(213)--第九章：多元积分学及其应用_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

x  ay y
P(x, y)  , Q(x, y)  ,
(x  y) 2 (x  y) 2
P Q
 ,
y x
(a  2)x  ay  2 y,(a  2)x  (a  2) y,
a  2.2
y
【解】 I   (1  x 2  )dxdy
i
2
D
i1
.
x 2  y 2  z 2 
2,2,4 . (x  y  z) 2 dV   (x 2  y 2  z 2 )dV
 
2
c
z 4
 z 2 dV   z 2ab(1  )dz  abc 3 .
2
c c 15
2 1 1r 1 2 1z
I   d dr  e (1z) 2 dz   dz  d e (1z) 2 dr
0 0 0 0 0 0
 (1  e
1
). [(x  2) 2  ( y  3) 2 ]ds   [(x 2  y 2 )  (4x  6 y)  13]ds
 
2 2 4a 3
 (x 2  y 2 )ds   (x 2  y 2  z 2 )ds   a 2 ds 
 3  3  3
2 2
 (4x  6 y)ds  2  yds    (x  y  z)ds    0ds  0
  3  3 
 13ds  26a
【解1】
,其中
L  L  L L : y  1  x (1  x  0)
1 2 1
L : y  1  x (0  x  1)
2
 xy d x  x 2 d y
L
1
1
0 0
  [x(1  x)  x 2 ]d x   (2x 2  x)d x 
1 1 6
 xy d x  x 2 d y 
L
2
1
1 1
 [x(1  x)  x 2 ]d x   (x  2x 2 )d x  
0 0 6
 xy d x  x 2 d y  0
L
【解2】补线用格林公式2
y
I   x(x  y)dx  xdy  (dx  dy)
L 2
2 2
y y
  [x(x  y)  ]dx  [x  ]dy
L 2 2
  (1  x  y)d  
x
2
y
21u u u
 ds   [ cos(n, x)ds  cos(n, y)ds]
L
n
L
x y
u u
  [ cos(, y)ds  cos(, x)ds]
L
x y
u u 2 u 2 u
  [ dy  dx]   [  ]d
L
x y x 2 y 2
D

  (x 2  y 2 )d 
2
D2
 (x 2  z 2 )dS   (x 2  y 2  z 2 )dS
3
 
8π
 R 4
3 ( 2x  z  1) 2 dS   (2x 2  z 2  1  2 2xz  2 2x  2z)dS
 
1
 (2x 2  z 2 )dS   (2x 2  z 2 )dS
2
 
1
1 1
  (x 2  y 2  z 2 )dS   a 2 dS  2a 4
2 2
 
1 1
 1dS  2a 2

 (2 2xz  2 2x  2z)dS  2  zdS  2  z 1  z 2  z 2 dxdy
x y
  D
 2  adxdy  2a 3
D xdydz  ydzdx  zdxdy   3dv
 

2 R
 3  d 4 d r 2 sindr
0 0 0
 (2  2)R 3 .S   zds   x 2  y 2 ds
 

  2 4cos 2 4cos 2 4sin 2d


2

 8  2 cosd  8
0z   z dV  dV
 
 

1  1
 dV    d x d y d z   z d z 
 
0 0 2
 
 x 2 y 2z
 

1  1
 z dV    d x d y z d z   z 2 d z 
 
0 0 3
 
 x 2 y 2z
2
z  .
3 x(1  z)dv


1
  xdv   x(x  x 2 )dx  .
0 12
 | z  x 2  y 2 | dv   (z  x 2  y 2 )dv   (x 2  y 2  z)dv
  
1 2

2 1 1
 (z  x 2  y 2 )dv   d d (z  2 )dz 
0 0 2 6

1
2 1 2 
 (x 2  y 2  z)dv   d d (2  z)dz 
0 0 0 6

21 1x 1xy
 dx  dy  (1  y)e (1yz) 2 dz
0 0 0
1 1y 1yz
  dy  dz  (1  y)e (1yz) 2 dx
0 0 0
1 1 y 1 1
  dy  (1  y)(1  y  z)e (1 yz) 2 dz   (1  y)[1  e (1 y) 2 ]dy
0 0 0 2
1
 .
4eI   3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy
L
  3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy   3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy
LL L
1 1
(x 3  x  2 y) (3x 2 y)
0
  [  ]dxdy   (2 y)dy
x y
2
D
2
  1dxdy   2 ydy
0
D

   4
2

  4.
2I    
LBA BA

  (sin y  3  sin y)d  (sin y  3  sin y)d  (e x 2 sin x  1)dx

D D
1 2

  dx  2
P Q
【解】在上半平面  , L y  a 2  x 2 (a  0)
y x
(x  y)dx  (x  y)dy

C x 2  y 2
(x  y)dx  (x  y)dy
 
L x 2  y 2
1
  (x  y)dx  (x  y)dy
2
a L
1 1
  (x  y)dx  (x  y)dy   (x  y)dx  (x  y)dy
2 2
a LAB a AB
1 1 a
   2dxdy   xdx  .
2 2
a a a
DP Q
 (x 2  y 2  0)
y x
xdy  ydx xdy  ydx
  
 4x 2  y 2  1
4x 2  y 2 4x 2  y 2
LCA 
xdy  ydx xdy  ydx xdy  ydx
    
4x 2  y 2 4x 2  y 2 4x 2  y 2
L  CA
 1dy 7
2
  xdy  ydx    π.
0 4  y 2 8
Q 
【解】  (2xy)  2x. Q(x, y)  x 2  C( y)
x y
(t,1) 1 1
 2xy d x  Q(x, y)d y   [t 2  C( y)]d y  t 2   C( y)d y,
(0,0) 0 0
(1,t) t t
 2xy d x  Q(x, y)d y   [1 2  C( y)]d y  t   C( y)d y.
(0,0) 0 0
1 t
t 2   C( y)d y  t   C( y)d y.
0 0
2t  1  C(t), C(t)  2t  1.
C( y)  2 y  1 Q(x, y)  x 2  2 y  1.f  (x, y)  cos y. f (x, y)  sin y  C(x).
y
2
(t,t )
 [sin y  C(x)]dx  x cos ydy  t 2 ,
(0,0)
t
 C(x)dx  t sin t 2  t 2 .
0
C(t)  2t  sin t 2  2t 2 cos t 2 ,
f (x, y)  sin y  2x  sin x 2  2x 2 cos x 2 . 1  1   x 
 [1  y 2 f (xy)]    f (xy)  xyf  (xy)   [ y 2 f (xy)  1]
y  y  y 2 x  y 2 
d x x d y
I      yf (xy)d x  xf (xy)d y,
2
L y y L
d x x d y d x 1 x c a
     xd   d   .
2
L y y L y y L y d b
 yf (xy)d x  xf (xy)d y   f (xy)d( xy)  F(cd )  F(ab).
L L.
Q 2 y(2x 2  y 4 )  4x  2xy  4x 2 y  2 y 5
  ,
Q P x (2x 2  y 4 ) 2 (2x 2  y 4 ) 2

x y
P  ( y)(2x 2  y 4 )  4( y) y 3 2x 2 ( y)  ( y) y 4  4( y) y 3
  .
y (2x 2  y 4 ) 2 (2x 2  y 4 ) 2
 ( y)  2 y,
 ( y)   y 2  c 2 y 5  4cy 3  2 y 5 c  0 ( y)   y 2
  ( y) y 4  4( y) y 3  2 y 5 .P Q
【解】1）由  知， y[g  (x)  f (x)] f  (x)  g(x)  e x  0
y x
g  (x)  f (x)  0
则 从而有

 f  (x)  g(x)  e x
g  (x)  g(x)  e x
1
g(x)  c e x  c e x  xe x .
1 2
21 1
由 知，
f (0)  g(0)  0 c   ,c  .
1 2
4 4
1 1
f (x)  (e x  e x )  xe x
4 2
1 1
g(x)   (e x  e x )  xe x
4 2
2）取 到 再到 的折线计算
(0,0) (1,0) (1,1)
1 1
1
I  2 [ yg(1)  f (1)]dy  (7e  )
0 4 eu u u
 ds   [ cos(n, x)ds  cos(n, y)ds]
L
n
L
x y
u u
  [ cos(, y)ds  cos(, x)ds]
L
x y
u u 2 u 2 u
  [ dy  dx]   [  ]d
L
x y x 2 y 2
D【解】 设 为圆周 沿逆时针方向，考虑线积分
L x 2  y 2  1
f f
I   (x 2  y 2 )( dy  dx)
x y
L
f f
  dy  dx
x y
L
2
f
2
f
  (  )d
x 2 y 2
D
f f
I   (x 2  y 2 )( dy  dx)
x y
L
f f  2 f 2 f 
 2  (x  y )d (x 2  y 2 )  d
 
x y x 2 y 2
 
D Dcos cos cos
  
【解1】用斯托克斯公式计算 I   ydx  zdy  xdz   dS
 x y z

y z x
1 1
 3  dS  (3) a 2   3a 2
3 3

【解2】化为平面线积分用格林公式
I   ydx  zdy  xdz   ydx  ( x  y)dy  x(dx  dy)
 C
1
  (( y  x)dx  (2x  y)dy   (2  1)dxdy  (3) a 2   3a 2
C 3
Dcos cos cos
  
I   xydx  z 2 dy  zxdz   dS
 x y z

2
xy z zx
  [2z cos z cos x cos]dS

 x  y 1
cos , cos  , cos  ,
2z 2z 2
y x y x
I   [ 2x   ]dS   [ 2x   ] 2d   xd  a 3
2 2 2 2
 D DF  x  y  z  3a  (x 2  y 2  z 2  2ax  2ay  2az  2a 2 )
F  0, F  0, F  0, F  0,
x y z 
1
, x  a  y  a  z  a   a (a  0).
3
 (x  y  z  3a) 3 dS   (3a) 3 dS  27a 3  4a 2  108a 5
 2z  y  0,
n  {2x,2 y  z,2z  y}, n  k  0 (k  {0,0,1}),

x 2  y 2  z 2  yz  1,
2z  y  0,  z  2  z  2  2x  2  2 y  z  2 4  y 2  z 2  4 yz

1        1        ,
 3
x 2  y 2  1.  x   y   y  2z   y  2z  | y  2z |


4
2 2
(x  3) | y  2z |  z   z 
I   1       d x d y
4  y 2  z 2  4 yz  x   y 
D
 (x  3)d x d y  3  d x d y  2.
D DI   xz d y d z  2zy d z d x  3xy d x d y   (z  2z  0)d x d y d z
1
 
1
1 1
  3z d z  d x d y   6z(1  z)d z .
0 0
2
y
x 2 1z
4
I   xz d y d z  2zy d z d x  3xy d x d y  3  xy d x d y  0,
2
 y 2
1 x 2 1
4
I  I  I .
1 2xdydz  ydzdx  zdxdy

(x 2  y 2  z 2 ) 3/2
S
3 1
3(x 2  y 2  z 2 )2  3(x 2  y 2  z 2 )(x 2  y 2  z 2 )2
  dV  0
(x 2  y 2  z 2 ) 3
V
xdydz  ydzdx  zdxdy xdydz  ydzdx  zdxdy
  
(x 2  y 2  z 2 ) 3/2 (x 2  y 2  z 2 ) 3/2
 S
  xdydz  ydzdx  zdxdy
S
  (1  1  1)dv  4π.
x
2
y
2z 213 3 1
0   ( yf  (x)  yf (x)  y sin x)d v, f  (x)  f (x)  sin x  0, f (x)  e x  e x  sin x,
4 4 2
V
1
 [ yf  (x)  yz]dydz  y 2 f (x)dzdx  [zy sin x  y 2 ]dxdy    [ y sin x  y 2 ]d
2
 x 2 y 21
2
1 
   (x 2  y 2 )d   .
2 4
x
2
y
21 y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy   y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy


1
  y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy

1
  f (x, y)dv  0

2 2 2
 f (x, y)dv   (2xy 2  x 2 )dv   f (x, y)dv    f (x, y)dv
3 15 3
   
2
 f (x, y)dv 
15  10

2
f ( x, y)  2xy 2  x 2  .
15  10x  1 y z x  1  z
   0 0 x 2  y 2  x 2  y 2 , z  z
 1 1 1  y  z 0 0 0
0 0
x 2  y 2  (1  z) 2  z 2

zdv 2
 (2z 3  2z 2  z)dz
7
z    0 
2
 dv  (2z 2  2z  1)dz 5
0
Q P
 4x(x 4  y 2 )  ( 1)  0,  1.
x y
2xy d x  x 2 d y 2x  0 x 2
(x,y) x y
u(x, y)     d x   d y  C
(1,0) x 4  y 2 1 x 4  0 2 0 x 4  y 2
y
  arctan  C.
2
x【解1】按题意，变力
F   yi  xj.
 x  2  2cos, 3 
圆弧 的参数方程是
AB     .
 y  3  2sin, 4 4
W    y d x  x d y

AB

 
  4 2(3  2sin)sin 2(2  2cos)cos d  2( 1).
3
 
4
2 1 1
I   (x 2  y 2 )dv   d d 3 dz 
0 0  10

| (1,1,1) (x, y, z) | 2 1
d 2   [(z  y) 2  (x  z) 2  ( y  x) 2 ].
3 3
1 2 π
I   [(z  y) 2  (x  z) 2  ( y  x) 2 ]dv   (x 2  y 2  z 2 )dv  .
3 3 5
 