文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，进而结合交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．已知复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，化简已知等式可求得，由复数模长运算可求得结果.
【详解】设，
由得：，，
整理可得：，，
（当且仅当时取等号），的最小值为.
故选：B.
3．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证
或者举特例即可【详解】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
4．已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.
【详解】设，则，可得，
所以.
故选:A
5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，
则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事
件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
6．已知为第三象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据同角三角函数以及的范围得出的值，然后根据诱导公式以及两角和的正弦，即可得出答案.【详解】由已知可得，所以.
又，所以，解得.
又为第三象限角，
所以，，.
所以， .
故选：A.
7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自
家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个
底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，
圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.
【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
8．已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】设，
，
所以是奇函数.
当时，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是
构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为
9．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确
的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有3个零点
【答案】AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面
截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线
C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另
一点反射后，沿直线射出，则（ ）A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
【答案】AD
【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；
根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，所以B错误；
若点，则，所以，所以，，
所以，所以C错误；
又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.
故选：AD.
11．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在y，使得
B．当时，存在z使得∥平面AEF
C．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BD
【分析】建系，利用空间向量处理位置关系、异面直线夹角以及点到面的距离.
【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴的空间直
角坐标系，
则，，，，，，
对于选项A：可得，
因为，且，可知，
所以与不垂直，故A错误；
因为，则，，可得，，
对于选项B：设平面AEF法向量为，则，
令，则，可得，
设，可得，
令，解得，
可知：当时，∥平面AEF，B正确；
对于选项C：当时，则，此时，
因为，
可知：当时，异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误；
对于选项D：因为，，
可得：点G到平面AEF的距离，点C到平面AEF的距离，
所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D正确．
故选：BD．
12．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.
【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
所以，
，
因为，所以，故，
综上：，A正确，B错误；
令，，则，
当时，，故在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故，
故，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若随机变量，且，则 ．
【答案】0.39/
【分析】由正态分布函数的性质结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以正态曲线的对称轴是直线，又因为，所以.
故答案为：0.39.
14．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】
【分析】根据导数几何意义可分别用表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入
所求式子整理即可.
【详解】，，切线斜率，
切线方程可记为：或，
，，
则，易得，，
.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导
数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.
15．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
【答案】/
【分析】设直线，由题意可得，可求得，进而可求得.
【详解】设直线，
直线与圆相切，
，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
所以，因为，
所以，
由对称性，不妨取，
故答案为：.16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面
积为，则四边形的周长是 ．
【答案】14
【分析】设椭圆半焦距为，由离心率可得椭圆，将直线DE方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合四边
形的面积为，可得，后注意到点A，两点关于直线DE对称，后利用椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆半焦距为，因椭圆离心率为，则，则椭圆.
由题，设直线DE为，将其与椭圆方程联立，则.
由题，联立方程判别式大于0，设，由韦达定理，有.
则.
又，则A到直线DE距离为，到DE距离为.
因四边形的面积S为，则.
因点A，到直线DE距离相等，且，则点A，两点关于直线DE对称.
则四边形的周长为.
注意到，，
则，得四边形的周长为.
故答案为：14
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若内一点P满足，，，，记，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，结合正余弦定理即可求；
（2）在直角中用角表示，在中，由正弦定理得到与角之间的关系，中，余弦定理求出及角，代入上式即
可求角.
【详解】（1）因为，.
由正弦定理得：，
即，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）因为，所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
即，即，（*）又因为在中，，，
从而，
代入（*）式得，
即，
所以.
19．气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，
大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时
内降雨量的频率分布直方图如图．
(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；
(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；
②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇
不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个
乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可；
（2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇数，再由独立
事件的概率公式计算即可得②.
【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：，
故这20个乡镇的平均降雨量为
．
（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为，故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为个．
②若按分层抽样抽取5个乡镇，
故降雨强度为暴雨的有个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，
设事件表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．
分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，
所以，
故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为．
20．如图，在四棱锥中，，，M为棱AP的中点．
(1)棱PB上是否存在点N，使平面PDC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面平面ABCD，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)棱PB上存在点N，；
(2)
【分析】（1）作出辅助线，利用可证得平面PDC，再用相似三角形线段成比例即可求解.
（2）设O为CD的中点，由面面垂直的性质定理可得平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，用空间向量
法即可求二面角的正弦值．
【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线，交
BE于点F，BP于点N，
因为，平面PDC，所以平面PDC，
因为，，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
又，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以．综上，棱PB上存在点N，使平面PDC，且．
（2）设，又，，所以，，
又，所以和为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则，，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，
又平面ABCD，，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设平面MDC的法向量为，
则即可取，
设平面MDB的法向量为，
则即可取，
所以，
故二面角的正弦值为．
21．已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之
积为．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得曲线C的方程；
（2）设直线PF的方程为，再与曲线C联立方程组，再利用韦达定理以及弦长公式即可得出结论>【详解】（1）由题意得，故，
又，C的两条渐近线方程分别为，
设，则，即
所以，所以，，故C的方程为．
（2）由（1）知，设直线PF的方程为，，，，
联立得，
则，，
因为P是C右支上的点，所以，
，
联立，得，
则，，
，
又，所以，解得，
所以．
【点睛】关键点睛：第（2）小问求的运算能力是关键，本题考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲
线的综合应用，属于较难题.
22．已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知函数，其中，若存在，证明：.
【答案】(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）先求出解析式，由，化简可得.不妨设，所以.再由函数单调递增，有，化简可得，再利用转化思想和
换元法结合导数的性质求证即可.
【详解】（1）的定义域为，而，由于，故，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）得，
又，即，
所以.
不妨设，所以.
由（1）得：当时，函数单调递增，故有：，
即，
所以
所以，故.
设, 则 , 因为 , 所以 , 即函数 在 上是增加的.
又, 所以 ,即 ,
所以，
故要证：，可证：，
要证，可证：
下证，
由于，
设，令，则，
所以函数在区间上单调递增，所以，
故，即成立.
综上有：，
故有，得证.
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数单调递增，化简得，再利用转化思想和换元法是解题关键.本题
考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..
