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2013年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】方法一 由洛必达法则，得
1—亠
lim x — arctan jc —l . i m------- 1 - — + - X -- -= lim . x 2 = — 1丄 Ih. m— X ^ 2 9
X—0 工-* 0 kx 工-* 0 （1 +工彳加H k X-O JC
于是％ — 1=2,即怡=3,且lim壬•二
ar
》
tan
工=£,应选⑴）.
L0 X 3
3
方法二 由 arctan x ----------------O(JC 3 ) 得 x ——arctan x
工曰 7 o D1- x ~ arctan jc x — arctan x 1 宀、斗小、
于是k =3,且hm------------------= lim--------------------=〒，应选(D)・
■r~*0 X 工~* JQ 3
0
(2) 【答案】(A).
【解】 令 F(z ,z) =/+ cos(zjy ) + w +工，
则 n = (F； ,F；,F：) =(2_z — jysinQy)+ 1, — a： sinQjy) + z ),
曲面 a： 2 + cos(xj/ )+w+h = 0 在点(0,1, — 1)处的法向量为 n = (1, — 1,1),
切平面方程为 7T : (j? — 0) — (j/ 一 l) + (z + l) = 0,即兀：工 一 y z = 一2,应选(A).
(3) 【答案】(C).
【解】 将函数于（工）进行奇延拓，再进行周期延拓，函数 g 的正弦级数为〉＞”sin“工.
n = 1
S（_z）为正弦级数的和函数，显然S（x）是以2为周期的函数.
于是S（—沃S — S&）.
因为工=+为 fG）的连续点，所以 S（— ） = S（— ） = —S（+）= —/"（+）= _*，
应选（C）.
（4）【答案】（D）.
Di Di=7r----a:2 dx dy
D]
扌 '2tc皿!"*“=密
(x2 + j/2 ) dj? dj/ = 7T----
0 J o 8
D1
—牙2 )山曲=J(1—于—牙)dr*
I2=JJ 2-jc2 - 1
°2 °2
2兀--3 jjj：2 dr dy = 2tc------{x2 + j;2 ) dj? dj/
2JJ
D一 2 D2
2兀-壬 '2k '吃 TT
d0
0
2 2
2 一 x2 一 1
3
2k 2 厂'cos'O----r2 sin 9^42 r dr 3^2
= ~T^
0
2 2 \
2 -j：2 一 1 —[
D4 D4
= [ d0 [ (1一r2 cos2 9—r2sin20) ^2rdr =^~
兀9
J 0 Jo Z
0
因为I,最大，所以应选（D）.
（5）【答案】（B）.
【解】 令 JB = （01 ,02，…,0”），C = （?! ,72 ,•••,/„）.
由 AB =C，即 A （01 ,仇，…，0”）=（丫 1，丫2，…，7”），得 A0：=化 G =1,2,…，7z）,即矩阵 C 的
列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示.
因为B可逆，所以A -CB \即A的列向量组可由C的列向量组线性表示.
故C的列向量组与A的列向量组等价，应选（B）.
,b为列向量，则AX =b等价于
•ZiS + x2a2 H----+x„a„ = b，即b可由A的列向量表示.
令 A =（5 ,。2,…，a”），〃 = （0i ,02，…，0”），C = （yi ,人，…，y”），则 AB =C 等价于
Ap, = y,（z =1,2,•••,/?）,即C的列向量可由A的列向量线性表示.
（6）【答案】 (B).
Z1 a [2 0 0
【解】 令A = b a， B = 0 b 0
J 'o
h a 0 0
因为A.B都是实对称矩阵，所以A ~B的充分必要条件是A,E特征值相同.
B的特征值为入1 — 2,A2 =6 ,A3 =0.1 一 a — 1 1 ——a -1
1
而 | 2E —A | = 一 a 2 — b — a —a 2-b 一 a = 2a
—a
—1 一 a 1 0 —2a 0
° ,、
所以a = 0,即 A = Io b o|,且 A 的特征值也为入i = 2,入2 =b ,入3 =0.
'1
0 F
故当a =Q,b为任意常数时 ,A〜〃，应选（E）.
（7） 【答案】（A）.
【解】由Xi〜N（0,1）,得
们=P{—2 MX】£ 2}=①（2）—①（一2） =2①（2） — 1.
X （ x \
由 X2 〜N（0,22）,得寸〜N（O,1）,于是依=P|— 1 W 于 W 1]=2①（1） 一1.
X _ 5
由 X3 〜N（5,32）,得• 丁-〜N（O,1）,于是
p3 =F f M X；丿 <—1]=①（一1）—①（一£）=①（£） —①（1）.
由 P 1 〉 P 2 、 P 2 〉P 3 ，得 P 1 > P 2 > 力3，应选（人）.
（8） 【答案】（C）.
【解】 因为X〜/（“），所以存在U〜N （0,1）,V〜/a）且相互独立，使得
TJ TT2 /I
X =--------, X2 -------F（l,/2）,从而 Y = X2,
Vvm v/n
于是 P{Y>c2} =P{X2 > c2} =P{X > c} + P{X <-c},
由 X 〜得 P{X >c} =P{X <—c},
故 P{Y> c2} =P{X > c} +P{X <~c} ，应选（C）.
二、填空题
（9） 【答案】1.
【解】 将工=0代入夕一中，得y=l.
y — x = 两边对 x 求导，得乎' —1 = • （1 — y — x 警•
将z =0 ,夕=1代入，得学
= F（O）=1.
ax I x=0
「小]
/（7）-/（0）,
于是lim/? / — -1 - lim-------------------=/70） =1.
Tl
（10）【答案】c.e +c2e3j -rce2j:（C1,C2 为任意常数）.
【解】 设二阶常系数非齐次线性微分方程为y" + py' + qy =/（^ ）.
由线性微分方程解的结构得％ — y3 =e3j ,y2 — =e"为方程_y" + py' +qy =0的两个
解，则该方程的特征值为A j =1,入2 = 3,故方程yr，+ pyf qy =/（jr ）的通解为
y =Cie》+ C2^x -x^x{Cx,C2 为任意常数）.（11）【答案】V2.
dy dj// sin t + cos t — sin t
【解】
dr do* / dt cos t
djr2 djr dx cos t
d?
千早业
于是而
(12)[答案】rIn 2.
In x 止） In x ]
【解】 djr
(1+工) 2 r 1 + JC 1 无(1 + 2 )
] x +°°
dr = In =In 2.
H (1 + 工) 1 +
1
（13）【答案】 一1・
【解】 由A“= — J,得d「=—A*，两边取行列式，得|A|=（-1）3|A* | = -|a|2
于是 | A | = 0 或 | A | = —1.
因为A为非零矩阵，所以a,j （i ,j =1,2,3）不全为零，不妨设an H 0,
由 U | =<2
n
A
h
+ a 12 A
12
+ a 13 A13 — —(a：i + a% + a£)V0,得 |A | = — 1.
方法点评：在行列式计算中，若出现A”或者A*时，一般使用如下两个性质:
+ai2Ai2 H-------a ,„A in = |A | G =1,2,…,“）；
（2） |A* |= |A I —
（14）【答案】1 —丄.
e
【解】由Y〜E⑴，得Y的分布函数为FQ） = ］（。1 ，— e •z $ 0,
工< 0.
_P{a a}
P{Y>a} = 1 -F(a)
j —a — e—(a+1) =1—丄
e—a e
三、解答题
(15)【解】[dr = 2 f f {x )d( )=2 /(jc ) — 2 f ff (jc ) \/~x djr
Jo VZ Jo 0 Jo
ri ri in(T _i_ i) ri _
=—2 ff Cx ) dx = 一 2 --------------djr = — 4 ln(jr + 1) d(丿尸)
Jo Jo 后 Jo
=—4 J~x ln(j? +1)1 + 4 f Ax =一 41n 2 + 4 f
I o J 0 J； + 1 Joh 十 1
Q —= — 41n 2 + 8 f —-— dr = — 41n 2 + 8 [ (1 — -~~■_ ) dt
Jo 1 + r Jo \ 1 + r /
=—41n 2 + 8 — 8arctan t \ [=——41n 2 + 8 — 2兀・方法点评：计算定积分时，若出现变积分限函数求定积分时，一般采用分部积分法.
如：设 /(jc ) = J e ，则
J /(jc )dj? — xf ) | — J x ff {x )dx = — J jc er dx — — e" | = 1 迈上.
(16) 【解】(I )由逐项可导性得S'Q) = ,
n = l
S"(兀)=丫 z? (72 — \ }anx n~2 =艺(72 + 2) (n + l)an+2^n •
n=2 n=Q
由 a„_2 — n{n — l)a„ =0,得 a” = (n + 2)(" + l)a 卄2(" = 0,1,2,…),
于是 S"(jc ) = S (工)或 S"(z ) — S (工)=0.
(II )S"(_z) — S (j? ) = 0 的特征方程为 A 2 — 1 = 0,特征值为 A ! = — 1 ,A 2 =1,
S(_z) =Cie_J +C2er ；
, , \CX+C2 =3,
由S(0)=a()=3,S (0) =a 1 =1,得/ 、 解得Ci =1 ,C2 =2,故幕级数的和函
I— Ci + C2 = 1,
数 S(_z) =eP +2e\
(17) 【解】 函数fd ,y)在整个平面上有定义.
: = 2 + V + Je"，=0, ［工=一1, ［工=1,
由丿 3 得(_ 2 ( _ 4
X = G +才+ 1)严=0, P = _
fL = (2工 +2j? +〒 +》)严，/X = (* + y + 1)严，/yy =(夕 + 奇 + 2)严,
$ =—1,
当］ 2时，
由AC-B2 VO,得(-1, - )不是函数f(x,y)的极值点；
A=(1,_十)=3e J B= £) = e J C= -|)= e 3 ,
由AC-B2 =2e"^ > 0且A〉0,得(1, -y)为的极小值点，极小值为
(18)【证明】(I )方法一 因为/(J?)为奇函数，所以/(— x) — — f (x ),于是/(0) =0.
由拉格朗日中值定理，存在w e(0,1),使得尸苛)一彳⑹ =].
1——0方法二 因为/（j?）为奇函数，所以y（—工）=一/'（工），于是f （0） = 0.
令卩（工）=yQ）―夂，则卩（0）=0,申（1）=于（1）—1=0,由罗尔定理，存在w e（0,1）,使
得卩'（W）=0.
而卩'（工）=/'（工）一1,于是十0） =1.
（U）因为十（工）为偶函数，所以r（-e）=i.
令 hS=[”（工）一1¥/（—£）= A（e）= o,由罗尔定理，存在乃 6 （一1,1）,使得 h'（q）= 0.
而 Az（J；） = f"0工）e" + \_f' （x ） — l]e" = ） + /z （j? ） 一 l]e"且 e" HO,
所以 f"5）+ /Z（7）= 1.
方法点评：本题考查中值定理.中值定理部分最难以掌握的部分就是辅助函数的构造，事
实上构造辅助函数有一整套的方法，就本题辅助函数构造作如下补充：
（1） 若结论为+附6）=0,辅助函数为F（jr） =e'V（^）；
（2） 若结论为 £/'‘（€）+对（£）=0,辅助函数为 F（j? ） —xkf（.x ）；
（3） 本题第二问，先将 +/"（”）— 1 改为 f'G ） + /z（zr ） — 1 =0,整理得
LfQ） - 1了 + [/'（工）一1]=0,显然辅助函数为 FQ） =e’L/'（z） — 叮.
（19）【解】（I ）直线L的方向向量为乔=（一 1,1,1）,
y_ z
直线
T
1
设M Q,y,z）为曲面工上任意一点，其所在的圆位于L上的点为"。（工。，％,2）,圆心为
T（0,0 ,z）,由 | MT | = | Mo T I，得工? + y2 —xl + y^.
jr n — 1 v n ? [jC o :=:: 1 Z 9
因为 Mo（JCO ,?o ,N）G L 9 所以--- -- =—=—，从而 代入 X2 y2 =
~ 1 1 1 =N ,
j：o + j/為得工：工2 + y2 = (1 — z)2 +，9 艮卩 S -jc2 + y2 = 2z2 — 2n + 1・
n
（n）设。的形心坐标为（d，n），由对称性得工=o,夕=o9之
HZ
n
'2 ■2 10
由业山= dz dx dy = 7r (2/ — 2z + l)d^ = — re,
o 3
n 0
2 +y2 ^2z2-2z+\
'2 *2 14
zdz djr djy = 7T (2n3 — 2z2 + N )dz = —7T 9
3
n 0 o
X2 +y2 ^2z2-2z+\
亠一、・/ 7 \
得Z = M 9故形心坐标为（°，0，g） *
---------\…’5 )・
（20）【解】 令C =
B 3
+ ax^ x 2 + ax 4
乂2
严 1 x2\ /I a\ /JC ! + JC 2 ax i
S 八1 0 丿=
°工3乂 2 + 0兀3 —ax i + jc 2 + az 4
AC-CA = (
\无 i — z 3 3 — H 4 力2 —az 3
一 x 2 + ax = 0 9
3
由 AC-CA =B,得
—ax
i
+ 无
2 +
a戈
4 = 1
9
2
JC i — JC 3 — X 4 = 1 ,
X 2 — CLJC 3 =b ・
设以上方程组对应的系数矩阵为D,则
，0 -1 a 0 0' 0 _ 1 a 0 0 '
—a 1 0 a 1 0 1 —a 0 1 + a
D =
1 0 -1 -1 1 1 0 -1 -1 1
、0 1 —a 0 b, 0 1 —a 0 b .
1 0 1 -1 1
0 1 一 a 0 1 + a
0 0 0 0 1 + a
10 0 0 0 b
当Q = _i』=0时，线性方程组AC-CA =B 有解,
1 0 —1 —1 1
0 1 1 0 0
由D ，得AC-CA =B的通解为
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.
1 r T kx + k2 + l
-1 0 0 -kx
X =k.\ + k + =
2
1 0 0 k\
.0 丄 0.
k ! + k2 + 1
故0 = (紅息 为任意常数).
k 2 '
仁
(21)【证明】(I)令X=g ，则
J /
X 3
(»\
/-2XT a2 • (a】心，5)X 1丁 b2 (b} ,b2,b3)X
a b
3 3
= XT(2aaT)X + XTWT)X =XT(2aaT +^JJT)X,
则二次型f的矩阵为2aaT +pp\
(H )由Aa = (2ad十00「)a = 2a ,得a为A的属于特征值入i = 2的特征向量;
由AJJ =(2aaT +妙「)0 =0,得0为A的属于特征值A2 =1的特征向量；
因为厂(A) =^(2aa「+00T)三 r(2aaT) + r(/J/?T) = r(a ) + r(0) = 2 < 3,
所以入 为A的特征值，故二次型 在正交变换下的标准形为 +北.
3 =0 f 2y\f*3 i 19
(22)【解】(I)P{Y = 1}=P{X$2}=石工 山=
2
J 2 9 Z /
p 1 ]
P{Y = 2}=P{X<1}= —x2 dj? = zz，
Jo y 厶(
丄_?
P{1 < Y< 2} =1
27 _27
FY(y) =P {Y y},
当 y V 1 时，Fy(y)=0；
当 1 Wy V2 时，Fy(y) =P{Y = 1}+P{1 0,0 =1,2,…，zi),
(•Z i«Z 2 …2 n )
-i
n n
In L(6) = 2/2 In d — 3 工 In x { 一 6 工一，
Z = 1 Z = 1 ◎
由2】nL(0)=字一£ —=0,得0的最大似然估计值为@ 2 7?
d& n 1
U i=1 i
2 7?
最大似然估计量为9 ”
