文档内容
临渭区 2024 年高三质量检测试题
数学（文科）
注意事项：
1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1．已知复数 ，则复数z的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C．i D．-i
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，若 与 共线且反向，则实数 的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或4
4．将函数 的图象向左平移 ）个单位长度，所得图象关于原点对称，则 的
值可以为（ ）
A． B． C． D．
5．某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手
的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评
分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变
化的有（ ）
A．4个 B．3个 C.2个 D．1个
6．下列可能是函数 的图象的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B ． C ． D ．
7．已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次
取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y．若事件 “ 为偶数”，事件
“x，y中有偶数且 ”，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，且 ，则
是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．在正方体 中，过点B的平面 与直线 垂直，则 截该正方体所得截面的形状为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
10．已知两点 ， ，点C是圆 上任意一点，则 面积的最
小值是（ ）
A．8 B．6 C． D．4
11．若系列椭圆 ： 的离心率 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．若函数 在 内恰好存在8个 ，使得 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线 上的点P到其准线的距离为6，则点P的横坐标为______．
14．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______．
15．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的外接球的表面积为______．
16．设定义在R上的函数 满足 ，且 ，则 在R上的最大值为
______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形， 平面ABCD，
， ，且M，N分别为PD，AC的中点．
（Ⅰ）求证： 平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
19．（本小题满分12分）
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100
份作为样本，将100个样本数据按 ， ， ， ， ， 分成6
学科网（北京）股份有限公司组，并整理得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）和中位数；
（Ⅱ）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得
到表彰．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线C：． 的离心率为 ，焦点到其渐近线的距离为1．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l： 与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率
之积为 ，求 的面积．
21．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，证明：当 时 ；
（Ⅱ）若 ，证明 恰有一个零点．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若对任意 ，都有 成立，求a的取值范围．
临渭区 2024 年高三质量检测试题
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．A 12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．4 14．13 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）设数列 的公比为q(q>0)，
∵ ， ，
∴ ，即 ，∴ （ 舍去），
∴ ，即 ，∴ ．
（Ⅱ）∵ ，∴ ．
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司18．解：（Ⅰ）证明：如图，连接BD，易知BD交AC于点N．
∵M，N分别为PD，AC的中点，∴ ．
又 平面PBC， 平面PBC，故 平面PBC．
（Ⅱ）∵ ，∴ ，∴四边形ABCD为矩形．
∵ ，∴ ， ，
∴ ．
又 平面ABCD，M为PD的中点，则M到平面ACD的距离为 ．
∴ ．
19．解：（Ⅰ）100份样本数据的平均值为
．
设中位数为t，则 ，
解得 ．
（Ⅱ）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77，
则被表彰的最低成绩为 ，
∴估计该市民能得到表彰．
20．解：（Ⅰ）双曲线C： 的焦点坐标为 ，
其渐近线方程为 ，∴焦点到其渐近线的距离为 ．
学科网（北京）股份有限公司∵双曲线C的离心率为 ，∴ ，解得 ，
∴双曲线C的标准方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ，
联立 得 ， ，
∴ ， ．
由 ，
解得 （负值舍去），∴ ， ．
直线l： ，∴原点O到直线l的距离为 ，
，
∴ 的面积为 ．
21．解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ．
当 时， ，则 在 上单调递增，
∴当 时， ．
（Ⅱ） ．
令 ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
则 在 上单调递增．
∵ ，∴ 恰有一个零点，则 恰有一个零点．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．解：（Ⅰ）由于直线l的极坐标方程为 ，
则直线l的极坐标方程为 ，
由 得直线l的普通方程为 ．
∵ ，曲线C的参数方程为 （t为参数），
∴曲线C的普通方程为 ．
（Ⅱ）联立 得 ，
设 ， ，
的对称轴为直线 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最大值为 ，最小值为 ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司故实数m的取值范围为 ．
23．解：（Ⅰ）当 时， 即为 ，
等价于 或 或
即 或 或
故 或 或 ．
故不等式 的解集为 ．
（Ⅱ） 对任意x都成立，即 恒成立，
∵ ，
∴ ，即 ，或 ，解得 ．
∴a的取值范围为 ．
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