1994年数学(一)真题解析
一、填空题
丄
(1)【答案另
[. / 1 1 \ 工一sin 工
【解】 limcot x I -------------I = lim —:--------------
X—o \sin\z jc f x*o- x sin x tan x
jc — sin jc 1 1 一 cos x 1
=hm-------3----- = vlim-------i----- = T
x-»0 JQ o x*0- X 0
(2) 【答案》2工+ y — 4 = 0.
『解鬥令 F = 2xy + n — e2" — 3,
法向量为 m = {2y ,2h ,1 — e* }(1,2,0〉= {4,2,0},
则切平面为 4(工一l)+2(y — 2)+0(n — 0) = C)9 即 2jc + y — 4 = 0.
兀2
(3) 【答案】尹・
du —e —x s•i _ n - 亠 -- -- I -—cos JC
0JC y y y
带 u x e ° x e " x jc e x . jc
-— = — cos----------cos--------1------sin —,
y y y y y y
d2 u
故
^JC
【解】由对称性得
yj(x2 +y2)dzdy = + J"町九= TtR
~T
D
丄 丄
1 I I
£
(5) E答案》3”t 2 1 7
2
3 1
~2
~2 I
2_
1 y
1
~2丄 1_
1 I 7
2_
所以 An = 3n-1A = 3”t 2 1
_3 1
3
I
二、选择题
(1)【答案1 (D).
【解】M = [2 S^n-^~cos4 jc Ax = 0,
J _今 1 + H
N =J； (sin3 +cos4z)dz = 2J2 cos4 x dx〉0,
~~2
P = [2 (j;2 sin3 j： —cos' )dr = — 2 [2 cos4 jc dj? V 0,
J —— J o
2
则P VM VN,应选(D)・
（2）【答案】（D）.
（D）H（0,0）,
【解】取f（D）=工+»
'0, （工,夕）=（0,0）.
由lim/（-r＞0）-/（0,0） =o 得斤（0卫）二。,同理 £（o,o）=0,即 f{x,y）在（0,0）处可偏导.
工f 0 X — 0
因为 ,jy ） = £ H lim /（x ,j/）= ，所 litlim/ （工，歹）不存在，故 f （jc ,y）在（0,0）处不连续；
j*0 y -- =工 u y= x*0- 一工 Z x*0 y - -0
令产（z，y）= I | + I y | '显然芦（工，夕）在（0,0）处连续'
因为lim/（宀0）—W?曰曲 4 不存在，所以/（x ）在（0,0）处对x不可偏导，同理fG ,y）在
x*0- JC -*0r- JC
（0,0）处对y也不可偏导.
故f（x,y）在Q。，％）处可偏导既非在（工。，九）处连续的充分条件也非必要条件，应选（D）.
（3）【答案】（C）.
+ 2 \
> n 十入
因为及工-^― 都收敛，由正项级数的比较审敛法得工 i"音
收敛,
n=\ n = 1 X 十入 ” =1
8 I I
即£（—1）” /仝"丄-绝对收敛，应选（C）.
” =1 \/z2 2 + 入
（4）【答案］（D）.
a tan jc 十 b (1 — cos x )
匸 c .. a tan jc +6(1 — cos x ) x x a
【解】 由 2 = lim------------------------------------— =lim 2
•*0r- cln(l —2h)+/(1 —已卞) L0 cln(l —2h) + /(l —)
X
得＜2 = —4c,应选（D）.
（5） l答案】（C）・
『解』方法一
由（＜X1 + 么2）—（化+庄3）+（ 。 3 十 S）—（仅 4+（X1）= 0 得向量组 «1 + «2,«2+^3^3+«4^4+®!线性相关，（A）不对;
由（。1 — </2）+（。2—03）+（么3—。4）+（。4—。1）= 0 得向量组—么2，。2—。3，。3—。4，。4一线
性相关，（B）不对；
由（5 + a2） — （a2 + a3） + （a3 — a4）+（«4 ~«i）= 0 得向量组 a} + a2ta2+a3，a3—«i 线
性相关，（D）不对，应选（C）.
方法二 令 A = (aj ,a2 ,a3 ,a4),因为 ax ,a2 ,a3 ,a4 线性无关，所以 r(A) = 4.
1 0 0 -1
1 1 0 0
令B = («1 + a2 9 a 2 + a 3 3 + 9 a 4 --a i),则〃= A
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 -- 1 1 0 0 _ 1 1 0 0 _ 1、
1 1 0 0 () 1 0 1 1 1 0 0
因为 = =2 H 0,得 满秩,
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 () 0 1 1 <0 0 1 1 ,
所以r（B） ==厂(A) == 4,苗C (X1 + a 2 9(X 2 + a 3，a 3 + a 4 ,(X 4 _°1 线性无关，应选（C）.
1
cos tI 2 — 2z2sin t2 — 2t • —cos t2
dy/di 2t
（1）【解】
dj; dx / At —2^sin t2
d
=—Jin甘则d葺2 L君 1
dx / At J2x
/(.) = -1-10(1 + .)-yln(l-.) + 1
（2）【解】 —arctan x — x f (0) = 0,
"）=莎±5 + 丽£一1 =吕一 i
=刀(，)"=刀h" (— 1 <； x < 1),
m= 1 n = l
X4”+l
于是于(工)=f(jc ) ~■/ (0)= /'(•r)dz = Y (-1 <x < 1).
4n + 1
0 n = l
dx =丄f ______空_______ 1 f (1 — cos x )djr
（3）【解】
sin 2x + 2sin x 2 J sin jr (1 + cos x ) =TJ — sin3 j;
d(sin x )
3 jt djr---- H-----—
sin3 x 4sin\z
令/ = csc3 x dr ,则
I = 一 JCSC X d(cot H ) = — CSC X cot X —
CSC X cot2 J； dj；
—csc x cot x — I + In | csc x — cot x
* (— csc jc cot j; + In I csc x — cot x | ) + C ,
. . = 丄(— csc x cot j; + In I csc x — cot | )------\-----\- C・
故
sin lx + 2sin x 4 4sin x
四、【解】 令纭：N = —R（工$ +y2 £R2）,取下侧，
S2 :z = R Cx2 + y2 WR2),取上侧，
2 :NS3 ：x2 + y2 = R2 (— R W z W R),取外侧，
显然』t严逻旳2 = o,
J工2 +夕 +之
'3
因为2广2 , d为Z的偶函数，所以 f亍聘」o,故 Ir]r x2 z+2 Ayx2 A+yz2 = ■
x + y + z 工十J/十N ・
r十勺
x dj/dz =rr z心血 Pl T x d;y dz
于是I = ”无2 +』2 +才 ” J jc2 + y2 + z2
弋工十夕十N J H 十3/十N
引 2'：2 &‘3
再由』 zdydz _ CP jc dy dz
x 2 — + 7 ~ y 2 ~ I r _ z _ 2 — U ' •申J? +『2 +乙2 £ H 2 + y 2 + N2・
Z2 工3
令羽 Jd+b = R2Q $0),取前侧，因为2 | ：；飞为工的奇函数,
jc + y + z
所以I = x dydz =2：J C J P x2 jc + dy y d 2 z +z2
十；/ + /
Z3 T(l) 丿
3
2 ■R dy 「R 血 2 p2血=8「'R' <R2 _『2曲 R dz
-R ■ -R R2 +z2 0 o R2 +z2
= 8X^X 1 Z R n2R
丘 arctan —
4 o = ~T'
五、【解】 令 P (x = jcy^jc + y) — Q(h,』)=) + jc2 y .
由 \_xy{x + y) — f(.x )j^]dx + (z ) + x2y~\dy = 0 为全微分方程得£ = ,
即 a:2 +2xy-fCx)=严(工)+ 2工夕，整理得 /，(^)+/(J7)=工2,
特征方程为A2 + 1 = 0,特征根为入1 = — i,入2 = i，
显然方程厂(工)+八工)=/有特解几(工)=兴—2,
则通解为 f〈工)=C] cos j: + C2 sin x + j:2 — 2 ,
由 f (0) = 0,厂(0) = 1 得 Ci = 2 ,C2 — 1,故 fO = 2cos x + sin x jc2 — 2.
于是原方程为
\_xy2 — (2cos x + sin jc)y -\- 2yJdj： + (— 2sin x + cos x -\- 2x -x2y}dy = 0»
2 2
其通解是一2j/sin x + 3/cos x + —b 2xj/ = C：其中C为任意常数.
六、 【证明】 由 lim= 0 得 /(0) = 0,/z(0) = 0,
x-^0 3C
由fQ)在工=0的某一邻域内具有二阶连续导数得
/(J7 ) = /(0) + /Z(O)J7 + (；0)工 2 + 0(工2)= Ug2 +。(工2),
=俨・”(竹于是冷)1〜忙•存
因为E | y | •+收敛，所以由正项级数比较审敛法得£ a(+)|收敛，即工于(+)绝对收敛・
七、 【解】AB = {—1,1,1} ,AB所在的直线L的方程为■一占=斗=丰，
——1 1 1
任取M Cr,y,z) E S,其所在的圆对应的直线L上的点为M0(x0,y0,z),圆心为T(0,0,z),
由 | MT | = \M0T \ 得工2+；/ =工：+式,
因为 Mo Qo，，0，z)€ L，所以広° [ 1 =学=手，解得 乂0 = 1 — z ,y0 = Z ,
—1 1 1故曲面 S 的方程为 jc2 + y2 = (1 — z)2 + z2 ,即 = 1 — 2z + 2z2.
所求的体积为
V = J dzjjdx dy = J dz jj dr dy = 7tJ (1 — 2z + 2z2 )dz = 年.
Dz x2+j2^1-2z+2z2
八、 【解】⑴由(I)有p2 分别取「') = (°)和()，得(i)的基础解系为
13C 4 JC 2 ・ 乂 3 10
(0,0,l,0)T,(— 1,1,0,1)T.
(2)有非零公共解.(II)的通解可表示为(工1，工2，工3，工4)丁 =(―丘29紅+2& 2，紅+2怡2'怡2)丁，
将其代入(I)得
J— k 2 +(&1 +2怡 2)= 0,
1(局+2怡2)—怡2 =0,
解得怡1 =—怡2 •
当紅=—局h o时，(n)的通解化为
紅(0,1,1,0)丁+馬(一1,2,2,1)丁 =紅[(0, — 1, 一 1,0)丁 + (― 1,2,2,1)T]=馬(一1,1,1,1)丁，
此向量即是(I)与(U)的非零公共解，故方程组(I )( II )的所有非零公共解是
肛一是不为零的任意常数).
九、 【证明】 由A * = At得知 =A”(i ,j = 1,2,…，”)，
因为A为非零矩阵，所以矩阵A中有非零元素，不妨设a“工0,
故 | A | = aiiAn +—2人12 -------5”Ai” = tzii + fli2 H---------a\n > 0.
十、填空题
(1)【答案】1 —P.
【解】 由P(AB) = P(A B)得
P(AB) = P(A +B) = 1 — P(A+B) = 1 - P(A) — P(B) +P(AB),
即 1 -P(A) —P(B) = 0,解得 P(B) = 1 —P(A) = 1 — p.
/° 1、
⑵【答案】Z〜i 3 .
M T'
【解】Z的可能取值为0,1,
P{Z = 0} = P{max(X,Y) = 0} = P{X = 0,Y = 0}
=P{X = 0} • P{Y = 0} = △，
4
3 /° M
P{Z = 1} = 1 — P {Z = 0}二玄，贝iJZ的分布律为Z〜[i 3 ]・
十一、【解】(l)E(Z) = *E(X)+ *E(Y) = *,
又 D(X) = 9,D(Y) = 16,Cov(X,Y) = pXY • JD(X) • 7D(Y) = ( - — ) X 3 X 4 = -6,
则 D(Z) = (+) 2©(X) + (寺)2D(Y) + 2 X + X 寺Cov(X,Y)
'Lt ' <J Lt
=yD(X) +yD(y)+ yCov(X,y)= 14-4-2 = 3.(2)Cov(X,Z) = Cov(x,y) + Cov(x,y) = yCov(X ,X) + yCov(X ,y),
又 Cov(X,X) = D(X) = 9, Cov(X,Y) = —6,
则 Cov(X ,Z) = yX9 + yX(-6) = 3- 3 = 0.
Cov(X,Z)
所以 Pxz =
丿D(X) - TdczT
•因为A可逆，且（X,Y）服从二维正态分布，故（X,Z）也服从二维
正态分布，又因为Qxz =0,所以X与Z相互独立.
