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2014 年对任意的常数K小矩阵A的秩都为2,
+ + 一
所以若向量a口a2,�am3线 性无关，则a1 ka3 , a 2 la3 定线性无关．
而当a,�[:] ,a, ,a ,�[�]'寸
+ +
对任意的常数k,l,向 量a1 ka3 , a 2 la 3线性无关，但a1,a2 ,a3线性相关．故应选A.
(7) B
— = = =
解P(A B) P(A)-P(AB) P(A) -P(A)P(B) P(A)-0.5P(A)
令
=
0.5P(A) =一=0.3,
=
得P(A) 0.6,
— = — = — =
则PCB A) P(B) P(AB) P(B) P(A)P(B) 0.2. 故应选B.
(8) C
= —
解 因为X; -N(O,矿 ），i 1,2,3,所 以X1 X2 -N(0,2矿），则
X1-X2
-N(O,l),
＿ 扣
x3 x3 2
又了-N(O,l),则仁）～农Cl).由t分布定义，知
—
X1 X2
工厂
｀ m.
故应选C.
二、填空题
—
(9) 20 Q
—
解 收益函数R(Q) = PQ =20Q- 1 Q 2 '所以边际收益为R'(Q) = 20-Q.
2
y
—3
(10) -ln2
2
解 区域D的图形如右图所示，面积
s=J:[
—�-(-y)] dy xy=-1
=(f I: X
—
lny
)
y=-x
—3 —
= ln 2.
2
1
（11、_
丿2
解
由于rxe
2
xdx =产(2x
—
1) 1·
=产
(2a
—
n+ 』二二
，
0 4 0 4 4 4
=—1 .
得a
2
e-1
(12)
2解 如右图所示，则
勹— y
I: dy f:( e')dx
—
= I: dy I: �dx I: dy I: 矿dx
厂
—
= L dx �
-f
dy- I: 产
f
(1 y)dy 。
X
1
—
＝『产dx 矿dy+ ye'dy =』e'/ =_!_Ce 1)
2 0 2
(13) [—2,2]
解 由配方法可知
f(x1 ,xz ,x3)= x1
—X
2 + 2ax IX 3 + 4x 2 X 3
2 — 2
=( x 1 + ax 3) (x 2 -2x 3) + (4 -a勹x!.
2 o,
由于负惯性指数为1,则4-a 诊 所以a的取值范围是[—2,2].
2
(14)
5n
厂
解 E(x 2 )= 厂X 2 f (x)d x = r OX 2• 红2 dx= 2 2 x 3 dx=三矿，则
-= o 30 30 e ＾ 2
艺 区 " 2 5 古
E ( x:) =ctECX了）=c E(X )=en• —矿 胪
,-1 ,-1 ,-1 2
=—2
所以c '
5n
三、解答题 f
+ — —
』X
—
厅(e 1) t]dt ［广(e+ 1)-t]dt
1 1
(15)解 又·l-im+=
2 —1
= xl-im+=
X
x ln(l+ X)
2 1 —
= x l - im 十= [x (e了—1) x]
1
令u =—
X e" — 1 — u
lim 2
u-o+ u
. e" — 1 1
—
=hm = .
u-o+ 2u 2
』
二） J1
xsin(rc: cos()
(16)解 dx dy = d() • r rsinrc:rdr
D x + y o cos0十sin() 1
t
=厂
cos0 sin0
由于 d() d()
o cos0十sin0 o cos0十sin0
＝』厂
cos0+ sin()
d()
2 o cos0 + sin0
王
＿4，
＿
『
2
』 』 3
rsin1trdr= —rcos1tr+ sin1tr)
］ 亢 （ 亢 I 1t
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亡
故
xsin(六五+ 了）
dxdy =
—
支·
D X y 4
clz cJz
— 1 — 工
(17)解 因为 ＝厂(e cosy)e飞osy,—= 厂(e飞osy)e siny,
五 吵
—心— —心
所以cosy siny =(4z十e飞osy归化为
归 炒
工 工= 工 1
厂(e cosy)e [4f伲cosy)+e cosy]e .
即函数f(u)满足方程
=
厂(u)-4J(u) u,
该方程的通解为
u 1
f ( u ) = C e
u4 — 一 一 —
"
4 1 6
=—］
又f(O)=0, 得C '
16
1 4
古文f(u) =-(e " -4u -1).
16
=
(18)解 幕级数的系数an (n+D(n+3).
lan+if = (n+Z)(n+4)= =
因为 n l - im = I an f n li - m = (n +1 )( n +3 ) l, 所以收敛半径R l.
= =
= —
当x 士1时，因级数�(n+l)(n+3)及�(n+DCn+3)( 1)"发散，
n�o n�o
故收敛域为(-1,1),
（沁
= —
设rS(x) �(n+ 1 ) (n + 3)x勹XE( 1,1 )'
n-0 t
= =
则 5 (t) dt = (n+ 3 )x n+ l = � ( n + 2 ) X n + I + � X n + l , 。
n � O n-0
其 中 � X
n + =l X
'
n - 0
言
n�O l-x
(�J: 2 勹二
n+ = n+ = = x
(n+2 )X l (n +2 )t 1 dt) 1 ( l � x )' - x / 2'
所以S(x)
= ( 勹 二）
2
2 ) ' + ( 1 � x )
=
' c t =- : ) 3 ' x E C
—
1 , 1 )
r r
(19)证 C I)因为0冬g(x)冬1,
I:
< <
所以当xE[a,b]时有， Odt a g(t)dt a ldt.
x
—
即0冬『g(t)dt冬x a. a
=』
+ u —
C II)令F(x) : J:g(u)d f( t)d t f :J(t)g(t)dt,x E [a,b].
因为f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，
所以F(x)在区间[a,b]上可导，且
』
X
=
尸(x) [f (a+ g( u)d u) -J (x)] g( x).
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由CI)知，a + g( U)d u < X ,
又因为f(x)单调增加，且 g(x)�O,
所以F'(x)< O, 从而F(x)在区间[a,b]上单调减少．
又F(�)=O,故F(b) 1) =l—P{X =l,Y=l} =—.
9
