文档内容
2001年数学（一）真题解析
一、填空题
（1）【答案】yf — 2j/ + 23/ = 0.
【解】 由通解形式得二阶常系数齐次线性微分方程的特征值为AU2=l + i,
特征方程为（入一1 — i） （A — l + i）=C）9即入？ 一 2入+ 2= 0.
故微分方程为yf — 2yf + 2歹=0.
2
（2）【答案】三・
z
【解】
r
r----无-- - 2 r--------- y -- 2 Z 2
~ ~7
2
div(grad 厂) ----------------H------------------—
r 2 *1 r2 r2 r
于是 div(grad r) |(i,-2,2) I
（3）【答案】 fG，丿)dy・
1—X
「
【解】 0 * 1 1 2 —y /(□: ,y}Ax *0 '2 f(jc 9))dz 9
-1 i— 》
如图所示，将。={（工，夕）| 1一夕£工£2, — 1三了€
示成X型区域为
D = {（_z,y） | lW_z£2,l—攵£夕冬0},
'1—y
故 f （j- ,y）dx改变积分次序为
'2
f ( 9 y) dr djr 于(工,y)dy.
2 1-X
(4)【答案】 y(A +2E).
【解】 由 A2 +A - 4E =O,得(A —E)(A+2E) =2E.
于是(A -E) - y(A +2E) =E，由逆矩阵的定义得(A -E)_1 = y(A +2E).
（5） 【答案】 y.
【解】 由切比雪夫不等式得
P{|X-E（X）|＞2}
二、选择题
（6） 【答案】（D）.
【解】 当工＜0时，由/■&）单调增加，得f\x） $0,则（A）,（C）不对；
在z = 0的右邻域内，由/（乂）单调增加，得于'（工）＞ O,!iIlJ（B）不对，应选（D）.（7）【答案】（C）.
【解】 因为函数可偏导不一定可微，所以（A）不对;
曲线 在（0,0,/（0,0））处的切向量为
1 1 -Z
J y
9
1 0 9 0 0 0 1
(0,0)
Z —f * '八在(0,0,f (0,0))处的切向量为{1,0,3},应选(C).
于是曲线
)=0
(8)【答案】(B).
【解】 因为当力~0时,1 - cos A -* 0+ ,
IU .. /(I — cos h ) /(I — ccooss h) — / (0) 1 —昇（0）,
h->0 h2 1 — cos h h2
即忸書也存在只能使右导数存在，故（A）不对;
- /(A — sin h ) / (A — sin h) — /(0) h 一 sin h
lim----------e--------= lim------------------:~:---------
A—o h a->o h ——sin h h2
e、「• h 一 sin h 小 匕 Li\r「 f （h — sin h ）"亠才 宀/士f （A — sin h ） — /（0） 士
因为lim--------—— =0,所以lim --------；----- 存在不_定使lim ---------------—r-2—— 存
a->o h A-o h h —sin h
在，即）在=0处不一定可导，（c）不对；
取 /'（■r）= F' X 显然 厶八"）=1,因为 lim/Xj?） =0 H _/（0）,所以/'（工）
, 12, x =0, I h …
在工=0处不连续，故在z = 0处不可导,（D）不对，应选（E）.
方法点评：导数定义为lim 竽=厂（攵（）），等价定义为lim "" '----了口" = f'（工Q ,
心 △乂 X — X
~0 0
考查导数定义时一定要准确理解导数定义的本质，注意如下三个方面：
（1） 导数定义中\工f 0要同时保证Ax f 0'和f 0一 ；
（2） 定义中函数增量后一项必须为/（乂。），
口
即 lim
/ （j c0
-----
a
--
h
--
）
-厂
—
2
/
—
（J7
2-
O
-
+
--
6
-
A
-
）
S 工0）存
h
hf o
在不能保证十（工。）存在；
（3） 分子分母自变量改变量的阶相同，即lim + "）二心也中a,0是同阶无穷小.
a
a—0
p->0
（9）【答案】（A）.
【解】 令丨入E — A | = 0,得A的特征值为A J = 4 ,A 2 =A3 =A4 =0.
显然B与A特征值相同，且A.B都是实对称矩阵，故A.B相似且合同，应选（A）.
方法点评：设A,於是两个实对称矩阵，则A与B相似的充分必要条件是丨XE—A |= | XE—B |,
即两个矩阵的特征值相同；
设是两个实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是A ,B正、负特征值的个数相同.
（10）【答案】（A）.
【解】方法一由X+Y = ”，得丫 = —X+兀，于是D(X) =D(y), Cov(X,Y) =Cov(X, —X+“)= —D(X).
Cov(X,Y) D(X)
故g =—1，应选（A）.
7d(x)• 7dTy) —D(X)
方法二 因为 P{Y = -X+«} = 1 且一1 VO,所以 PxY=-l,应选（A）.
方法点评：设X ,丫为两个随机变量，若pXY=l,称随机变量X ,Y正相关，其充分必要条件
为 P {Y = aX 4- 6} = l（a > 0）；
设X,Y为两个随机变量，若pXY = 一 1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为
P {Y —aX + b} = l（a V 0）.
三、解答题
（11）［解】 方法一 令er =t,则
f arctan eJ arctan t、 1
—dr arctan td(t~2)
e2j 2
1 arctan t + 2 丨? z 八
—arctan dt
2八 2 J ?(l+z2)
1
—arctan
2d
1
—arctan
2〃
1
arctan eT-------------arctan ex + C.
2? 2e『2
方法二
f arctan er 1 arctan e" + 1 e 2,r
djr ------ arctan e' d(e~2j ) . • p r d 7*
e2j 2 2e2x 2 J i + 宀
arctan eJ [dCe") arctan eJ (7 1 * 1 )
1 0(1 + 0) 丄+ 2J\e2x d(e’)
2e2x 2“ 2e2x 1 + e2x /
arctan 1 1 r
------；--------------------arctan e + C.
2 尹 2eJ 2
(12)【解】具
b（_z） = 3爭2（工）爭'（工），
而卩'(工)=于((工 JQ 9工))+ /!(工 JQ 口)) • [_f\ (工 9无)+ (j? 9 无)]9
卩(1) = /(1,/*(1,1)) =/(1 , 1) = 1 ,
3f_ ， ( )
由 /；(!,!) 2, /2 bl =S =3 9
3x
(1,1)
(i,i)
得^z（i）=/；（i,/（ia））+ /；（i,/（ia））• ：/；（ia）+ /；（ia）i
= /；（ia）+ 兀（1,1） • ［”（1,1） + 兀（1,1）］ =2+ 3（2+ 3） =17,
故具爭3（H ）
= 51.
dj- 1
i °°
(13)[解】 由(arctan 工)‘=----- -=工(一 1 )"工" (-1 < 1),
1+力
n=0
> oo
所以 arctan x = arctan 0 + E严m,(T)" 2” ,p(― 1)
于是fCx ）=工 ” =。2兀+严 +乙
2
9
"
丄
+
严
1
2„+2
” =0
1+V^E立 (f
2” * V
2 2“ + 1 召 2“ —1
(-1)"
= 1 + 2 ^2 ---------x 2"(— W1),
1 — 4/?
” =i
,,_(- ]1))"" 1 r r / i \ -1 1 _ 兀 1
故 §r^=7C/(1)-1] = T-T
(14)【解】 设截口平面为X,按右手准则2取上侧Q的方向向量为K ={1,1,1},
丄 1
方向余弦为cos a cos B =—— cos 7 ——
73 V3 V3
由斯托克斯公式得
1
a
dS —寸(4w + 2? + 3n ) dS
dx V3-
2 2 2z2 —了
y — z
+ 6)dS = dS = = — 24.
x — y
2 D
方法点评：三维空间对坐标的曲线积分常用两个计算方法:
方法一定积分法
lx =卩（才），
设L ：夕=° （£ ），（起点t =a ,终点t = 0） 9则
In =co （方）
Pdj： + Qdj/ + Kdz = {P [串（t）90（£）9S（£）]卩'（t） + Q[°（£），0（£）2（r）W（£）+
R [卩（Y），°（r）93（r）]a/（£）}d/・
方法二 斯托克斯公式
cos a COS P cos y
a d 3
Fdjr + Qdy + Kdz = dS.
Sx dz
P Q R
（15）[证明】（I ）由微分中值定理得/（^） -f（0） =/"[O + 0（U_z ,
即 _/（工）=_/（o）+/'[e（工）z]工，其中 9（x） c （o,i）.
不妨设_/'（工）=/（0）+/''[01（工）工]工，/■（•z）=y"（o）+y'[&2（H）v]z，
两式相减得/"'血（工）工]工=_/'[&2（攵）幻2，
注意到攵工o,则有/■'[&1（工）2]=/''[02（工）攵].
因为y〃Q）连续且厂（工）ho,所以厂（工）＞o或/〃（工）vo,即十（工）单调增加或单调
减少，于是齿（工）=九（工），即存在唯一的0（久）6 （0,1）,使得
/（J? ） =/（0） + （X）J7 .
（II）由泰勒公式得
/（x） =/（0） +/（0）^ + 轿仝川，其中E介于0与工之间，于是 八0)+/ (0)宀 2!「/(0)+/[0"工
或
由严(工)连续及/〃(工)H0,两边取极限得严(O)lim0Q)=常"，故limOQ) =£.
丁一*o Z! 才-*o 2
(16)【解】/时刻雪堆的体积为
P1") fT
V(t) = j dz Jj djr dy — —7T JP '(,> [A2(Z)~ h (t) z^dz =——TTh 3- ——(t)
—人
2 2 '("-"(Cz
J +>‘ w-------------------
13 兀/z 2 (/ )
12
由题意得晋=-O.9S&),整理得/A/)
=—不，解得力(/) = -—t+C，由 A(O)=13O
得C = 13O,于是A(z)=-—r + 13O,令h(t) =0得/ =100(小时)，即高度为130厘米的
雪堆经过100小时可以全部融化.
方法点评：本题考查微分的实际应用.重点要理解元素法的思想，元素法的具体步骤为：
(1) 先假设有关的自变量和函数(有时需要建立适当的坐标系)；
(2) 取自变量的区间元素，根据问题的实际含义求出所求量的元素；
(3) 将所求量的元素在自变量区间上定积分.
【例】 设水桶含10 L液体，浓度为15 g/L,现往桶中以2 L/min的速度注清水，同时将桶
内液体搅拌均匀后以2 L/min的速度排出，问经过几分钟液体浓度降低一半？
【解】 设第t分钟时溶质为m(t),取［/ , / +山］,则dm = 0 —巴］? X 2ck.
fdm 1 门
. . ----1—= 0 9 厶
于是有』曲 5 解得m(t) = 150e 5 .
［m (0) = 150,
令 m(z) = * X 150,解得 t — 51n 2(分钟).
(17)【解】 因为 为AX =0的基础解系，所以 线性无关.
a, ,a2,-.a5 -.a,
由齐次线性方程组解的结构性质得"「 、仍为方程组 的解，
02，…，0 AX =()
则攸，比，…•攸为方程组
AX=O
的基础解系的充分必要条件是負』
2,
…卩$线性无关,
h 0 0 .•• (2 '
t 2 G 0 .•• 0
而(01,02，••• •".、•)= (a 1 ，••- ,a 、) 0 t 2 tl ••• 0
0 0 0 .0 0
(2
0 0
(-2 1
则莎 ，伏线性无关的充分必要条件是 0 0 =冇+(― 1)卄匕工0,
.“2,… 2 1
0 0 0
<1
当t\ + (- 1)7 H 0时，即当S为偶数时心 H士 t2 ；当 5 为奇数时 工一上 2 ，向量组
01. ，“、为方程组AX=O的基础解系.
“2,…
1° 0 0 \
0 3 \=PB,
(18)【解】(I )由 AP = (Ax ,A2x ,A3x) =(Ax ,A2x ,3Ax -2A2x) =P 1
'o
1 — 2'
/° 0 O \
得A =PBP _1，其中B =1 0 3
'o _ 2丿
1
A 0 0
(U )由丨 XE-B | = -1 A — 3 =(入 + 3)A (A — 1) =0,
0 -1 A +2
得B的特征值为心=—3，入 入 =1.
2 =0 9 3
〃
因为A ~B,所以A的特征值为;h= —3,入2= 0,A3= 1，于是A+E的特征值为 i= -2,
“2=1，“3=2,故 | = — 4.
方法点评：求矩阵的特征值通常有如下三个方法：
(1) 定义法，即令AX =AX(X H 0),通过矩阵满足的方程求出矩阵的特征值.
【例】 设A为方阵，且A2 =2A,求A的特征值.
【解】令AX =AX,由A? =2A得(入$ — 2入)X=0,因为XHO,所以入=0或入=2.
(2) 公式法，即通过特征方程|入E —A | = 0求出特征值.
(3) 关联矩阵法，即若A〜B,则| AE-A |=| AE -B |，从而特征值相同.
(19) 【解】(I )X 的分布律为 P{X =k}=-^-e^(k =0,1,2,…).
k !
P{Y=m | X =n} =C：prn(l~ pY~m(Q =0,1,2,-).
(II )P{X =n = m} = P {X =n} P {Y =m \ X = n}
= C；：//"(1 — e~A(0 m < 7? =0,1,2,-).
n !
(20) 【解】 令Y, =X, +X„+,(1 < z < ),因为X] ,X2,-,X2„相互独立且服从正态分布，
所以 V,〜N(2〃 ,2
