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1997年数学（一）真题解析
一、填空题
3
⑴【答案】 y.
3sin x + 2 cos — 3sin z + 工 $ cos — 3sin 工 + 工 2 cos —
【解］ 映(1 + cos x)ln(l +x) = 1 —ln(l + z) x =v Z 1 X li - m *O x jC
=£lim(3 巴三+ zcos
2 x-*0 \ x
（2）【答案】（一2,4）.
【解】 因为幕级数工;“a”（z —1）"七的收敛半径与的收敛半径相同，
” =1 ” = 0
所以工皿”（工一1）宀的收敛半径为R = 3,故所求收敛区间为一3 Vz-l V3,即（一2,4）.
n = l
（3）【答案】y = —jc + e2 .
=e cos 9 ,
【解】 对数螺线的参数方程为
5 =e sin 0.
当0 =守时，（工，歹）=（0,e2 ）,
2 d』=dy/d& cos 9 + sin 0 曲I
djr dx / d0 cos 9 — sin 9 dz I 0=JL
故所求切线的直角坐标方程为y — e2 =—工，或;y = —z+J.
（4）【答案】一3.
【解】 方法一 因为B^O且AB = O,所以方程组AX = 0有非零解，
1 2 -2
于是 | A | = 0,而由 \A\= 4 t 3 =7t + 21 = 0,得 £ = —3.
3 - 1 1
方法二 由AB =O得厂(A) +厂(〃)£3,
再由 B^O 得厂(3) $ 1,于是 r(A) < 2 < 3,故 | A | = 0,解得 t = -3.
2
(5)【答案】百・
□
【解】 令人=｛第一个人取黄球｝,A2 = ｛第一个人取白球｝,B = ｛第二个人取黄球｝,
2 3 1Q 90
PCAJ = —, P(A2) = —, P(B | AJ = —, P(B | A2) =
□ □ 49 49
则 P(B) = PCA^PCB | AJ + P(A2)P(B | A2)
2 19 , 3 20 2
=—X — -1— — X —=:—
5 49 5 49 5 '
二、选择题
(1)【答案】(C).
【解】 因为lim/Xz 9y) = £工lim f(x =-- ，所以f(J _f (b)dx = f — a) = S2 ;
再由f"S >0得/(x)为凹函数，
rt> i
于是 Si =] < y：/(a) +/(&)](& -a) = S3 ,即 S2 < S, < S3 ,应选(B).
(3)【答案】(A).
【解】由周期函数定积分的平移性质得
F(x ) = [ e"11' sin rdt = [ [e""' sin t + 严_‘> sin(—t)]dt
J —n J 0
当 t e [0,7t]时,(es,n, -e-sin,)sin t MO,则 FQ) > 0,
故F(x)为正常数，应选(A).
（4）【答案】（D）.
fajX +bxy = —Ci ,
【解】三条直线交于一点的充分必要条件是方程组＜a2x+b2y = -c2，有唯一解，
L 3-^ + b3y = -5
即 r(A) = r(A)
2
3
故ai ,a2,a3线性相关，而＜a2线性无关，应选（D）.
（5）【答案】（D）.
【解】 已知D(X) = 4, D(Y) = 2,
因为 X,Y 相互独立，所以 D(3X — 2Y) = 9D(X) +4D(Y) = 36十8 = 44,应选(D).
（1）【解】 平面曲线$ = 2Z，绕z轴旋转一周形成的曲面为S：^2+j；2 = 2z,
1工=0
则 Q = {Cx ,y ,z) | (乂，》)6 D=,0WzW8},其中 D= = {(z,y) Id+y'WZz},
于是I = jjj (jr2 + y2 )du
=] ds：jj( j; 2 y2 )da: dy = 2k | '8dz •727
r3 dr
n 0 " D. 0 o
1 024tt
=2tc z2 dz =
J o ~~3-
(2)【解】方法一
(x = cos t ,
令C Ay = sin t, (起点t = 2兀，终点t = 0)，则
[n = 2 — cos t + sin t(n — jOdr + (工一N)dy +(H — y)dz
(2 — cos Z) (— sin £) dr + (2cos t — 2 — sin t) cos £ dr + (cos t — sin E) (sin t + cos t)dt
2k
= (3cos2Z —sin2Z — 2sin t — 2cos E)dt
J 2n
= —3J cos2 zdz +| '2nsin2 tdt = — 12 | cos2 zdz + 4 | 72 sin21 dz
0 o o
= _8xTxT = _27r-
方法二
设c所在的截口平面块为工，方向向下,
取= {—1,1, — 1},方向余弦为 cos a =----9 cos B = — ,cos
V3 73
(N — + (工一z)dy + (a: — y)dz =
c
=-2 Ajc dy = —2兀・
2+/©
（3）【解】由题意得
d«z
-T- = b 工(N —工)9
dt
x (0) = Ho ,
IdI x/ 1 jr
由工(N —乂)= kAt 得 NlnN^7 二怂 +C，
Nh°严
由 乂（0）=冲得 C =亓 InU;，故鼻⑺=N — s +.oe--
四、
（1）【解】 曲面z = J：2 +y2在点（1, —2,5）的法向量为
n ={2z ,2y , — l}（i,-2,5） ={2, — 4 ? — 1},
即平面7T的法向量为” ={2,-4,-1},则平面7T的方程为
兀：2(无一1) — 4(y + 2) — (n — 5) = 0, B 卩 兀：2工—4：y — z — 5 = 0.
直线L的方向向量为$ = {1,1,0} X {1 — 1}= {— 1 9 1 S — 1 },
因为L在平面7T上，所以m • s = 0,解得a = — 5.
\z + v + 6 = 0, f v = — t — b
由 得 代入平面TT得b = —2,
jc — 53/ 一 z 一 3 = 0 + 56 一 3 ,
艮卩 q = —5,5 = —2.
⑵【解】 < =/z(eJ sin y^e1 sin y , f ( sin 3/ )ex cos y ,
ox
d2 Z
/，z(er sin 3/) (eJ sin y)2 + f\ex sin y )sin y ,
3 j: 2—y = /z，(ex sin jz) (ex cos yY — ff CeT sin y)ex sin y ,
3y
□2 n2 n2
—y H----y = f"g sin y)e2x，令 eJ sin y = u 由—y + = e2xz 得 f"(u) — f (u) = 0,
dx dy djc dy
ff/Cu) — /(u) = 0 的通解为 /(w) = C} e~u + C2eu (C\ 9C2 为任意常数).
五、【解】 由lim“m=A 得/XO) = 0,f'(0) = A,
工f 0 X
当 z = 0 时 9卩(0) = 0;
[ f(u)du
当 zHO 时，°(z) = — f (z£)d(Ht) =--------------,
乂 J o JC
0, •Z = 0 9
即卩(w ) = V /(u)du
o
乂 H o.
X
jcf(J7 ) — | /(u )du
当工工0时9卩'(工)
~2
J
~
0
JC
/(zz)du
当乂 =0时，由lim 也二凹 =lim 0 =斗応4 =令得卩‘(0)= 4
x-»0 X 工f 0 X2 Z x*o- x Z Z
A
X =0,
T
于是")=Y
jcf(J7 ) — /(«)du
_____________
X
_£
2
o____________ X 工o.
/(w)dzz A
因为lim/Q) = lim f(工)_ 0 '(0),所以卩'(h)在无=0处连续.
x*0- x*0- X X2
六、【证明】 ⑴由a”+i =寺(a” +丄)$ 1,得数列｛a”｝有下界；
2、 a„ /
I __ 2
由 m =^-(an+-]-an =-^仝£0,得数列｛-｝单调递减，
由极限存在定理得lima”存在.
OO
(2)因为数列｛a”｝单调递减，所以 —-1 >0,即工(—-1)为正项级数，
5+1 n = l \° 卄 1 /
而 0 W 玉一1 = Q"—仕 < a” -a„+1 ,
a ”+i a ”+i
级数另 a — Q”+1)展开得 S„ =(5 — 如)+(。2 — 03)+ …+(S — Q”+1)= 2 — a”+i ,
因为limS” = 2—lima卄i存在9所以级数工(Q” 一a卄i)收敛9
” f8 ”f°O ” =]
由比较审敛法得级数工;(d_l)收敛.
—,\q “丄 1 /
七、
(1)【解】 因为r(B) = 2 < 4,所以BX = 0的基础解系含两个线性无关的特征向量,
因为«! ,a2线性无关，所以a, ,a2为基础解系，1 r2\
i
令 01 = s = 1 芹 (a 2 乔 ，0i) " a 1 1 1 1 _ 2
2 4J T 2 _ T 5
1
u
-2'
1 > 1 1
则BX = 0的解空间的一个标准正交基为71 ，y?=—=
2 5
3, 、—3,
⑵【解】(I
解得Q
A — 2 1 -2
(n ) | AE - A I = -5 入 + 3 — 3 =(A + 1)3 0得入］=入2 入 3 =—］，
1 0 A +2
-3 1 0 1
-E-A = -5 2 1 1
1 0 1 ' 'o 0 0
因为r(-E-A) = 2,所以A不可相似对角化.
八、
(1) 【证明】 显然 B=E(J,j)A 且 |E(i,j)| = —1.
因为A可逆，所以|A |工0,
于是| B | = — | A | # 0,故B可逆.
(2) 【解】AB 1 = AA~}E(i,jrl = E(i,j)7-1 =
2 2 k _3 3—k
九、【解】显然X ~ B 3,—,即P{X = e} = G M = 0 91,2,3
5
当工 V0 时，F(z) = P {X } = 0
27
当0W JC < 1 时，FQ) = P{X < h} = P{X = 0}=—
O 1
当］W JC < 2 时，F(«z) = P{X < ^}=P{X = O}+P{X = 1} = —
IZo
117
当2 w JC < 3 时，F&) = P{X < = P{X = 0} +P{X = 1} +P{X = 2}=—
IZo
当工 $ 3 时，F(h) = 1,
h V 0,
27
0 W 工 VI,
125'
即FQ)亠质O 1 ，
1 G V 2,
117
2 £ 工 V 3,
125 ?
、1， 工M 3.
E(X) = np =丄
5fl fl 0 + 1
十、【解】E(X) = J 0 x f (jc)dx = (0 + 1) J o x ^+1 dx = & t 十 ——/r ,
— 0 + 1 — 亠 2X — 1
由E(X) = X,即厂J = X,解得0的矩估计量为0 =—— ；
0+2 1-X
似然函数为L(0) = fS ；0”(工2；0)・・・/(6；0)
=(0 + 1)"(工1工2…工”)&，其中0V«z\ V 1 »z = 1,2,・・・皿，
In L (^) = nln(0 + 1)+0 工 In x, t
«= i
由 盘In L(0) = 7-^-7 + = 0,得 & = —1--------------,
d" "十 1 ： = ]
In 工；
i = i
- T1
故0的最大似然估计量为0 = -1------------•
Sin X,
1 = 1
