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1994年数学(一)真题解析
一、填空题
丄
(1)【答案另
[. / 1 1 \ 工一sin 工
【解】 limcot x I -------------I = lim —:--------------
X—o \sin\z jc f x*o- x sin x tan x
jc — sin jc 1 1 一 cos x 1
=hm-------3----- = vlim-------i----- = T
x-»0 JQ o x*0- X 0
(2) 【答案》2工+ y — 4 = 0.
『解鬥令 F = 2xy + n — e2" — 3,
法向量为 m = {2y ,2h ,1 — e* }(1,2,0〉= {4,2,0},
则切平面为 4(工一l)+2(y — 2)+0(n — 0) = C)9 即 2jc + y — 4 = 0.
兀2
(3) 【答案】尹・
du —e —x s•i _ n - 亠 -- -- I -—cos JC
0JC y y y
带 u x e ° x e " x jc e x . jc
-— = — cos----------cos--------1------sin —,
y y y y y y
d2 u
故
^JC
【解】由对称性得
yj(x2 +y2)dzdy = + J"町九= TtR
~T
D
丄 丄
1 I I
£
(5) E答案》3”t 2 1 7
2
3 1
~2
~2 I
2_
1 y
1
~2丄 1_
1 I 7
2_
所以 An = 3n-1A = 3”t 2 1
_3 1
3
I
二、选择题
(1)【答案1 (D).
【解】M = [2 S^n-^~cos4 jc Ax = 0,
J _今 1 + H
N =J； (sin3 +cos4z)dz = 2J2 cos4 x dx〉0,
~~2
P = [2 (j;2 sin3 j： —cos' )dr = — 2 [2 cos4 jc dj? V 0,
J —— J o
2
则P VM VN,应选(D)・
（2）【答案】（D）.
（D）H（0,0）,
【解】取f（D）=工+»
'0, （工,夕）=（0,0）.
由lim/（-r＞0）-/（0,0） =o 得斤（0卫）二。,同理 £（o,o）=0,即 f{x,y）在（0,0）处可偏导.
工f 0 X — 0
因为 ,jy ） = £ H lim /（x ,j/）= ，所 litlim/ （工，歹）不存在，故 f （jc ,y）在（0,0）处不连续；
j*0 y -- =工 u y= x*0- 一工 Z x*0 y - -0
令产（z，y）= I | + I y | '显然芦（工，夕）在（0,0）处连续'
因为lim/（宀0）—W?曰曲 4 不存在，所以/（x ）在（0,0）处对x不可偏导，同理fG ,y）在
x*0- JC -*0r- JC
（0,0）处对y也不可偏导.
故f（x,y）在Q。，％）处可偏导既非在（工。，九）处连续的充分条件也非必要条件，应选（D）.
（3）【答案】（C）.
+ 2 \
> n 十入
因为及工-^― 都收敛，由正项级数的比较审敛法得工 i"音
收敛,
n=\ n = 1 X 十入 ” =1
8 I I
即£（—1）” /仝"丄-绝对收敛，应选（C）.
” =1 \/z2 2 + 入
（4）【答案］（D）.
a tan jc 十 b (1 — cos x )
匸 c .. a tan jc +6(1 — cos x ) x x a
【解】 由 2 = lim------------------------------------— =lim 2
•*0r- cln(l —2h)+/(1 —已卞) L0 cln(l —2h) + /(l —)
X
得＜2 = —4c,应选（D）.
（5） l答案】（C）・
『解』方法一
由（＜X1 + 么2）—（化+庄3）+（ 。 3 十 S）—（仅 4+（X1）= 0 得向量组 «1 + «2,«2+^3^3+«4^4+®!线性相关，（A）不对;
由（。1 — 0.
十、填空题
(1)【答案】1 —P.
【解】 由P(AB) = P(A B)得
P(AB) = P(A +B) = 1 — P(A+B) = 1 - P(A) — P(B) +P(AB),
即 1 -P(A) —P(B) = 0,解得 P(B) = 1 —P(A) = 1 — p.
/° 1、
⑵【答案】Z〜i 3 .
M T'
【解】Z的可能取值为0,1,
P{Z = 0} = P{max(X,Y) = 0} = P{X = 0,Y = 0}
=P{X = 0} • P{Y = 0} = △，
4
3 /° M
P{Z = 1} = 1 — P {Z = 0}二玄，贝iJZ的分布律为Z〜[i 3 ]・
十一、【解】(l)E(Z) = *E(X)+ *E(Y) = *,
又 D(X) = 9,D(Y) = 16,Cov(X,Y) = pXY • JD(X) • 7D(Y) = ( - — ) X 3 X 4 = -6,
则 D(Z) = (+) 2©(X) + (寺)2D(Y) + 2 X + X 寺Cov(X,Y)
'Lt '
