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江西省抚州市 2014 中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个准确选项
1. －7的相反数是
A. －7 B. C. D. 7
解析：选D. ∵|－7|=|7|.
2. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是
A. B. C. D.
解析：选B. ∵A、C、D是轴对称图形.
3. 下列运算准确的是
A. 2 a 3 a a B. 3x24xy3 12x2y3
C. 6x3y3x2 2xy D. （2x3）4 8x12
解析：选C. ∵A= －a ，B= ，D=
4. 抚州名人雕塑园是国家4A级旅游景区，占地面积约560000m2，将560000用科学记数法表示应
为
A. 0.56×106 B. 5.6×106 C. 5.6×10 5 D. 56×104
解析：选C. ∵A、D不符合书写要求，B错误.
5. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是
A. B. C. D.
解析：选B. ∵上下两凸起是圆弧，非圆，中间是两个圆片的叠合,其主视图
应为矩形.
6. 已知 、 满足方程组 ，则 的值为
A. 8 B. 4 C. -4 D. -8
1解析：选A. ∵方程(1)+方程(2)即可得 .
7. 为了解某小区小孩暑假的学习情况，王老师随机调查了该小区8个小孩某天的学习时间，结
果如下（单位：小时）：1.5 ，1.5 ，3 ，4，2 ，5 ，2.5 ，4.5.关于这组数据，下列结论错误的是
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
A. 极差是3.5 B. 众数是1.5 C. 中位数是3 D.平均数是3
解析：选C. ∵5－1.5=3.5 ,∴A正确；1.5出现了两次，其他数据都是一次，
∴B正确；平均数= ，∴正确；
中位数= ,错误
8. 一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，
桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示.小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看
作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位
h与注水时间t之间关系的大致图象是
A. B. C. D.
解析：选C. ∵桶口的半径是杯口半径的2倍，∴水注满杯口周围所用时间
是注满杯子所用时间的3倍，∴C正确.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把准确的答案填写在答题卷相应位置的横线
上）
9. 计算： .
解析： .
10. 因式分解：a3－4a .
解析：
11. 如图，a∥b ,∠1＋∠2=75°,则∠3＋∠4= .
解析：∵∠5=∠1+∠2=75°， a∥b, ∠3=∠6 , ∴∠3+∠4=∠6+∠4=180°
－75° =105°
212.关于x的一元二次方程 k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为
.
解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ k
∴k ， ∴k可取的最大整数为6.
13. 如图，△ABC内接于⊙O ,∠OAB=20°,则∠C的度数为 .
解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C= ∠AOB=70°
14. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和 重合在一起，将三角板
绕其顶点 按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：
①当α=30°时， 与 的交点恰好为 的中点；②当α=60°时， 恰好经过点
；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得 ； ④在旋转过程中，始终存在
，其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分，少填酌
情给分）
解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，
∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确
如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,
则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,
∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确
如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,
∴ ,∴AA′= BB′.错误
如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,
3∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°),
∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A
∵ ∠CBB′=∠CA′A ,
∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,
∴AA′⊥BB′.正确
∴①，②，④正确.
三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
15. 如图，△ 与△ 关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直
线.
解析：利用轴对称性质：对应线段（或延
长线）的交于对称轴上一点.
如图
，
直线l 就是所求作的对称轴.
16. 先化简： ，再任选一个你喜欢的数 代入求值.
解析：原式= 取 代入，
= 原式=8
= = (注： 不能取1和2）
4四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
17. 某同学报名参加运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m ,200m ,400m(分别用A 、A 、A 表示）；
1 2 3
田赛项目：跳远 ，跳高（分别用B 、B 表示）.
1 2
⑴ 该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；
⑵ 该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰
好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.
解析：(1)∵5个项目中有2个田赛项目，∴P =
田赛
A A A B B
1 2 3 1 2
(2)
A (A ，A ) (A ，A ) (A ,B ) (A ,B )
1 1 2 1, 3 1 1 1 2
A (A ,A ) (A ，A ) (A ,B ) (A ,B )
2 2 1 1, 3 2 1 2 2
A (A ,A ) (A ，A ) (A ,B ) (A ,B )
3 3 1 3 2 3 1 3 2
[来源:学科网]
B (B ,A ) (B ，A ) (B ，A ) (B ,B )
1 1 1 1 2 1, 3 1 2
B (B ,A ) (B ，A ) (B ，A ) (B ,B )
2 2 1 2 2 2, 3 2 1
∴共20种可能的结果，符合条件的有12种，
∴P = .
(田，径)
18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 轴平行，且直线分别与反比例函数
和 的图象交于点 、点 .
⑴ 求点 的坐标；
⑵ 若△ 的面积为8 ，求k的值 .
解析：(1)∵PQ∥ 轴，∴P点纵坐标为2，
当 时， ，
5∴ ， ∴P(3，2).
(2)∵S = , ∴ ,
⊿POQ
∴PQ=8, ∵PM=3, ∴QM=5,
∴Q(－5,2) , 代入 得：
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19. 情景：
试根据图中的信息，解答下列问题：
⑴ 购买6根跳绳需 元，购买12根跳绳需 元.
⑵ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求
出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.
解析：(1)25×6=150, 25×0.8×12=240.
(2)有这种可能.
设小红买了 根跳绳，
则25×0.8 =25( －2)-5 ,解得 =11.
·
∴小红买了11根跳绳.
20. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听
写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
听写正确的
组别 组中值
个数x
A 0≤x<8 4
[来源:学科 B 8≤x<16 12 网]
C 16≤x<24 20
D 24≤x<32 28
E 32≤x<40 36
6根据以上信息解决下列问题：
⑴ 本次共随机抽查了100 名学生，并补全条形统计图；
⑵ 若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平均数
是多少？
⑶ 该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次
比赛听写不合格的学生人数.
解析：(1)15÷15%=100. ∴共抽查了100名学生；
补全条形统计图如上.
(2)4×10%＋12×15%＋20×25%＋28×30%＋36×20%=22.8,
∴被抽查学生听写正确的个数的平均数是22.8个；
(3)(10%＋15%＋25%)×3000=1500,
∴这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约1500名.
六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点
在射线 上滑动，∠ 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且
=20cm .
图1 图2
⑴ 当∠ =60°时，求 两点间的距离；
⑵ 当∠ 由60°变为120°时，点 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm)
⑶ 设 cm ,当∠ 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求 的取值范围
.(结果精确到0.1cm) (参考数据 ，可使用科学计算器)
解析：(1)如图1，∵每个菱形的边长都是20㎝，
且DE=20㎝, ∴CE=DE,
∵∠CED=60°，
7∴⊿CED是等边三角形，
∴CD=20cm, ∴C、D两点之间的距离是20cm.
(2)如图2，作EH⊥CD于H,
在⊿CED中，CE=DE，
∠CED=120°
∴∠ECD=30°,∴EH= CE=10
,
∴CH=10 , ∴CD=20 ,
∴点C向左移动了(20 －20),
∴点A向左移动了(20 －20)×3≈43.9cm .
(3)如图1，当∠CED=60°时， ∵ED=EG, ∠CGD=30°，
在Rt⊿CGD中， ，∵CG=40,
∴DG=20 ≈34.6；
如图2，当∠CED=120°时， ∠CGD=60°,
∴DG= CG=20, ∴20≤ ≤34.6.
22. 如图，在平面直角坐标系中，⊙ 经过 轴上一点 ，与y轴分别交于 、 两点，连接
并延长分别交⊙ 、 轴于点 、 ，连接 并延长交y轴于点 ，若点 的坐标为(0
,1),点 的坐标为(6 ,－1).
⑴ 求证：
⑵ 判断⊙ 与 轴的位置关系，并说明理由.
⑶ 求直线 的解析式.
8解析：(1)如图1，作DH⊥ 轴于点H,
∵F(0,1),D(6,-1)
∴OF=DH=1,
在⊿OCF和⊿HCD中，
∴⊿OCF≌⊿HCD(AAS), DC=FC.
(2)如图2，⊙P与 轴相切.
连接PC,
∵DC=FC, PD=PA,
∴CP是⊿DFA的中位线，
∴PC∥ 轴，
∴PC⊥ 轴 , 又C是⊙P与 轴的交点 ，
∴⊙P切 轴于点C.
(3)如图3，作PG⊥ 轴于点G,
由(1)知：C(3,0),
由(2)知：AF=2PC,
设⊙P的半径为r ,
则：（r-1)2+32=r2 , ∴r=5, ∴A(0,-
9)；
设直线AD的解析式为 ，
9把D(6,-1)代入得： ，
∴直线AD的解析式为：
七、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
23. 如图，抛物线 ( )位于 轴上方的图象记为 ，它与 轴交于 、 两
1 1
点，图象 与 关于原点 对称， 与 轴的另一个交点为 ，将 与 同时沿
2 1 2 2 1 2
轴向右平移 的长度即可得 与 ；再将 与 同时沿 轴向右平移
1 2 3 4 3 4 1 2
的长度即可得 与 ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象 ,
5 6 1 2
,…… ， ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.
n
⑴ 当 时，
① 求图象 的顶点坐标；
1
② 点 (2014 , －3) 不在 (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象
的顶点 的横坐标为201，则图象 对应的解析式为
n n n
，其自变量 的取值范围为 .
⑵ 设图象 、 的顶点分别为 、 (m为正整数), 轴上一点Q的坐标为(12
m m+1 m m+1
,0).试探究：当 为何值时，以 、 、 、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接
m m+1
写出此时m的值.
10解析：(1)当 时，
，∴F 的顶点是（-1,1)；
① 1
由 知：“波浪抛物线”的 值的取值范围是-1≤ ≤1，
② ①
∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；
由平移知：F ： F ： ，…，
2 3
∵F 的顶点横坐标是201，∴F 的解析式是： ，
n n
此时图象与 轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),
∴200≤ ≤202 .
(2)如下图，取OQ的中点O′,连接T T ,
m m+1
∵四边形OT QT 是矩形，
m m+1
[来源:学.科.网]
∴T T =OQ=12, 且 T T 经过O′, ∴OT =6,
m m+1 m m+1 m+1
∵F ：
1
∴T 的纵坐标为 ，
m+1
∴( )2+12 =62 , ∴ =± ,
已知 ＜0 ， ∴ .
∴当 时，以以O、T 、T 、Q四点为顶点的四边形为矩形.
m m+1
此时m=4.
1124.【试题背景】
已知：∥ ∥ ∥，平行线与 、 与 、 与之间的距离分别为 、 、 ，且 = = 1，
1 2 3 1 3
= 2 . 我们把四个顶点分别在、 、 、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.
2
【探究1】 ⑴ 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直
线于点 . 求正方形 的边长.
【探究2】 ⑵ 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为
. (直接写出结果即可)
【探究3】 ⑶ 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形，
于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点
、 . 求证： .
【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线、上， 于点 ，
且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 ，点 、 分别是
线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 .
猜想： 在什么范围内， ∥ ？并说明此时 ∥ 的理由.
12解析：(1) 如图1， ∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC,
∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d +d =3 , ∴AB= ,
1 2
∴正方形的边长是 .
(2)如图2,3，⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 或
∵BF=d =1 ,
3
∴AE= 或
∴AB= 或
AB=
∴矩形ABCD的宽为 或 .
(注意：要分2种情况讨论）
13(3)如图4，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC,
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.
(4)如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE .
理由如下：
连接AM,
∵AB⊥k , ∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD=90°,
∵⊿ABC是等边三角形，
∴AB=AC ,
已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；
在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，
，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),
∴ BM=CM ；
∴ME=MD,
14∴ , ∴ED∥BC.
15
