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2014 年江西省南昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）（2014•南昌）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．﹣2 D．2
﹣
分析：用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．
解答：
解：画一个数轴，将A=﹣ 、B=0、C=﹣2、D=2标于数轴之上，
可得：
∵C点位于数轴最左侧，
∴C选项数字最小．
故选：C．
点评：本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键．
2．（3分）（2014•南昌）据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建
设任务．5.78万可用科学记数法表示为（ ）
A．5.78×103 B．57.8×103 C．0.578×104 D．5.78×104
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于5.78万有5位整数，所以可以确定n=5﹣1=4．
解答：解：5.78万=57 800=5.78×104．
故选D．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）（2014•南昌）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数
据的众数和中位数分别是（ ）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
考点：众数；中位数．
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分析：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可
以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数
解答：解：将这组数据从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，
在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28℃．
处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28℃；
故选B．
点评：本题为统计题，考查中位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．（3分）（2014•南昌）下列运算正确的是（ ）
1A．a2+a3=a5 B．（﹣2a2）3=﹣6a6 C．（2a+1）（2a﹣1）D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣
=2a2﹣1 1
考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式．
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分析：A．根据合并同类项法则判断；
B．根据积的乘方法则判断即可；
C．根据平方差公式计算并判断；
D．根据多项式除以单项式判断．
解答：解：A．a2与a3不能合并，故本项错误；
B．（﹣2a2）3=﹣8a6，故本项错误；
C．（2a+1）（2a﹣1）=4a2﹣1，故本项错误；
D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1，本项正确，
故选：D．
点评：本题主要考查了积的乘方运算、平方差公式以及多项式除以单项式和合并同类项，熟
练掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2014•南昌）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，
于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：解：压扁后圆锥的主视图是梯形，故该圆台压扁后的主视图是A选项中所示的图形．
故选：A．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，压扁是主视图是解题关键．
6．（3分）（2014•南昌）小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和
2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔
芯y元，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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分析：设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据20支笔和2盒笔芯，用了56元；买了2支笔
和3盒笔芯，用了28元．列出方程组成方程组即可．
解答：解：设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，由题意得，
．
故选：B．
点评：此题考查实际问题抽出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出
等量关系，列出方程组．
27．（3分）（2014•南昌）如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF
的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
考点：全等三角形的判定．
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分析：本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
解答：解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
点评：本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
8．（3分）（2014•南昌）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的
度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
考点：圆周角定理；平行线的性质．
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分析：连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出
∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得
出∠B的度数即可．
解答：解：如图，
连接OC，
3∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B= ∠AOC=55°．
故选：D．
点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出
辅助线是解决问题的关键．
9．（3分）（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
考点：根与系数的关系．
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分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将
其整体代入即可求值．
解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．
故选：A．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种
经常使用的解题方法．
10．（3分）（2014•南昌）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方
向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
考点：旋转的性质；平移的性质．
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分析：利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等
边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．
解答：解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′
逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6﹣4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．
故选：B．
点评：此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等
边三角形是解题关键．
411．（3分）（2014•南昌）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“
”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形
的周长可表示为（ ）
A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b
考点：整式的加减；列代数式．
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专题：几何图形问题．
分析：根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
解答：解：根据题意得：2（a﹣b+a﹣3b）=2（2a﹣4b）=4a﹣8b，
故选B
点评：此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2014•南昌）已知反比例函数y= 的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象
大致为（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．
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分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向
和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
5解答：
解：∵函数y= 的图象经过二、四象限，∴k＜0，
由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称为x=﹣ = ，﹣1＜ ＜0，
∴对称轴在﹣1与0之间，
故选：D．
点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开
口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2014•沈阳）计算： = 3 ．
考点：算术平方根．
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分析：根据算术平方根的定义计算即可．
解答：解：∵32=9，
∴ =3．
点评：本题较简单，主要考查了学生开平方的运算能力．
14．（3分）（2014•南昌）不等式组 的解集是 x ＞ ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解： ，
由①得，x＞ ，
由②得，x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：x＞ ．
故答案为：x＞ ．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（3分）（2014•南昌）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，
180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 12﹣ 4 ．
6考点：旋转的性质；菱形的性质．
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分析：根据菱形的性质得出DO的长，进而求出S正方形DNMF ，进而得出S
△ADF
即可得出答案．
解答：解：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，
∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，
∠BAD=60°，AB=2，
∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC= ，
∴∠AOE=45°，ED=1，
∴AE=EO= ，DO= ﹣1，
∴S正方形DNMF =2（ ﹣1）×2（ ﹣1）× =8﹣4 ，
S = ×AD×AFsin30°=1，
△ADF
∴则图中阴影部分的面积为：4S
△ADF
+S正方形DNMF =4+8﹣4 =12﹣4 ．
故答案为：12﹣4 ．
点评：此题主要考查了菱形的性质以及旋转的性质，得出正确分割图形得出DO的长是解题
关键．
16．（3分）（2014•南昌）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线
AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 6 或 2 或 4 ．
考点：解直角三角形．
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专题：分类讨论．
分析：根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
解答：解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
7当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB= = =2 ；
如图4：
8当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4 ．
故答案为：6或2 或4 ．
点评：本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．（6分）（2014•南昌）计算：（ ﹣ ）÷ ．
考点：分式的混合运算．
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专题：计算题．
分析：原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可
得到结果．
解答：
解：原式= • =x﹣1．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2014•南昌）已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．
（1）在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
9（2）图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
考点：作图—应用与设计作图．
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分析：（1）求出三角形CD边上的高作图，
（2）找出BE及它的高相乘得20，以AB为一边作平行四边形..
解答：
解：设小正方形的边长为1，则S梯形ABCD = （AD+BC）×4= ×10×4=20，
（1）∵CD=4 ，
∴三角形的高=20×2÷4 =5 ，如图1，△CDE就是所作的三角形，
（2）如图2，BE=5，BE边上的高为4，
∴平行四边形ABEF的面积是5×4=20，
∴平行四边形ABEF就是所作的平行四边形．
点评：本题主要考查了作图的设计和应用，解决问题的关键是根据面积相等求出高画图．
19．（6分）（2014•南昌）有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分
别画上“√，×，×”，如图1．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片
上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解）
（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2
所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．
考点：列表法与树状图法．
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10专题：计算题．
分析：（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两种卡片上标记都是“√”的情况数，即可
求出所求的概率；
（2）①根据题意得到所有等可能情况有3种，其中看到的标记是“√”的情况有2种，
即可求出所求概率；
②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反
面也是“√”的情况有1种，即可求出所求概率．
解答：解：（1）列表如下：
√ × √
√ （×，√） （√，√）
（√，√）
× （√，×） （×，×） （√，×）
× （√，×） （×，×） （√，×）
所有等可能的情况有9种，两种卡片上标记都是“√”的情况有2种，
则P= ；
（2）①所有等可能的情况有3种，其中随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的
情况有2种，
则P= ；
②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反
面也是“√”的情况有1种，
则P= ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）（2014•南昌）如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，
tan∠BPD= ．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，OB=3．
（1）求点C的坐标；
11（2）若点D在反比例函数y= （k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：（1）根据正切值，可得PD的斜率，根据直线垂直，可得BD的斜率，可得直线BC，根据
函数值为0，可得C点坐标；
（2）根据自变量的值，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
解答：解：Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，
∴BD⊥PB，
k
PD
=cot∠BPD= ，
k •k =﹣1，
BD PD
k =﹣ ，
BD
直线BD的解析式是y=﹣ x+3，
当y=0时，﹣ x+3=0，
x=6，
C点坐标是（6，0）；
（2）当x=4时，y=﹣ ×4+3=1，
∴D（4，1）．
点D在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为 y= ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出PD的斜率求出BD的斜率，求
出直线BD，再求出点的坐标．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）（2014•南昌）某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某
校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信
息解答下列问题：
某校初中生阅读数学教科书情况统计图表
类别 人数 占总人数比例
重视 a 0.3
一般 57 0.38
不重视 b c
12说不清楚 9 0.06
（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数；
（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
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分析：（1）利用类别为“一般”人数与所占百分比，进而得出样本容量，进而得出a，b，c的
值；
（2）利用“不重视阅读数学教科书”在样本中所占比例，进而估计全校在这一类别的
人数；
（3）根据（1）中所求数据进而分析得出答案，再从样本抽出的随机性进而得出答案．
解答：解：（1）由题意可得出：样本容量为：57÷0.38=150（人），
∴a=150×0.3=45，
b=150﹣57﹣45﹣9=39，
c=39÷150=0.26，
如图所示：
（2）若该校共有初中生2300名，
该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：2300×0.26=598（人）；
（3）①根据以上所求可得出：只有30%的学生重视阅读数学教科书，有32%的学生不
重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学
们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层
次理解与认识．
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的
年级进行抽样，进而分析．
13点评：此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图和利用样本估计总体等知识，理论联
系实际进而结合抽样调查的随机性进而得出是解题关键．
22．（8分）（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每
相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为
60°．
（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
14考点：解直角三角形的应用．
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分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线
的判定可得CD，EB的位置关系；
（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，
即可求解．
解答：解：（1）猜想CD∥EB．
证明：连接DE．
∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠CDE=∠BED，
∴CD∥EB．
（2）BE=2OE=2×10×cos30°=10 cm，
同理可得，DE=10 cm，
则BD=10 cm，
同理可得，AD=10 cm，
AB=BD+AD=20 ≈49cm．
答：A，B两点之间的距离大约为49cm．
点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基
本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．
1523．（8分）（2014•南昌）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是
⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质．
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分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最
大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求；
（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；
（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线．
解答：（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S = OC•h=2h，
△OPC
∴当h最大时，S 取得最大值．
△OPC
观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：
此时h=半径=2，S =2×2=4．
△OPC
∴△OPC的最大面积为4．
（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：
∵tan∠OCP= = = ，
∴∠OCP=30°
16∴∠OCP的最大度数为30°．
（3）证明：如答图3，连接AP，BP．
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵ = ，
∴ = ，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C，
在△ODB与△BPC中
，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直径，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角
形是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）（2014•南昌）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B
重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依次操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 等边三角形 ，求此时线段EF的
长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 正方形 ，此时AE与BF的数量关系是 AE=BF ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式
及面积y的取值范围；
（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形
吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．
17考点：几何变换综合题．
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分析：（1）由旋转性质，易得△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出
EF的长；
（2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范
围．
（3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最
大边数为8，边长为4 ﹣4．
解答：解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF= BF= （4﹣x）．
∴DE=DF=EF= （4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=[ （4﹣x 2，
解得：x =8﹣4 ，x =8+4 （舍去）
1 2
∴EF= （4﹣x）=4 ﹣4 ． ]
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4 ﹣4 ．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：
由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
在△AEH与△BFE中，
18∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S正方形ABCD ﹣4S
△AEH
=4×4﹣4× x（4﹣x）=2x2﹣8x+16．
∴y=2x2﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x2﹣8x+16=2（x﹣2）2+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边
形，边长为4 ﹣4．
如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形．
设边长EF=FG=x，则BF=CG= x，
BC=BF+FG+CG= x+x+ x=4，解得：x=4 ﹣4．
点评：本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、
等腰直角三角形、正多边形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于
几何基础知识的考查，是一道好题．
1925．（12分）（2014•南昌）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平
行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间
的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为
碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y= x2对应的碟宽为 4 ；抛物线y=4x2对应的碟宽为 ；抛物线y=ax（2 a＞
0）对应的碟宽为 ；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为 ；
（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣ （a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=a x2+b x+c（a ＞0）的对应准蝶形记为F（n=1，2，3…），定义F ，F ，…，F 为
n n n n n 1 2 n
相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F 与F 的相似比为 ，且F 的碟顶是F 的
n n﹣1 n n﹣1
碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y ，其对应的准蝶形记为F ．
1 1
①求抛物线y 的表达式；
2
②若F 的碟高为h ，F 的碟高为h ，…F 的碟高为h ，则h = ，F 的碟宽有端点横坐
1 1 2 2 n n n n
标为 2+ ；F ，F ，…，F 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的
1 2 n
表达式；若不是，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
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分析：
（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y= x2，抛物线y=4x2的碟宽，且都利用端点
（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0），类似．而抛物线
y=a（x﹣2）2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关．
（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得a的值．
（3）①由y ，易推y ．②结合画图，易知h ，h ，h ，…，h ，h 都在直线x=2上，但证明
1 2 1 2 3 n﹣1 n
需要有一般推广，可以考虑h n∥h
n﹣1
，且都过F
n﹣1
的碟宽中点，进而可得．另画图时易
知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于“F ，F ，…，F 的碟宽右端点
1 2 n
是否在一条直线上？”，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律更难，所以可以考虑
基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结
论成立．求直线方程只需考虑特殊点即可．
解答：
解：（1）4；1； ； ．
分析如下：
∵a＞0，
∴y=ax2的图象大致如下：
20其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=∠OCB= ∠AOB= 90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x =y ，x =y ，代入y=ax2，
A A B B
∴A（﹣ ， ），B（ ， ），C（0， ），
∴AB= ，OC= ，
即y=ax2的碟宽为 ．
①抛物线y= x2对应的a= ，得碟宽 为4；
②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为 为 ；
③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为 ；
④抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，
∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为 ，
∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟宽为 ．
（2）∵y=ax2﹣4ax﹣ =a（x﹣2）2﹣（4a+ ），
∴同（1），其碟宽为 ，
∵y=ax2﹣4ax﹣ 的碟宽为6，
∴ =6，
解得 a= ，
∴y= （x﹣2）2﹣3．
（3）①∵F 的碟宽：F 的碟宽=2：1，
1 2
21∴ ，
∵a = ，
1
∴a = ．
2
∵y= （x﹣2）2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F 的碟顶坐标为（2，0），
2
∴y = （x﹣2）2．
2
②∵F 的准碟形为等腰直角三角形，
n
∴F 的碟宽为2h ，
n n
∵2h ：2h =1：2，
n n﹣1
∴h = h =（ ）2h =（ ）3h =…=（ ）n+1h ，
n n﹣1 n﹣2 n﹣3 1
∵h =3，
1
∴h = ．
n
∵h n∥h
n﹣1
，且都过F
n﹣1
的碟宽中点，
∴h ，h ，h ，…，h ，h 都在一条直线上，
1 2 3 n﹣1 n
∵h 在直线x=2上，
1
∴h ，h ，h ，…，h ，h 都在直线x=2上，
1 2 3 n﹣1 n
∴F 的碟宽右端点横坐标为2+ ．
n
另，F ，F ，…，F 的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．
1 2 n
分析如下：
考虑F ，F ，F 情形，关系如图2，
n﹣2 n﹣1 n
F ，F ，F 的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2
n﹣2 n﹣1 n
上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI= •∠GFH= •∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
22∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点，
∴HE，EB在一条直线上，
∴F ，F ，F 的碟宽的右端点是在一条直线，
n﹣2 n﹣1 n
∴F ，F ，…，F 的碟宽的右端点是在一条直线．
1 2 n
∵F ：y = （x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），
1 1
F ：y = （x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+ ， ），
2 2
∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，
∴F ，F ，…，F 的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．
1 2 n
点评：本题考查学生对新知识的学习、理解与应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二
次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生清晰理解有一定
困难．
23
