文档内容
西宁市普通高中2023—2024学年第一学期期末联考测试卷
高三年级数学理科学科参考答案：
1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．C 12．C
13． 14． 15．14或23 16．
17．（1）由题意可得， ，且 ，-------------1分
则 ，所以 ，-------------2分
所以 ，将点 代入，可得 ，
即 ，解得 ，且 ，则 ，----------5分
所以 .-----------6分
（2）由（1）可得 ，
令 ， ，------------8分
解得 ， ，------------10分
18（1）∵四边形ABCD中 ， ， ， ， ，
M为AD的中点，且 ，
∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故
又 ， ，∴ ，----------1分
∴ ，又 ， ， 平面MDCN， 平面MDCN，
∴ 平面MDCN，-----------2分
∵ 平面MDCN，∴ ，
易知 ，∴ ，∴ ，
又 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；-----------4分
（2）解法一：由（1）知 平面MDCN，又 ，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，-----------5分
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，------6分
设平面FND的法向量为 ，则 ，
令 ，令 ，则 ，∴ ，--------------8分
答案第2页，共2页设平面PND的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，∴ ，---------------10分
∴ ，------------11分
∴ ，------------12分
∴二面角 的正弦值为 ．
解法二：如图，取NC的中点O，连接PO，则 ，
∴ 平面MDCN，
∵ 平面MDCN，∴ ，
过O作 ，垂足为H，连接PH，则 就是二面角 的平面角，
又 ， ，∴ ，∴ ，
∵ 平面MDCN， 平面FND，∴平面 平面MDCN，
∴二面角 的正弦值为 ．
19．（1）设等差数列 的公差为 ，
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司由题意，得 ，------------2分
解得 或 ，--------------4分
所以 或 ；-------------6分
（2）当 时， ，-----------7分
此时 ；----------9分
当 时， ，-----------10分
20．此时 .------------12分所
以 的单调增区间为 .-------------12分.解（1）设双曲线方程为
，将 代入可得 ，
所以双曲线方程为 .-------------2分
双曲线的顶点为 ，焦点为 ，--------------------1分
所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ，所以 ，---------------1分
答案第4页，共2页所以椭圆B的方程为 .-----------------4分
（3）证明：设 ，--------------5分
由 ，-------------------7分
所以 ，-----------------------9分
同理可得 ，-----------------11分
所以 .------------------12分
21．（1） ，----------1分
当 时， ，
由 得 或 ，------------2分
所以函数 的单调递增区间为 和 ．----------------3分
（2） ．
当 时，令 ，得 ，
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司则当 时， ，当 时， ，
所以函数 仅有唯一的极小值点 ，
此时 ，显然符合题意．---------------5分
当 时，令 ，得 或 ，
若 ，即 ，则 ，
此时 单调递增，无极值点，不符合题意；----------------------7分
若 ，即 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，
由 得 ，所以 ；----------------------9分
若 ，即 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，--------------------------11分
答案第6页，共2页由 得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．-------------12分
22（1）将 代入 ，得 ，
所以直线l的直角坐标方程为 .---------2分
由曲线C的参数方程为 ，化为 ，
平方相加得曲线C的普通方程为 .--------------4分
（2）点 在直线l上，
由此可得直线l的参数方程为 （其中t为参数），--------------5分
将其代入曲线C的普通方程中得 ，-----------------6分
设点M对应的参数为 ，点N对应的参数为 ，则 ， ，----------7分
所以 ， 一正一负,----------8分
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 .-----------9分
所以 = .-------------10分
23（1）当 时， 即
的解集是下列三个不等式组的解集的并集：
① ② ③ -------------2分
解①得：
解②得：
解③知，适合该不等式组的实数 不存在
不等式 的解集为 ---4分---------
（2）由绝对值的三角形不等式，得：
-----------6分
又 ------------8分
对任意实数 ，不等式 在 上恒成立．-------------10分
答案第8页，共2页
