广东省2019年中考数学真题试题（含解析）_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_2019年全国中考数学206份

2019年广东省初中学业水平考试数学 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、 姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有 一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．﹣2的绝对值是 1 A．2 B．﹣2 C．2 D．±2 【答案】A 【解析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 【考点】绝对值 2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为 A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106 【答案】B 【解析】a×10n形式，其中0≤|a|＜10. 1【考点】科学记数法 3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是 【答案】A 【解析】从左边看，得出左视图. 【考点】简单组合体的三视图 4．下列计算正确的是 A．b6÷b3=b2 B．b3·b3=b9 C．a2+a2=2a2 D．(a3)3=a6 【答案】C 【解析】合并同类项：字母部分不变，系数相加减. 【考点】同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方 5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 【答案】C 【解析】轴对称与中心对称的概念. 【考点】轴对称与中心对称 26．数据3、3、5、8、11的中位数是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数. 【考点】中位数的概念 7．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是 a A．a>b B．|a|<|b| C．a+b>0 D．b <0 【答案】D 【解析】a是负数，b是正数，异号两数相乘或相除都得负. 【考点】数与代数式的大小比较，数轴的认识 42 8．化简 的结果是 A．﹣4 B．4 C．±4 D．2 【答案】B a2  a 【解析】公式 . 【考点】二次根式 9．已知x、x 是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是 1 2 A．x≠x B．x2﹣2x=0 C．x+x=2 D．x·x=2 1 2 1 1 1 2 1 2 【答案】D 3【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法. 【考点】一元二次方程的解的概念和计算 10．如图，正方形 ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形 EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于 点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S :S △AFN △ADM =1:4．其中正确的结论有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF，∠AHN=∠GFN，△ANH≌△GNF（AAS），①正确；由①得 AN=GN=1 ， ∵ NG⊥ FG ， NA 不 垂 直 于 AF ， ∴ FN 不 是 ∠ AFG 的 角 平 分 线 ， ∴∠AFN≠∠HFG，②错误；由△AKH∽△MKF，且 AH:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又 1 1 ∵FN=HN，∴K 为 NH 的中点，即 FN=2NK，③正确；S =2 AN·FG=1，S =2 △AFN △ADM DM·AD=4，∴S :S =1:4，④正确. △AFN △ADM 【考点】正方形的性质，平行线的应用，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形，三 角形的面积 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题 卡相应的位置上． 1 11．计算20190+(3)﹣1=____________． 4【答案】4 【解析】1+3=4 【考点】零指数幂和负指数幂的运算 12．如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________． 【答案】105° 【解析】180°-75°=105°. 【考点】平行线的性质 13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________． 【答案】8 【解析】（n-2）×180°=1080°，解得n=8. 【考点】n边形的内角和=（n-2）×180° 14．已知x=2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是___________． 【答案】21 【解析】由已知条件得x-2y=3，原式=4（x-2y）+9=12+9=21. 【考点】代数式的整体思想 15 3 15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD= 米，在实验楼的顶部B点测得 教学楼顶部A点的仰角是30°，底部 C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 _________________米（结果保留根号）． 53 【答案】15+15 3 【解析】AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+15 . 【考点】解直角三角形，特殊三角函数值 16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明 按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这 样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含 a、b代数式表示）． 【答案】a+8b 【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b），则下方空余部分的长度为a-2（a-b）=2b- a，3个拼出来的图形有1段空余长度，总长度=2a+（2b-a）=a+2b；5个拼出来的图 形有2段空余长度，总长度=3a+2（2b-a）=a+4b；7个拼出来的图形有3段空余长度， 总长度=4a+3（2b-a）=a+6b；9个拼出来的图形有4段空余长度，总长度=5a+4（2b- a）=a+8b. 【考点】规律探究题型 6三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．解不等式组： 【答案】 解：由①得x＞3，由②得x＞1， ∴原不等式组的解集为x＞3. 【考点】解一元一次不等式组  x 1  x2 -x  -  x-2 x-2 x2 -4 2 18．先化简，再求值： ，其中x= ． 【答案】 x-1 x2 -x  解：原式=x-2 x2 -4 x-1 x2x-2 =x-2 × xx-1 x2 = x 2 2 22 2 当x= 2 2 2 1+ 2 ，原式= = = . 【考点】分式的化简求值，包括通分、约分、因式分解、二次根式计算 19．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点． （1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写 作法，保留作图痕迹） 7AD AE （2）在（1）的条件下，若 DB =2，求 EC 的值． 【答案】 解：（1）如图所示，∠ADE为所求. （2）∵∠ADE=∠B ∴DE∥BC AE AD ∴ EC = DB AD ∵ DB =2 AE ∴ EC =2 【考点】尺规作图之作一个角等于已知角，平行线分线段成比例 8四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分） 20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将 测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示， 根据图表信息解答下列问题： （1）x =________，y =_______，扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度； （2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育 锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率． 【答案】 4 解：（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C的圆心角=360°×40 =36° （2）画树状图如下： 9一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种 2 1 ∴P =6 =3 （甲乙） 1 答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为3. 【考点】数据收集与分析，概率的计算 21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共 60个，己知每个篮球的价格 为70元，毎个足球的价格为80元． （1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？ 【答案】 解：（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个. 由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20 则60-x=60-20=40. 答：篮球买了20个，足球买了40个. （2）设购买了篮球y个. 由题意得 70y≤80（60-x），解得y≤32 答：最多可购买篮球32个. 【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用 1022．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的 三个顶点均在格点上，以点A为圆心的\s\up7(⌒)与BC相切于点D，分别交AB、AC 于点E、F． （1）求△ABC三边的长； （2）求图中由线段EB、BC、CF及\s\up7(⌒)所围成的阴影部分的面积． 【答案】 22 62 2 10 22 62 2 10 解：（1）由题意可知，AB= = ，AC= = ， 42 82 4 5 BC= = （2）连接AD 由（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC ∴∠BAC=90°，且△ABC是等腰直角三角形 ∵以点A为圆心的\s\up7(⌒)与BC相切于点D ∴AD⊥BC 1 ∴AD=2 BC= 2 5 （或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度） ∵S =S －S 阴影 △ABC 扇形EAF 111 S =2 × 2 10 2 10 =20 △ABC × 1  2 2 5 S =4 =5π 扇形EAF ∴S =20－5π 阴影 【考点】勾股定理及其逆定理，阴影面积的计算包括三角形和扇形的面积公式 五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分） k 2 x 23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，其中点 1 A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． k 2 x （1）根据函数图象，直接写出满足kx+b> 的x的取值范围； 1 （2）求这两个函数的表达式； （3）点P在线段AB上，且S :S =1 : 2，求点P的坐标． △AOP △BOP 【答案】 解：（1）x＜-1或0＜x＜4 12k 2 x （2）∵反比例函数y= 图象过点A（﹣1，4） k 2 -1 ∴4= ，解得k=﹣4 2 4 y - ∴反比例函数表达式为 x 4 y - ∵反比例函数 x 图象过点B（4，n） 4 - ∴n= 4 =﹣1，∴B（4，﹣1） ∵一次函数y=kx+b图象过A（﹣1，4）和B（4，﹣1） 1 4-k b k -1 1 1    -1 4k b b 3 ∴ 1 ，解得 ∴一次函数表达式为y=﹣x+3 （3）∵P在线段AB上，设P点坐标为（a，﹣a+3） ∴△AOP和△BOP的高相同 ∵S :S =1 : 2 △AOP △BOP ∴AP : BP=1 : 2 过点B作BC∥x轴，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC交于点M、N 13∵AM⊥BC，PN⊥BC AP MN  ∴BP BN ∵MN=a+1，BN=4-a a1 1 2  ∴ 4-a 2，解得a=3 7 ∴-a+3=3 2 7 ∴点P坐标为（3 ，3 ）  a1 2   -a3-4 2  4-a 2   -1a-3 2 （或用两点之间的距离公式 AP= ，BP= ， AP 1 2  由BP 2 解得a=3 ，a=-6舍去） 1 2 【考点】一次函数和反比例函数的数形结合，会比较函数之间的大小关系，会求函数的解 析式，同高的三角形的面积比与底边比的关系 24．如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交 ⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF． 14（1）求证：ED=EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长． 【答案】 （1）证明：∵AB=AC ∴∠B==∠ACB ∵∠BCD=∠ACB ∴∠B=∠BCD ∵\s\up7(⌒)=\s\up7(⌒) ∴∠B=∠D ∴∠BCD=∠D ∴ED=EC （2）证明： 15连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG 由（1）得∠B=∠BCD ∴AB∥DF ∵AB=AC，CF=AC ∴AB=CF ∴四边形ABCF是平行四边形 ∴∠CAF=∠ACB ∵AG为直径 ∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90° ∵∠G=∠B，∠B=∠ACB ∴∠ACB+∠GAC=90° ∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90° ∵点A在⊙O上 ∴AF是⊙O的切线 （3）解： 16连接AG ∵∠BCD=∠ACB，∠BCD=∠1 ∴∠1=∠ACB ∵∠B=∠B ∴△ABE∽△CBA BE AB  ∴AB BC ∵BC·BE=25 ∴AB2=25 ∴AB=5 ∵点G是△ACD的内心 ∴∠2=∠3 ∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG ∴BG=AB=5 【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念， 相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识 173 3 3 7 3 x2  x - 25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 8 4 8 与x轴交于点A、 B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F， △CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形； （3）如题25-2图，过顶点D作DD⊥x 轴于点D ，点P是抛物线上一动点，过点P作 1 1 PM⊥ x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DDA相似（不含全等）． 1 ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ 【答案】 3 3 3 7 3 3 x2  x -  x3  -2 3 （1）解：由y= 8 4 8 = 8 得点D坐标为（﹣3， 2 3 ） 令y=0得x=﹣7，x=1 1 2 ∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0） （2）证明： 18过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m） ∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO ∴△DGC∽△FOC DG CG  ∴ FO CO 2 3 由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+ ∵CO⊥FA ∴FO=OA=1 3 m2 3  ∴1 m ，解得m= 3 （或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D、F两点坐 3 3 标求出y= x+ ，再求出点C的坐标） 3 ∴点C坐标为（0， ）  2 32  32 3 ∴CD=CE= =6 19CO ∵tan∠CFO= FO = 3 ∴∠CFO=60° ∴△FCA是等边三角形 ∴∠CFO=∠ECF ∴EC∥BA ∵BF=BO－FO=6 ∴CE=BF ∴四边形BFCE是平行四边形 3 3 3 7 3 m2  m- （3）解：①设点P坐标为（m， 8 4 8 ），且点P不与点A、B、D重合． 若△PAM与△DDA相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD=4， 1 1 2 3 DD= 1 （A）当P在点A右侧时，m＞1 （a）当△PAM∽△DAD，则∠PAM=∠DAD，此时P、A、D三点共线，这种情况不存在 1 1 PM AD  1 AM DD （b）当△PAM∽△ADD，则∠PAM=∠ADD，此时 1 1 1 3 3 3 7 3 m2  m- 8 4 8 4 5  - ∴ m-1 2 3 ，解得m= 3（舍去），m=1（舍去），这种不存在 1 2 （B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1 （a）当△PAM∽△DAD，则∠PAM=∠DAD，此时P与D重合，这种情况不存在 1 1 20PM AD  1 AM DD （b）当△PAM∽△ADD，则∠PAM=∠ADD，此时 1 1 1 3 3 3 7 3 m2  m- 8 4 8 4 5  - ∴ m-1 2 3 ，解得m= 3，m=1（舍去） 1 2 （C）当P在点B左侧时，m＜﹣7 PM DD  1 AM AD （a）当△PAM∽△DAD，则∠PAM=∠DAD，此时 1 1 1 3 3 3 7 3 m2  m- 8 4 8 4 2 3  ∴﹣ m-1 2 3 4 ，解得m=﹣11，m=1（舍去） 1 2 PM AD  1 AM DD （b）当△PAM∽△ADD，则∠PAM=∠ADD，此时 1 1 1 3 3 3 7 3 m2  m- 8 4 8 4 37  - ∴﹣ m-1 2 3 ，解得m= 3 ，m=1（舍去） 1 2 5 37 - - 综上所述，点P的横坐标为 3，﹣11， 3 ，三个任选一个进行求解即可． ②一共存在三个点P，使得△PAM与△DDA相似． 1 【考点】二次函数的综合应用，旋转的性质，相似三角形的的应用，等边三角形的性质， 平行四边形的证明，平面直角坐标的灵活应用，动点问题，分类讨论思想 2122