文档内容
2019年江苏省苏州市中考数学试卷
注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
5的相反数是（ ）
1 1
1. A. B. - C. 5 D. -5
5 5
有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 7
2.
苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据
26000000用科学记数法可表示为（ ）
3.
A. 0.26×108 B. 2.6×108 C. 26×106 D. 2.6×107
如图，已知直线a b，直线c与直线a，b分别交于点
A，B．若 1=54°，则 2等于（ ）
4. ∥
A. 126∘
∠ ∠
B. 134∘
C. 136∘
D. 144∘
如图，AB为 O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与 O交于点C，延长BO
与 O交于点D，连接AD．若 ABO=36°，则 ADC的度数为（ ）
5. ⊙ ⊙
⊙ ∠ ∠
A. 54∘ B. 36∘ C. 32∘ D. 27∘
小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本
（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小
6.
丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方
程为（ ）
15 24 15 24 15 24 15 24
A. = B. = C. = D. =
x x+3 x x-3 x+3 x x-3 x
若一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，
1），则不等式kx+b＞1的解为（ ）
7.
A. x<0 B. x>0 C. x<1 D. x>1
如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪
CD竖直放置在与教学楼水平距离为18√3m的地面上，
8.
若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角
为30°．则教学楼的高度是（ ）
A. 55.5m
B. 54m
C. 19.5m
D. 18m
1如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4，BD=16，将 ABO沿点A
到点C的方向平移，得到 A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离
9. △
为（ ）
△
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
如图，在 ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD AB．过点D作
DE AD，DE交AC于点E．若DE=1，则 ABC的面积为（ ）
10. △ ⊥
⊥ △
A. 4√2 B. 4 C. 2√5 D. 8
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
计算：a2•a3=______．
因式分解：x2-xy=______．
11.
若√x-6在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12.
若a+2b=8，3a+4b=18，则a+b的值为______．
13.
“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东
14.
方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图
15.
②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的
正方形边长为______cm（结果保留根号）．
如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成
棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方
16.
体恰有三个面涂有红色的概率为______．
如图，扇形OAB中， AOB=90°．P为弧AB上的一点，
过点P作PC OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若
17. ∠
PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为______．
⊥
2如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边
长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距
18.
离均为√2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2（结果
保留根号）．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
x-3 6
先化简，再求值： ÷（1- ），其中，x=√2-3．
x2+6x+9 x+3
19.
四、解答题（本大题共9小题，共70.0分）
计算：（√3）2+|-2|-（π-2）0
20.
{ x+1<5
解不等式组： 2(x+4)>3x+ 7
21.
在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，
4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
22.
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是______；
（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，
求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求
解）．
3某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小
组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴
23.
趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调
查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据
给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的
数据）；
（2）m=______，n=______；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有
多少人？
如图， ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
使得 CAF= BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
24. △
（1）求证：EF=BC；
∠ ∠
（2）若 ABC=65°， ACB=28°，求 FGC的度数．
∠ ∠ ∠
4k
如图，A为反比例函数y= （其中x＞0）图象上的一点，
x
25. 在x轴正半轴上有一点B，OB=4．连接OA，AB，且
OA=AB=2√10．
（1）求k的值；
k
（2）过点B作BC OB，交反比例函数y= （其中x＞
x
⊥ AD
0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求 的值．
DB
如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，D是弧BC的
中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
26. ⊙ ⊙
（1）求证：DO AC；
（2）求证：DE•DA=DC2；
∥
1
（3）若tan CAD= ，求sin CDA的值．
2
∠ ∠
5已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=2√5cm．如图
①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点
27.
C）．设动点M的运动时间为t（s）， APM的面积为S（cm2），S与t的函数关
系如图②所示．
△
（1）直接写出动点M的运动速度为______cm/s，BC的长度为______cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运
动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，
设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC
上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时 APM与
DPN的面积分别为S（cm2），S（cm2）
1 2
△
①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；
△
②试探究S•S 是否存在最大值，若存在，求出S•S 的最大值并确定运动时间x
1 2 1 2
的值；若不存在，请说明理由
．
如图①，抛物线y=-x2+（a+1）x-a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
与y轴交于点C．已知 ABC的面积是6．
28.
（1）求a的值；
△
（2）求 ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象
△
限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d， QPB的
面积为2d，且 PAQ= AQB，求点Q的坐标．
△
∠ ∠
67答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：5的相反数是-5．
故选：D．
根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7，
这组数据的中位数为4，
∴
故选：B．
将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．
本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
解：将26000000用科学记数法表示为：2.6×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】
解：如图所示：
a b， 1=54°，
1= 3=54°，
∵ ∥ ∠
2=180°-54°=126°．
∴∠ ∠
∴∠
8故选：A．
直接利用平行线的性质得出 3的度数，再利用邻补角的性质得出答案．
∠
此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出 3的度数是解
∠
题关键．
5.【答案】D
【解析】
解： AB为 O的切线，
OAB=90°，
∵ ⊙
ABO=36°，
∴∠
AOB=90°- ABO=54°，
∵∠
OA=OD，
∴∠ ∠
ADC= OAD，
∵
AOB= ADC+ OAD，
∴∠ ∠
ADC= AOB=27°；
∵∠ ∠ ∠
∴∠ ∠
故选：D．
由切线的性质得出 OAB=90°，由直角三角形的性质得出 AOB=90°-
∠ ∠
ABO=54°，由等腰三角形的性质得出 ADC= OAD，再由三角形的外角性
∠ ∠ ∠
质即可得出答案．
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形
的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：设软面笔记本每本售价为x元，
根据题意可列出的方程为： = ．
故选：A．
直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面
笔记本，得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
9解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
故选：D．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答
案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正
确数形结合分析是解题关键．
8.【答案】C
【解析】
解：过D作DE AB，
⊥
在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，
ADE=30°，
∵
BC=DE=18 m，
∴∠
AE=DE•tan30°=18m，
∵
AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m，
∴
∴
故选：C．
根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是
解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】
解： 四边形ABCD是菱形，
∵
AC BD，AO=OC= AC=2，OB=OD= BD=8，
ABO沿点A到点C的方向平移，得到 A'B'O'，点A'与点C重合，
∴ ⊥
O'C=OA=2，O'B'=OB=8， CO'B'=90°，
∵△ △
AO'=AC+O'C=6，
∴ ∠
AB'= = =10；
∴
∴
故选：C．
由菱形的性质得出AC BD，AO=OC= AC=2，OB=OD= BD=8，由平移的
⊥
性质得出O'C=OA=2，O'B'=OB=8， CO'B'=90°，得出AO'=AC+O'C=6，由勾
股定理即可得出答案．
∠
10本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移
的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】
解： AB AD，AD DE，
BAD= ADE=90°，
∵ ⊥ ⊥
DE AB，
∴∠ ∠
CED= CAB，
∴ ∥
C= C，
∴∠ ∠
CED CAB，
∵∠ ∠
DE=1，AB=2，即DE：AB=1：2，
∴△ ∽△
S ：S =1：4，
∵ DEC ACB
∴ △ △
S ：S =3：4，
四边形ABDE ACB
∴ △
S =S +S = ×2×2+ ×2×1=2+1=3，
四边形ABDE ABD ADE
∵ △ △
S =4，
ACB
∴ △
故选：B．
由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相
似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积
之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解本题的关键．
11.【答案】a5
【解析】
解：a2•a3=a2+3=a5．
故答案为：a5．
根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12.【答案】x（x-y）
【解析】
11解：x2-xy=x（x-y）．
故答案为：x（x-y）．
直接提取公因式x，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】x≥6
【解析】
解：若 在实数范围内有意义，
则x-6≥0，
解得：x≥6．
故答案为：x≥6．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关
键．
14.【答案】5
【解析】
解： a+2b=8，3a+4b=18，
则a
∵
=8-2b，
代入3a+4b=18，
解得：b=3，
则a=2，
故a+b=5．
故答案为：5．
直接利用已知解方程组进而得出答案．
此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
5√2
15.【答案】
2
【解析】
解：10×10=100（cm2）
= （cm）
12答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm．
故答案为： ．
观察图形可知该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的 ，
先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步
得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长．
考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正
方形面积的 ．
8
16.【答案】
27
【解析】
解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为： ．
故答案为： ．
直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案．
此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有红色小立方体的个数
是解题关键．
17.【答案】5
【解析】
解：连接OP，如图所示．
OA=OB， AOB=90°，
OAB=45°．
∵ ∠
PC OA，
∴∠
∵
A
⊥
CD为等腰直角三角形，
AC=CD=1．
∴△
∴设该扇形的半径长为r，则OC=r-1，
在Rt POC中， PCO=90°，PC=PD+CD=3，
OP2=OC2+PC2，即r2=（r-1）2+9，
△ ∠
解得：r=5．
∴
故答案为：5．
13连接OP，利用等腰三角形的性质可得出 OAB=45°，结合PC OA可得出
∠ ⊥
ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC=1，设该扇形的半径长为r，则
△
OC=r-1，在Rt POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结
△
论．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出
关于扇形半径的方程是解题的关键．
18.【答案】（10+12√2）
【解析】
解：如图，
EF=DG=CH= ，
含有45°角的直角三角板，
BC= ，GH=2，
∵
∴
FG=8- -2- =6-2 ，
∴
图中阴影部分的面积为：
∴
8×8÷2-（6-2 ）×（6-2 ）÷2
=32-22+12
=10+12 （cm2）
答：图中阴影部分的面积为（10 ）cm2．
故答案为：（10 ）．
图中阴影部分的面积=外框大直角三角板的面积-内框小直角三角板的面积，
根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算
即可求解．
考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关
键是求出内框直角边长．
x-3 x+3 6
19.【答案】解：原式= ÷（ - ）
(x+3) 2 x+3 x+3
x-3 x-3
= ÷
(x+3) 2 x+3
14x-3 x+3
= •
(x+3) 2 x-3
1
= ，
x+3
当x=√2-3时，
1 1 √2
原式= = = ．
√2-3+3 √2 2
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运
算法则．
20.【答案】解：原式=3+2-1
=4．
【解析】
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】解：解不等式x+1＜5，得：x＜4，
解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此
题的关键．
1
22.【答案】
2
【解析】
解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为 =
，
故答案为： ．
15（2）根据题意列表得：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4
的有8种结果，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为 = ．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果
数，再利用概率公式计算．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状
图或表格，求出相应的概率．
23.【答案】36 16
【解析】
解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%=150（人），
航模的人数为150-（30+54+24）=42（人），
补全图形如下：
（2）m%= ×100%=36%，n%= ×100%=16%，
即m=36、n=16，
故答案为：36、16；
16（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%=192（人）．
（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等
于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（2）根据百分比的概念可得m、n的值；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】（1）证明： CAF= BAE，
BAC= EAF．
∵∠ ∠
将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴∠ ∠
AC=AF．
∵
在 ABC与 AEF中，
∴
{
AB=AE
△ △
∠BAC=∠EAF，
AC=AF
ABC AEF（SAS），
EF=BC；
∴△ ≌△
∴
（2）解： AB=AE， ABC=65°，
BAE=180°-65°×2=50°，
∵ ∠
FAG= BAE=50°．
∴∠
ABC AEF，
∴∠ ∠
F= C=28°，
∵△ ≌△
FGC= FAG+ F=50°+28°=78°．
∴∠ ∠
【解析】
∴∠ ∠ ∠
（1）由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明 ABC AEF，根据全等三角
△ ≌△
形的对应边相等即可得出EF=BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 BAE=180°-
65°×2=50°，那么 FAG=50°．由 ABC AEF，得出 F= C=28°，再根据三
∠
角形外角的性质即
∠
可求出 FGC
△
= FAG
≌
+
△
F=78°．
∠ ∠
∠ ∠ ∠
17本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三
角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明 ABC AEF是解题的关键．
25.【答案】解：（1）过点A作AH x轴，垂足为点△H，AH≌△
交OC于点M，如图所示．
⊥
OA=AB，AH OB，
1
∵OH=BH= OB⊥=2，
2
∴
AH=√OA2-OH2=6，
∴点A的坐标为（2，6）．
k
∴A为反比例函数y= 图象上的一点，
x
∵k=2×6=12．
12
∴（2） BC x轴，OB=4，点C在反比例函数y= 上，
x
∵k ⊥
BC= =3．
OB
∴AH BC，OH=BH，
1 3
∵MH∥= BC= ，
2 2
∴ 9
AM=AH-MH= ．
2
∴AM BC，
ADM BDC，
∵ ∥
AD AM 3
∴△ = ∽△= ．
DB BC 2
∴【解析】
（1）过点A作AH x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的
⊥
性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐
标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用
三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM BC可得
∥
出 ADM BDC，利用相似三角形的性质即可求出 的值．
△ ∽△
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理
以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及
勾股定理，求出点A的坐标；（2）利用相似三角形的性质求出 的值．
18⏜
26.【答案】解：（1） 点D是 中点，OD是圆的半径，
BC
OD BC， ∵
AB是圆的直径，
∴ ⊥
ACB=90°，
∵
AC OD；
∴∠
⏜ ⏜
∴（2）∥ CD=BD ，
CA∵D= DCB，
DCE DCA，
∴∠ ∠
CD2=DE•DA；
∴△ ∽△
1
∴（3） tan CAD= ，
2
∵ ∠ 1
DCE和 DAC的相似比为： ，
2
∴设△：DE=a，△则CD=2a，AD=4a，AE=3a，
AE
=3，
DE
∴即 AEC和 DEF的相似比为3，
设：EF=k，则CE=3k，BC=8k，
△ △
1
tan CAD= ，
2
AC∠=6k，AB=10k，
3
∴sin CDA= ．
5
∴【解∠析】
（1）点D是 中点，OD是圆的半径，又OD BC，而AB是圆的直径，则
ACB=90°，故：AC OD；
⊥
∠
（2）证明 DCE D
∥
CA，即可求解；
△ ∽△
（3） =3，即 AEC和 DEF的相似比为3，设：EF=k，则CE=3k，BC=8k，
△ △
tan CAD= ，则AC=6k，AB=10k，即可求解．
∠
本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相
似比，确定线段的比例关系，进而求解．
27.【答案】2 10
【解析】
解：（1） t=2.5s时，函数图象发生改变，
∵
t=2.5s时，M运动到点B处，
∴
动点M的运动速度为： =2cm/s，
∴
19t=7.5s时，S=0，
∵
t=7.5s时，M运动到点C处，
BC=（7.5-2.5）×2=10（cm），
∴
∴
故答案为：2，10；
（2） 两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），
①∵
当在点C相遇时，v= = （cm/s），
∴
当在点B相遇时，v= =6（cm/s），
动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为 cm/s＜v≤6cm/s；
∴
过P作EF AB于F，交CD于E，如图3所示：
② ⊥
则EF BC，EF=BC=10，
∥
= ，
∴
AC= =5 ，
∵
= ，
∴
解得：AF=2，
DE=AF=2，CE=BF=3，PF= =4，
EP=EF-PF=6，
∴
S =S =S +S -S = ×4×2+ （4+2x-5）×3- ×5×（2x-5）
∴ 1 APM APF 梯形PFBM ABM
∴ =-2x+1△5， △ △
S =S =S +S -S = ×2×6+ （6+15-2x）×3- ×5×（15-2x）
2 DPM DEP 梯形EPMC DCM
=2x，△ △ △
S •S =（-2x+15）×2x=-4x2+30x=-4（x- ）2+ ，
1 2
∴
2.5＜ ＜7.5，在BC边上可取，
∵
当x= 时，S •S 的最大值为 ．
1 2
∴
（1）由题意得t=2.5s时，函数图象发生改变，得出t=2.5s时，M运动到点B处，
得出动点M的运动速度为： =2cm/s，由t=7.5s时，S=0，得出t=7.5s时，M
运动到点C处，得出BC=10（cm）；
20（2） 由题意得出当在点C相遇时，v= = （cm/s），当在点B相遇时，v=
①
=6（cm/s），即可得出答案；
过P作EF AB于F，交CD于E，则EF BC，由平行线得出 = ，得
出AF=2，DE=AF=2，CE=BF=3，由勾股定理得出PF=4，得出EP=6，求出
② ⊥ ∥
S =S =S +S -S =-2x+15，S =S =S +S -
1 APM APF 梯形PFBM ABM 2 DPM DEP 梯形EPMC
△ △ △ △ △
S =2x，得出S •S =（-2x+15）×2x=-4x2+30x=-4（x- ）2+ ，即可得出结
DCM 1 2
果△．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、函数的图象、三角形面积公式、
梯形面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，
正确理解函数图象是解题的关键．
28.【答案】解：（1）
y=-x2+（a+1）x-a
令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0
∵
解得x=a，x=1
1 2
由图象知：a＜0
A（a，0），B（1，0）
s =6
ABC
∴
1
(1∵-△ a)(-a)=6
2
解得∴：a=-3，（a=4舍去）
（2）设直线AC：y=kx+b，
由A（-3，0），C（0，3），
可得-3k+b=0，且b=3
k=1
即直线AC：y=x+3，
∴
3 3
A、C的中点D坐标为（- ， ）
2 2
线段AC的垂直平分线解析式为：y=-x，
线段AB的垂直平分线为x=-1
∴
代入y=-x，
解得：y=1
ABC外接圆圆心的坐标（-1，1）
∴△
21（3）
作PM x轴，则
1 1
s = AB⋅⊥PM= ×4×d
△BAP 2 2
s =
△PQB S
△PAB
A、Q到PB∵的距离相等， AQ PB
设直线PB解析式为：y=x+b
∴ ∴ ∥
直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y=x-1
∵
{ y=-x2-2x+3
联立 y=x- 1
{ x=-4
解得： y=- 5
点P坐标为（-4，-5）
又 PAQ= AQB
∴
可得： PBQ ABP（AAS）
∵∠ ∠
PQ=AB=4
△ ≌△
设Q（m，m+3）
∴
由PQ=4得：
(m+4) 2+(m+3+5) 2=42
❑❑
解得：m=-4，m=-8（舍去）
Q坐标为（-4，-1）
【解析】
∴
（1）由y=-x2+（a+1）x-a，令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0，可求出A、B坐标结合三
角形的面积，解出a=-3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求
出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作PM x轴，则 =
⊥
由 可得A、Q到PB的距离相等，得到AQ PB，求出
∥
直线PB的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于 PBQ ABP，
△ ≌△
22可得PQ=AB=4，利用两点间距离公式，解出m值．
本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线
“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结
合在一起，转化线段长求出结果．
23
