边三角形，两条线段）为构件，构思一个独特，
有意义的轴对称图形，并写上一句简要的解说词．
四．（本大题共3小题，第24题7分，第25题7分，第26题11分，共25分）
24．（7分）某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，
下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°．
乙：我站在此处看树顶仰角为30°．
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们相距20m．
请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度．（参考数据 ≈1.414， ≈
1.732，结果保留两位小数）．
25．（7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，
AD⊥EF于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠CAD；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求 的长．
26．（11分）学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训．根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图（如图1和如图2，要求每位
同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种
球类某种球类的学生人数）
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）参加篮球队的有 人，参加足球队的人数占全部参加人数的 %．
（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？并补全频数分布折线
统计图．
（3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸
球的方式确定参加权，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4
的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球然后放回，小虎再随机地摸
出一球，若小明摸出的小球标有数字比小虎摸出的小球标有的数字大，则小明参加，否
则小虎参加，试分析这种规则对双方是否公平？
五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）
27．（10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问
题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过
分析发现∠BOC＝90°+ ，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）
＝
探究 2：如图 2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线 BO和 CO的交点，试分析∠
BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究 3：如图 3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线 BO和 CO的交点，则∠
BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ．
28．（12分）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y＝
﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛
物线的图象在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积
分成相等的两部分，求点P的坐标．2011 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣ 的倒数是 ﹣3 ；﹣3﹣（﹣5）＝ 2 ．
【考点】17：倒数；1A：有理数的减法．
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【分析】求一个数的倒数，即1除以这个数；
有理数的减法法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数．
【解答】解：﹣ 的倒数是1÷（﹣ ）＝﹣3；
﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2．
故答案为﹣3；2．
【点评】此题考查了倒数的定义和有理数的减法法则，是一道基础性的题目，要细心计
算．
2．（4分）分解因式：﹣x3+2x2﹣x＝ ﹣x（x﹣1）2 ；计算： ＝ 0 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；78：二次根式的加减法．
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【分析】①先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公
式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
②将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：①﹣x3+2x2﹣x
＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2；
②原式＝3 + ﹣4
＝0．
故答案为：﹣x（x﹣1）2，0．
【点评】本题考查二次根式的加减及提公因式法、公式法分解因式，属于基础题目，在
分解因式时注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底．
3．（2分）纳米（nm）是一种长度单位，1nm＝10﹣9m，已知某种植物花粉的直径约为
4330nm，那么用科学记数法表示花粉的直径为 4.33×10﹣6 m．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值是易错点，由于4330有4位，所以可以确定n＝4﹣1+（﹣9）＝﹣6．
【解答】解：4330nm＝4.33×103×10﹣9m＝4.33×10﹣6m．
故答案为：4.33×10﹣6m．
【点评】此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．
4．（2分）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，
C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，则∠ACB＝ 55 °．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
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【分析】连接OA、OB，由已知的PA、PB与圆O分别相切于点A、B，根据切线的性
质得到 OA⊥AP，OB⊥PB，从而得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后由已知的∠P的度
数，根据四边形的内角和为360°，求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等
于它所对圆心角度数的一半即可得到∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∠P＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
又∵∠ACB和∠AOB分别是 所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×110°＝55°．
故答案为：55
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，同时要
求学生掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
5．（2分）函数 中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3且x≠1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可
知：x+3≥且x﹣1≠0，解得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣3且x≠1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（4分）为了了解学生使用零花钱的情况，小军随机的抽查了他们班的30名学生，结果
如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 2 4 6 10 12
人数 4 10 8 6 2
这些同学每天使用零花钱的众数是 4 ，中位数是 6 ．
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】利用众数的定义可以确定众数在第二组，由于小军随机调查了30名同学，根
据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．
【解答】解：∵4出现了10次，它的次数最多，
∴众数为4．
∵小军随机调查了30名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数＝（6+6）÷2＝6，即中位数为6．
故答案为4，6．
【点评】本题主要考查了中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如
果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数，如果n为偶数，位于中间两个数的平均数
就是中位数，任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的
数，②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数，难度适中．
7．（2分）若a，b是实数，式子 和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011＝ ﹣1 ．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．
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【分析】根据题意得 +|a﹣2|＝0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，
即可得出答案．
【解答】解：依题意，得 +|a﹣2|＝0，
根据非负数的意义，得，
2b+6＝0，
解得：b＝﹣3，
a﹣2＝0，
解得：a＝2，
∴（a+b）2011＝（﹣1）2011＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段
学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0， ≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．
8．（2分）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百
分率是一样的，那么每次降价的百分率是 20% ．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第
二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1﹣x）（1﹣x），即100（1﹣x）2元，从
而列出方程，求出答案．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．
根据题意，得100（1﹣x）2＝64，
即（1﹣x）2＝0.64，
解得x ＝1.8，x ＝0.2．
1 2
因为x＝1.8不合题意，故舍去，
所以x＝0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故答案为：20%．
【点评】考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
9．（2分）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是 6 ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从
而得出ab．
【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），
∴a＝3，b＝2，
∴ab＝6．
故答案为6．
【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简
单．
10．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE
交 AD于点 O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 开放型题，答案不唯一
（参考答案：O是AD的中点或OA＝OD；AB＝DE；D是CE的中点；O是BE的中点
或 OB＝OE；或 OD是△EBC的中位线） （只需一个即可，图中不能添加任何点或
线）
【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
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【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE＝∠BAD，又对
顶角∠AOB＝∠DOE，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为O
是AD的中点或OA＝OD；AB＝DE；D是CE的中点；O是BE的中点或OB＝OE；或
OD是△EBC的中位线）
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADE＝∠BAD，
∵O是AD的中点，
∴OA＝OD，
又∵∠AOB＝∠DOE，∴△ABO≌△DEO（ASA）．
故答案为：O是AD的中点或OA＝OD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，常见的判断方法有5种，选用哪一种方法，取
决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角
对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找
另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．（2分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，
这个正方形零件的边长是 48 mm．
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．
【解答】解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴ ．
设ED＝x，
∴PN＝MN＝ED＝x，
，
∴解得：x＝48，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
故答案为：48．【点评】此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似
比是解决问题的关键．
12．（2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中
有白色地面瓷砖 （4n+2） 块．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】根据第1个图形有6块白色地面瓷砖，第2个图形有10块白色瓷砖，每多1
个黑色瓷砖则多4块白色瓷砖，根据此规律即可写出第n个图案中的白色瓷砖的块数．
【解答】解：第1个图案白色瓷砖的块数是：6，
第2个图案白色瓷砖的块数是：10＝6+4，
第3个图案白色瓷砖的块数是：14＝6+4×2，
…
以此类推，第n个图案白色瓷砖的块数是：6+4（n﹣1）＝4n+2．
故答案为：（4n+2）．
【点评】本题考查了图形的变化问题的规律探寻，看出图形变化规律“每多一块黑色瓷
砖则白色瓷砖增加4块”是解题的关键．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）.
13．（3分）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三
角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5
【考点】K6：三角形三边关系．
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【分析】首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．
【解答】解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
∵x为整数，
∴x＝2，3，4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
14．（3分）如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：它的左视图是下面一个圆，上面一个矩形，矩形的下面一边接到下面的圆
柱了．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
15．（3分）在3.14， ，π和 这四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14和 B．π和 C． 和 D．π和
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数是无限不循环小数进行分析判断．
【解答】解：其中 和π是无限不循环小数，即为无理数．故选：D．
【点评】此题考查了无理数的概念，注意其中的 ＝3．
16．（3分）已知菱形 ABCD的对角线 AC、BD的长度是 6和 8，则这个菱形的周长是
（ ）
A．20 B．14 C．28 D．24
【考点】KQ：勾股定理；L8：菱形的性质．
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【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可
得出周长．
【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
则由菱形对角线性质知，AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝4，且AO⊥BO，
∴AB＝5，
∴周长L＝4AB＝20，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理
的灵活运用．
17．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4 B．k≤4 C．k＞4 D．k＝4
【考点】AA：根的判别式；C6：解一元一次不等式．
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【分析】根据方程解的情况和根的判别式得到b2﹣4ac≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有实数解，
∴b2﹣4ac＝42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，
故选：B．
【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟
练地运用根的判别式进行计算是解此题的关键．
18．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝2x2的图象向左平移2个长度单位
所得到的图象对应的函数关系式是：
y＝2（x+2）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答
此题的关键．
19．（3分）一次函数y＝﹣2x+1和反比例函数y＝ 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．
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【分析】根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判
断出反比例函数所在的象限即可．
【解答】解：根据题意：一次函数y＝﹣2x+1的图象过一、二、四象限；
反比例函数y＝ 过一、三象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y＝k x+b
1
中k 、b及y＝ 中k 的取值．
1 2
20．（3分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值
范围表示在数轴上为（ ）
A． B．C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CE：一元一次不等式组的应用．
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【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可．
【解答】解：根据题意，知2＜A＜3．
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，注意解集中不包含的两个端点
的数要用空心表示．
三、解答题（本大题共三小题，第21题5分，第22题7分，第23题7分，共19分）
21．（5分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】本题涉及0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂四
个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计
算结果．
【解答】解：
＝2 ﹣4× +1+3
＝2 ﹣2 +1+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决
此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次
根式等考点的运算．
22．（7分）请你先化简分式 ，再取恰当x的值代入求值．
【考点】65：分式的基本性质；66：约分；67：通分；68：最简分式；69：最简公分
母；6A：分式的乘除法；6B：分式的加减法；6D：分式的化简求值．
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【分析】把分式的分子与分母分解因式后进行约分，再根据分式的加法法则进行加法运
算，最后化成最简分式即可．【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∵x2﹣1≠0，x+3≠0，x﹣1≠0，x+1≠0，
∴取x＝2，
代入得：原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式
的加减、乘除运算，分式的化简求值等知识点的理解和掌握，能熟练地进行有关分式的
运算是解此题的关键．
23．（7分）学校在艺术周上，要求学生制作一个精美的轴对称图形，请你用所给出的几何
图形：○○△△﹣﹣（两个圆，两个等边三角形，两条线段）为构件，构思一个独特，
有意义的轴对称图形，并写上一句简要的解说词．
【考点】P8：利用轴对称设计图案．
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【分析】解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义
的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．
【解答】解：所设计图形如下所示（答案不唯一，可供参考）：
．
【点评】本题考查了轴对称设计图案的知识，属于开放型，解答时注意三点：①所作的
图是轴对称图形，②六个元素必须要用到，而且每个元素只用一次，③解说词要和所
作的图形匹配，同学们要充分发挥想象力及语言表达能力．四．（本大题共3小题，第24题7分，第25题7分，第26题11分，共25分）
24．（7分）某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，
下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°．
乙：我站在此处看树顶仰角为30°．
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们相距20m．
请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度．（参考数据 ≈1.414， ≈
1.732，结果保留两位小数）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】延长AB交DE于C．设CD的长为x米，在Rt△DBC中，求得BC＝CD，然
后在Rt△ACD中求得AC，利用AC﹣BC＝AB，解得DC，则DE＝DC+CE．
【解答】解：如图所示，延长AB交DE于C．
设CD的长为x米，由图可知，在Rt△DBC中，
∠DBC＝45°，∠DCB＝90°，则∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝x米，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，DC＝x，
∴tanA＝
即：tan30°＝
∴AC＝ x
∵AC﹣BC＝AB，AB＝20米
∴
答：这棵古松的高是28.82米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的利用直角三角形各边之
间的关系得到有关未知量的关系式．
25．（7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，
AD⊥EF于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠CAD；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求 的长．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算．
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【分析】（1）连接OC，由EF为圆O的切线，根据切线性质得到OC与EF垂直，又
AD与EF垂直，得到AD与OC平行，根据两直线平行得到内错角∠OCA＝∠CAD，由
OA＝OC，根据“等边对等角”得到∠OCA＝∠OAC，等量代换得证；
（2）由OA＝OB，根据“等边对等角”得到∠B＝∠OCB＝30°，又∠AOC为△BOC
的外角，根据三角形外角性质求出∠AOC的度数，即为弧AC所对的圆心角的度数，然
后由直径AB的长，求出半径的长，利用弧长公式即可求出 的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵EF是过点C的⊙O的切线．
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CAD；
（2）解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC＝∠B+∠OCB＝60°，
∵AB＝12，
∴半径OA＝ AB＝6，
∴ 的长l＝ ＝2π．
【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及弧长公式．遇到直线与圆相
切，连接圆心与切点，是常常连接的辅助线，然后构造直角三角形来解决问题．要求学
生掌握切线的性质，三角形的外角性质以及弧长公式l＝ （n为弧所对的圆心角度
数，r表示圆的半径）．
26．（11分）学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、
排球队集训．根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图（如图1和如图2，要求每位
同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种
球类某种球类的学生人数）请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）参加篮球队的有 40 人，参加足球队的人数占全部参加人数的 30 %．
（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？并补全频数分布折线
统计图．
（3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸
球的方式确定参加权，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4
的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球然后放回，小虎再随机地摸
出一球，若小明摸出的小球标有数字比小虎摸出的小球标有的数字大，则小明参加，否
则小虎参加，试分析这种规则对双方是否公平？
【考点】V9：频数（率）分布折线图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法；
X7：游戏公平性．
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【分析】（1）根据折线图与扇形图首先得出参加乒乓球队的人数与百分比得出总人数，
再利用扇形图即可得出参加篮球的人数，以及参加足球对的人数占全部参加人数的百分
比；
（2）根据喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为：1﹣
（40%+30%+20%）＝10%，即可得出所占的圆心角的度数，即可补全图形；
（3）利用树状图画出即可得出小虎获参加权的概率以及小明获参加权的概率得出即
可．
【解答】解：（1）∵结合折线图与扇形图得出参加乒乓球队的人数为 20，占总数的
20%，
∴总人数为：20÷20%＝100人，
∴参加篮球队的有：100×40%＝40人，
参加足球队的人数占全部参加人数的：30÷100×100%＝30%，
故答案为：40，30；
（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为：1﹣
（40%+30%+20%）＝10%，
圆心角度数＝360×10%＝36°；正确补全折线图中篮球、排球折线；（3）用列表法
小虎 1 2 3 4
小明
1 1，1 1，2 1，3 1，4
2 2，1 2，2 2，3 2，4
3 3，1 3，2 3，3 3，4
4 4，1 4，2 4，3 4，4
共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得参加权的结果是
六种，
分别是2，1；3，1；3，2；4，1；4，2；4，3；
∴小明获参加权的概率P ＝ ＝ ，小虎获参加权的概率P ＝ ，或小虎获参加
1 2
权的概率P ＝1﹣ ，
2
∵P ＜P ，
1 2
∴这个规则对双方不公平．
【点评】此题主要考查了游戏的公平性以及列表法求概率，结合题意正确的列出图表是
考查重点，同学们应熟练掌握此知识．
五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）
27．（10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问
题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+ ，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）
＝
探究 2：如图 2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线 BO和 CO的交点，试分析∠
BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究 3：如图 3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线 BO和 CO的交点，则∠
BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ∠BOC＝90°﹣ ∠A ．
【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．
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【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC
与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示
出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝ ∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠2＝ （∠A+∠ABC）＝ ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝ ∠A+∠1﹣∠1＝ ∠A；
（2）探究3：∠OBC＝ （∠A+∠ACB），∠OCB＝ （∠A+∠ABC），
∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
＝180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），
＝180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC＝90°﹣ ∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路
也很重要．
28．（12分）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y＝
﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛
物线的图象在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积
分成相等的两部分，求点P的坐标．【考点】98：解二元一次方程组；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；FA：待定系数
法求一次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点；HF：二次函数综合题；K3：三角形
的面积．
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【分析】（1）求出方程的解，得到B、A的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组
的解即可；
（2）求出C的坐标，根据B、C的坐标求出即可；
（3）设直线 BC交 PE于 F，P点坐标为（a，0），则 E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
根据三角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B、C的坐标代
入求出直线BC，把F的坐标代入求出即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0的两个根为 x ＝1，x ＝3，
1 2
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），
又∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3，
答：抛物线的解析式是 y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）作直线BC，
由（1）得，y＝﹣x2﹣2x+3，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴的另一个交点为C，令﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴C点的坐标为（﹣3，0），
由图可知：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方，
答：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，
∴F是线段PE的中点（根据等底等高的三角形的面积相等），
即F点的坐标是（a， ），
∵直线BC过点B（0.3）和C（﹣3，0），
设直线BC的解析式是y＝kx+b （k≠0），代入得： ，
∴
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵点F在直线BC上，
∴点F的坐标满足直线BC的解析式，
即 ＝a+3
解得 a ＝﹣1，a ＝﹣3（此时P点与点C重合，舍去），
1 2
∴P点的坐标是（﹣1，0），
答：点P的坐标是（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与X轴的交点，
解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用
这些性质进行计算是解此题的关键．
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