文档内容
渭南市 2024 年高三教学质量检测（I Ⅱ）
数学试题（文科）
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上。
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 （i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的实部为5 B．复数z的虚部为
C．复数z的共轭复数为 D．复数z的模为13
2．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．{ 或 } C． D．
3．北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种
长方台形状的物体垛积．设隙积共n层，上底由 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，
最下层（即下底）由 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为
．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，
则该垛积中所有小球的个数为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A．85 B．84 C．86 D．83
4．已知平面向量 ，其中 ，若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． 或 C． D． 或
5．设 为两个平面，则 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行
C． 平行于同一条直线 D． 垂直于同一平面
6．在正四面体 的棱中任取两条棱，则这两条棱所在的直线互相垂直的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若存在m使得关于x的方程 有两个不同的根，则实数t的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
8．设等差数列 的前n项和分别为 ，若对任意正整数n都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．均不是
9．函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
10．己知定义在R上的函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11．已知双曲线 ，抛物线 的焦点为F，准线为l，抛物线E与双曲线
C的一条渐近线的交点为P，且P在第一象限，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为 ，则
双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知正数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是__________．
14． __________．
15．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，
满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选
对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正
确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）·已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第
一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有
可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为__________．
16．用 表示不超过x的最大整数，已知数列 满足： ．若
，则 __________；若 ，则 __________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
学科网（北京）股份有限公司（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（I）求A；
（Ⅱ）若（ ，求 面积．
18．（本小题满分12分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警
告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．
为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，
在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A型待机时间（h） 120 125 122 124 124
B型待机时间（h） 118 123 127 120 a
己知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求A型号被测试手机待机时间的方差和标准差的大小；
（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
（注：n个数据 的方差 ，其中元为数据x，2，xn
的平均数）
19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱 中，平面 平面 ，且
．
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若三棱锥 外接球的体积为 ，求四棱锥 的体积．
学科网（北京）股份有限公司20．（本小题满分12分）已知函数 ．
（I）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明： ．
21．（本小题满分12分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，Q为E短轴的一
个端点，若 是等边三角形，点 在椭圆E上，过点 作互相垂直且与x轴不重合的两直
线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）求证：直线MN过定点；
（III）求 面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知在平面直角坐标系 中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ；在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），
点A的极坐标为 且点A在曲线 上．
（I）求曲线 的普通方程以及曲线 的极坐标方程；
（II）已知直线 与曲线 分别交于P，Q两点，其中P，Q异于原点O，求 的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数 ．
（I）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时，函数 的最小值为m，若a，b，c均为正数，且 ，求 的
最大值．
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