文档内容
CoCp 量"#$%&’()(*+
考前最后 $ 套卷（三）参考答案
一、 选择题
%分!"#$值）
!%&$当 "则# 时，由于
* * *
!*/"1""1R（""），$%（*/"）!/"/ ""/ ":1R（":），
*1" " :
所以
*
!（"）! ·$% ［*1（/"）］
*1"
） * * ]
!［*/"1""1R（""）］· /"/ ""/ ":1R（":）
" :
( *) ( * * )
!/"1*/ ""1/ 1 /* ":1R（":）
" : "
!,"18""1C":1R（":），
* 8
因此，,!/*，8! ，C!/ ，故应选 值）
" ?
C分!"#$)）
""-.% " * ""-.% "
!%&$由于 是关于 "的奇函数，于是 设!! ）"!#）
*14C-"" "
（*
*14C-""
"-.% " ":-.% "
由于 与 均是关于 "的偶函数，且当 #>">* 时均大于 #，于是
*1-.%"" *152%""
* "-.% " * "-.% "
设!! ）"!" ! ）"7#，
*
（*
*1-.%""
#
*1-.%""
* ":-.% " * ":-.% "
设!! ）"!" ! ）"7#）
:
（*
*152%""
#
*152%""
又因为当 #>">* 时，"7":，52% "7-.% "7#，于是
"-.% " ":-.% "
7 ，
*1-.%""*152%""
进而根据定积分的比较定理知
* "-.% " * ":-.% "
! !
）"7 ）"，
#
*1-.%""
#
*152%""
%，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
从而 设7设）
* :
综上所述，设7设7设，应选 )）
* : "
）分!"#$)）
!（"，’）/"’
!%&$由于$.A !*，且 !（"，’）在点 "!# 处连续，所以
"则# ""1’"
’则#
$.A［!（"，’）/"’］!!（#，#）!#）
"则#
’则#
!（"，’）/"’
又因为当（"，’）则（#，#）时， !*1.，其中$.A.!#，于是在（#，#）的某去心邻域内，
""1’" "则#
’则#
!（"，’）/"’!""1’"1.·（""1’"），进而
!（"，’）!"’1""1’"1R（""1’"）（（（（（（（（（（
( * * ) * *
!"’1 ""1 ’" 1 ""1 ’"1R（""1’"）
" " " "
* *
! ("1’) "1 （""1’"）1R（""1’"）7#，
" "
故 !（"，’）在点（#，#）处取极小值，应选 )）
本题的命制来源于 "##: 年数学一考题，利用定义法判定二元函数极值问题是近几
年的考研热点，需引起注意）
$分!"#$)）
!%&$曲面 是（,"/87，,’/C7）!# 在其上任意一点（"，’，7）处的法向量为
为!（,是=，,是=，/8是=/C是=），
* " * "
欲使得直线平行于曲面 < 上任一点的切平面，仅需保证直线的方向向量 向与 为垂直，即 向·为!#）
显然
（,是=，,是=，/8是=/C是=）·（8，C，,）!,8是=1,C是=/,8是=/,C是=!#，
* " * " * " * "
即直线的方向向量为 向!（8，C，,），故应选 )）
小分!"#$值）
!%&$非齐次线性方程组 已#!， 最多有 +/若（已）1*!为/若（已）个线性无关的解向量）
将（!，!，!）施以初等行变换，得
* " :
得得考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
* # # * # #
（!，!，!）! " " #则 # " #
* " :
: * * # # "/#
当 #!" 时，若（!，!，!）!"，则 为/若（已）("，故 若（已），"，于是 若（已）!* 或 "）
* " :
当 #"" 时，若（!，!，!）!:，则 为/若（已）(:，故 若（已），*）又因为 已"阵，所以 若（已）(*，于是
* " :
若（已）!*）
应选 值）
p分!"#$值）
!%&$因为 已不可逆，所以 已 !#，故 已有至少有一个特征值为 #，进而 已18&至少有一个
特征值为 8）
由（已18&）矩!阵，知 矩的列向量均为方程组（已18&）#!o 的解，由于 矩"阵，所以（已18&）#!o
有非零解，进而知 （!# 是 已18&的特征值）
又因为 若（矩）!"，所以（已18&）#!o 至少有两个线性无关非零解向量，于是 已18&的特征值
（!# 至少有两个线性无关的特征向量）
综上所述，已18&的特征值为 #，#，8，于是 已的特征值为/8，/8，#，进而 已1?&的特征值为
*，*，?，因此 已1?& !?，应选 值）
｝分!"#$(）
!%&$由题意可知，!（"，"，"）与 数（’，’，’）具有相同的正负惯性指数）
* " : * " :
因为
!（"，"，"）!""1为""1为""1,""/?""
* " : * * : : " :
!（"1""）"1,""/?""，
* : " :
数（’，’，’）!’"1"’’1’"/:’"18’"
* " : * * " " " :
!（’1’）"/:’"18’"，
* " " :
所以 , 与 8同号，或同时为 #，应选 (）
有分!"#$)）
!%&$根据泊松分布可加性，知 212E0（（1（），则随机变量 212 的分布律为
* " * " * "
（（1（）I
0｛212!I｝! * " 0/（（*1（"），I!#，*，"，…）
* " I！
又 0｛2127#｝!*/0｛212!#｝!*/0/（（*1（"）!*/0/*，
* " * "
所以 （1（!*，即 212E0（*），则 则（212）!*，>（212）!*，因此
* " * " * " * "
则（212）"!>（212）1［则（212）］"!"，
* " * " * "
%，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
故应选 )）
-分!"#$(）
!%&$根据分布函数的定义，知
是（7）!0｛213，7｝
B
!0｛2!/*，213，7｝10｛2!#，213，7｝10｛2!*，213，7｝
!0｛2!/*，3，71*｝10｛2!#，3，7｝10｛2!*，3，7/*｝
!0｛2!/*｝0｛3，71*｝10｛2!#｝0｛3，7｝10｛2!*｝0｛3，7/*｝
* * *
! 0｛3，71*｝1 0｛3，7｝1 0｛3，7/*｝）
为 " 为
当 7>/* 时，是（7）!#）
B
*
当/*，7># 时，是（7）! （71*））
B 为
* *
当 #，7>* 时，是（7）! 1 7；
B 为 "
* * * : * * *
当 *，7>" 时，是（7）! 1 1 （7/*）! 1 （7/*）! 71 ；
B 为 " 为 为 为 为 "
当 "，7时，是（7）!*）
B
故分布函数 是（7）为连续函数，应选 (）
B
%o分!"#$值）
( * ) * * *
!%&$由 2E则（"），3E4 ，为 ，知 则（2）! ，>（2）! ，则（3）! ，>（3）!为）
" " 为 "
因为 则（2/3）!则（2）/则（3）!#，所以由切比雪夫不等式，知
>（2/3）
0｛ 2/3/则（2/3） >为｝7*/ ，
*?
其中，>（2/3）!>（2）1>（3）/"值CI（2，3）
槡 槡
!>（2）1>（3）/"为 >（2） >（3）
23
* * *
! 1为/"G G G"!为，
为 @ "
:
于是 0｛ 2/3>为｝7 ，应选 值）
为
二、 填空题
%%分!"#$:6
!%&$根据复合函数求导法则，知
%知考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
）函 ） * ]
!!=［数（"）123452% ’］· 数=（"）1 ’=）
）" *1’"
方程 ":1’:/-.% :"1?’!# 两边同时对 "求导，得
:""1:’"’=/:4C-:"1?’=!#，
即 ""1’"’=/4C-:"1"’=!#， !
*
将 "!# 代入原方程中，解得 ’!#）再将 "!#，’!# 代入!式中，解得 ’=（#）! ）
"
）函
于是 !!=［数（#）］·［数=（#）1’=（#）］!!=（#）·［数=（#）1’=（#）］!:）
）"
"!#
* *
%C分）］#$ ":1 "）
: :
）%&$令 "!’!#，则 !（#）!!（#）1!（#），于是 !（#）!#）
根据导数定义，知
!（"1)"）/!（"）
!=（"）!$.A （
)"则# )"
!（"）1!（)"）1")"（"1)"）/!（"）
!$.A
/"则# )"
!（)"）1"")"1"（)"）"
!$.A
)"则# )"
）!（#1)"）/!（#） ]
!$.A 1""1"·)"
)"则# )"
!!=（#）1""
*
!""1 ，
:
* * * *
于是 !（"）! ":1 "1/）又因为 !（#）!/!#，所以 !（"）! ":1 "）
: : : :
）
%）分）］#$ ）
为
）%&$因为
, !! * ""+ ）"!2 令 2 # 2 !/ 2 " ! （* （/#）"+ ）（/#）
+
（*
*10"
*
*10/#
* #"+ * ""+
!! ）#!!
）"，
（*
*10/#
（*
*10/"
所以
以所CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
* * ( ""+ ""+ ) * * ( * * )
, ! ! 1 ）"! ! ""+ 1 ）"
+ "
（*
*10" *10/" "
（*
*10" *10/"
* * * ""+1* * *
! ! ""+）"! · ! ，
" " "+1* "+1*
（* /*
9 9 *
于是 $ （/*）+, !$ （/*）+· ）
+ "+1*
+，# +，#
9 ""+1*
设 <（"）!$ （/*）+· ，<（#）!#，可求得该幂级数的收敛域为［/*，*］）
"+1*
+，#
因为
9 *
<=（"）!$ （/*）+""+! ，/*>">*，
*1""
+，#
所以
" *
<（"）!! ）#/<（#）!23452% "，/*>">*）
#
*1#"
又因为 <（"）在 "!H* 处连续，所以 <（"）!23452% "，"%［/*，*］，于是
9 ）
$ （/*）+, !<（*）!23452% *! ）
+ 为
+，#
:
%$分）"#$ ））
为
）%&$由题意可知，曲线 /的质量为 O!! 为（"，’，7））S!! （""1’"）"）S）
/ /
，""1’"17"!*， " "
由 可知 """17"!*，即 17"!*，所以曲线的参数方程为
"!’， *
槡
"
*
"! 槡4C-#，
"
* （#，#，"）），
’! 槡4C-#，
"
7!-.% #，
于是
设!! （""1’"）"）S
/
!!
"）( *
4C-"#1
*
4C-"#
) " 槡 (
/ 槡
*
-.% #
) "
1
(
/ 槡
*
-.% #
) "
1（4C-#）"）#
# " " " "
%）考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
!!
"）
4C-为#）#
#
） : * ） :
!为 !" 4C-为#）#!为· · · ! ））
为 " " 为
#
%小分·"#$/为86
·%&$将所给行列式 >的第 : 行元素依次换成 "，#，为，#，得
* # " #
/* 为 : ?
"- 1为- ! " # 为 # !#）
:* ::
* *
* "
" :
再将所给行列式 >的第 为 行元素依次换成 :，*，*，#，得
* # " # * # " #
/* 为 : ? 若1若 # 为 8 ?
:- 1- 1- ! 22 " 22 *
为* 为" 为: # /" 8 /: 若 为 /:若 * # /" 8 /:
: * * # # * /8 #
为 8 ? 为 "8 ?
C18C
! /" 8 /: 22 " 22 * /" /8 /:
* /8 # * # #
"8 ?
! !/为8，
/8 /:
故 "- 1为- 1:- 1- 1- !/为8）
:* :: 为* 为" 为:
("" )
%p分·"#$:"为 1&" ）
"
（—
·%&$由于总体 2E4（&，""），则 2与 <" 相互独立，且
（ 2 — E4 ( &， "") ，（ <"（+/*） ! <" E$"（*）） （
" "" ""
（— （—
""
于是 则（2）!&，>（2）! ，
"
( <") *
则 ! 则（<"）!*6则（<"）!""，
"" ""
( <") *
> ! >（<"）!"6>（<"）!""为，
"" "为
&，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
（— （— （— （—
进而 则（2"<为）!则（2"）则（<为）!｛［则（2）］"1>（2）｝·｛［则（<"）］"1>（<"）｝
( * ) ("" )
!&"1 "" ·（"为1""为）!:"为 1&" ）
" "
三、 解答题
# #
%｝分!%&$ （（） 由题意可知， ［"’（"1’）/!（"）’］! ［!=（"）1""’］，可得微分方程
#’ #"
!H（"）1!（"）!""）
该微分方程的特征方程为 （"1*!#，解得 （!.，（!/.，故齐次方程通解 ’!/4C-"1/-.% "）
* " * "
设非齐次方程的特解为 ’!,""18"1C，其中 ,，8，C为待定常数）将 ’!,""18"1C代入 !H（"）1
!（"）!""，得 ",1,""18"1C!""，解得 ,!*，8!#，C!/"）
因此，!（"）!/4C-"1/-.% "1""/"）又因为 !（#）!#，!=（#）!*，代入解得 /!"，/!*，则
* " * "
!（"）!"4C-"1-.% "1""/"）
（’） 由（（） 知，全微分方程为
［"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’］）"1（/"-.% "14C-"1""1""’））’!#）
方法一：凑微分法）
（［"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’］）"1（/"-.% "14C-"1""1""’））’
!"’"）"/（"4C-"1-.% "）’）"1"’）"/（"-.% "/4C-"））’1""）’1""’）’
( * )
!） ""’" /）［（"-.% "/4C-"）’］1）（""’）
"
） * ]
!） （"’）"1（/"-.% "14C-"）’1""’，
"
*
于是，全微分方程的通解为 （"’）"1（/"-.% "14C-"）’1""’!/）
"
又 ’（#）!#，解得 /!#，故该微分方程的特解为 ""’"1"（/"-.% "14C-"）’1为"’!#）
方法二：偏积分法）
设 ）数（"，’）!［"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’］）"1（/"-.% "14C-"1""1""’））’，则
#数 #数
!"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’， !/"-.% "14C-"1""1""’，
#" #’
于是
*
数（"，’）!! ［"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’］）"! ""’"/（"-.% "/4C-"）’1""’1*（’），
"
进而
#数
!""’/（"-.% "/4C-"）1""1*=（’），
#’
#数
又 !/"-.% "14C-"1""1""’，所以 *=（’）!#，进而 *（’）!/，于是
#’ *
是于考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
*
数（"，’）! ""’"/（"-.% "/4C-"）’1""’1/，
" *
*
因此，全微分方程通解为 ""’"1（/"-.% "14C-"）’1""’!/）
"
又因为 ’（#）!#，解得 /!#，故该微分方程的特解为 ""’"1"（/"-.% "14C-"）’1为"’!#）
方法三：曲线积分法）
设 ）函（"，’）!［"’"/（"4C-"1-.% "）’1"’］）"1（/"-.% "14C-"1""1""’））’，则
" ’
函（"，’）!! #）"1! （/"-.% "14C-"1""1""’））’
# #
*
!（/"-.% "14C-"）’1""’1 ""’"，
"
*
因此，全微分方程通解为 ""’"1（/"-.% "14C-"）’1""’!/）
"
又因为 ’（#）!#，解得 /!#，故该微分方程的特解为 ""’"1"（/"-.% "14C-"）’1为"’!#）
%有分）%&$（（） 等式 !（#函，#@）!#"!（函，@）两边同时对 #求导，得
函!=（#函，#@）1@!=（#函，#@）!"#!（函，@），
* "
令 #!*，则
函!=（函，@）1@!=（函，@）!"!（函，@））
* "
将 函!*，@!" 代入上式，得
!=（*，"）1"!=（*，"）!"!（*，"））
* "
:
又因为 !（*，"）!#，!=（*，"）!!=（*，"）!:，所以 !=（*，"）!!=（*，"）!/ ）
函 * " @ "
" 槡 *
! ［* ［!（#（-.% #［*，"） （!（*， * ［#: ［*）］$%（*［#:））#
#
（’） $.A
"则# "
槡 *
!$.A［*1!（"/-.% "1*，"）/!（*， *1":1*）］$%（*1":）（（（洛必达法则）
"则#
!$.A0 $%（* * 1":） ·［!（"/-.%"1*，"）/!（*， 槡 *1":1*）］（（（（（（（（ （*9型未定式极限）
"则#
槡
!0" $ 则 .A # !（"/-.%"1*，"）/ ": !（*， *1":1*） ）
因为
槡
!（"/-.% "1*，"）/!（*， *1":1*）
（$.A
"则# ":
槡
!（"/-.% "1*，"）/!（*，"） !（*， *1":1*）/!（*，"）
!$.A /
"则# ": ":
&）!"!# 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
槡 槡
"（&’!()#* !，+）("（&，+） !()#* ! "（&，+’ &’!,(&）("（&，+） &’!,(&
!"
!
#
!
$
%
!()#* !
·
!,
( 槡
&’!,(&
·
!,
槡
!()#* ! &’!,(&
!"·（&，+）·"#$ ("·（&，+）·"#$
! !!% !, ） !!% !,
& &
!, !,
） +
!"·（&，+）·"#$ ("·（&，+）·"#$
! !!% !, ） !!% !,
& · ,) & ·
!,· (( · ! ，
） + + /
·
所以原式!0/%
%&’!"#$设 " "（!，））1!1）!’，故
&
槡 &
"（!，））!)#* !+23)）+’! !+’）+( ·’，
!+
上式两边同取二重积分，得
" "（!，））1!1）!"· )#* !+23)）+’! 槡 !+’）+) 1!1）( ’ " &1!1），
!+
& & &
’!"· )#* !+23)）+’! 槡 !+’）+) 1!1）( ’ ·!+，
!+
&
故 ’! & "· )#* !+23)）+’! 槡 !+’）+) 1!1），
+
&
槡
因为积分区域关于 ）轴对称，且 ! !+’）+关于 !为奇函数，所以
槡
" ! !+’）+1!1）!%，
&
于是
4 "· )#* !+23)）+’! 槡 !+’）+) 1!1）
&
!" )#* !+23)）+1!1）
&
!" )#* ）+23)!+1!1）444 （轮换对称性）
&
&
! " （)#* !+23)）+’)#* ）+23)!+）1!1）
+
&
&
! " )#* （!+’）+）1!1）
+
&
"）
书书书考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
槡
! * ! "） ）， !） -.% 若"·若）若
"
# #
!），
* 槡 *
进而 -! ），因此 !（"，’）!-.% ""4C-’"1" ""1’"/ ）
" "）
Co分!%&$设 * "（7"107））’）71’（7"107））"）71［7!（"，’）/"07］）"）’!-，则
）
!（"，’）!" （"/’）"1-）
补 ） 面：7!#，""1’"，*，方向朝下）记 >!｛（"，’） ""1’"，*｝，且 ） 与 ）所围区域为 (，于是
* *
-!* "（7"107））’）71’（7"107））"）71［7!（"，’）/"07］）"）’/
）［）*
（ * "（7"107））’）71’（7"107））"）71［7!（"，’）/"07］）"）’
）*
!4 ［"7"1" （"/’）"1-］）L/* （/"））"）’
( ）*
!4 ［"7"1" （"/’）"］）L14 -）L1" * *）"）’
( ( ）*
"
!4 ［"（""1’"17"）/为"’］）L1-· ）/" * *）"）’
:
( >
"
!" 4 （""1’"17"））L1 ）·-/"·）
:
(
!"· !
"）
），· !
）
" ）*· !
*
若"·若"-.% *）若1
"
）/"）
:
# # #
? "
!/ ）1 ）·-
8 :
*@） *@）
解得 -! ，因此 !（"，’）!" （"/’）"1 ）
8（"）/:） 8（"）/:）
*
# #
"
C%分!%&$（（） 由题意可知，已! ，且 已）的特征值为 *，"，@，于是
# : ,
# , :
已） ! 已:/*!*G"G@!*?，
又 已(#，解得 已 !为，于是
是于CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（三）参考答案
*
# #
" *
已 ! ! （阵/,"）!为，
# : , "
# , :
解得 ,!*）
（’） 由于 !（"，"，"）!#=已# 与 数（"，"，"）!#=已）# 可经过相同的正交变换 #!*%化为
* " : * " :
各自的标准型）
*
# #
" *
由（（） 知，已! ，且 已的特征值 （!为，（!"，（! ）
# : * * " : "
# * :
当 （!为 时，解得特征向量为 !!（#，*，*）=）
* *
当 （!" 时，解得特征向量为 !!（#，/*，*）=）
" "
*
当 （! 时，解得特征向量为 !!（*，#，#）=）
: " :
因为 !，!，! 已经正交，仅需单位化，得
* " :
( * * ) = ( * * ) =
得!#，槡，槡 ，（得!#，/ 槡，槡 ，（得!（*，#，#）=，
* " " " " " :
# # *
* *
槡
/
槡
#
故所求的正交矩阵 *!（得，得，得）! " " ）
* " :
* *
槡 槡 #
" "
（(） 由（’） 知，在正交变换 #!*%下 !（"，"，"）所化标准型为
* " :
*
!（"，"，"）!为’"1"’"1 ’"）
* " : * " " :
当 #"o 时，有
*
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