(458)--选填题01板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26考研选填题速成
(高等数学)
主讲 武忠祥选 填 题
一. 选择题（10小题，50分）
二. 填空题（6小题，30分）
共计80分1．选择题（主要考查基本概念和基本理论）

弱项
1)
失分的原因 
难
2)

3)
缺乏方法、技巧
方法与技巧
（1）直接法（推演，几何，验证）
（2）排除法（特殊函数，赋值，几何）2. 填空题（主要考查基本运算）
失分的原因
（1）基本运算不过关，基本概念不清；
（2）缺乏灵活的方法与技巧
方法与技巧
（1）几何意义，特殊函数法
（2）求极限、求导数、求积分的方法与技巧第一章 函数 极限 连续
一. 函数及其性质
（1）单调性及判定
在 某邻域单调增
f (x) x
（1）定义： 0
f  (x )  0
0
(2）导数：设 f ( x) 在区间 I
在 点单调增
f (x) x
0
a) f  (x)  0  f (x) 单调增；
b) f  (x)  0  f (x) 单调不减；（2）奇偶性及判定
(1) 定义：
(2) 设 可导，则：
f ( x)
a) f ( x) 是奇函数  f  (x) 是偶函数；
b) f ( x) 是偶函数  f  (x) 是奇函数；
(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；
连续的偶函数其原函数之一是奇函数.
【注】 设 连续，
f ( x)
x
（1）若 f ( x) 是奇函数,则  f (t)dt 是偶函数；
0
x
（2）若 f ( x) 是偶函数,则  f (t)dt 是奇函数；
0（3）周期性及判定
(1) 定义；
(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；
(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
x
【注】（1）设 f (x) 连续且以 T 为周期，则 F(x)   f (t)dt
0
T
是以 为周期的周期函数   f (x)dx  0 ；
T
0
（2）周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在
一个周期上的积分为零.
周期+奇 原函数为周期函数（4）有界性及判定
（1） 定义：
(2) f ( x) 在 [a,b] 上连续  f (x) 在 [a,b] 上有界；
（3） f ( x) 在 (a,b) 上连续，且 f (a  ), f (b  )
存在  f (x) 在（ a,b ）上有界； 可推广到 (,a),(a ， ),(,)
（4） f  (x) 在区间 I （有限）上有界  f (x) 在 I 上有界；【例1】(1995年3)设 f (x) 在 (,) 内可导,且对任意 x , x ,
1 2
当 x  x 时,都有 f (x )  f (x ) ,则（ ）
1 2 1 2
（A）对任意
x, f  (x)  0;
（B）对任意 x, f  ( x)  0;
（C）函数 f ( x) 单调增加;
（D）函数  f ( x) 单调增加.
【解1】几何法
【解2】分析法
x  x  x   x f ( x )  f ( x )  f ( x )   f ( x )
1 2 1 2 1 2 1 2
【解3】排除法【例2】(2002年2）设函数 连续,则下列函数中,必为偶函数的是（ ）．
f (x)
x x
（Ａ） 2 （Ｂ）  2
f (t )d t f (t)d t
0 0
x x
（Ｃ） t[ f (t)  f (t)]d t （Ｄ）  t[ f (t)  f (t)]d t
0 0
【解1】直接法 t[ f (t)  f (t)] 奇函数
【解2】排除法f (x)
【例3】设奇函数 f ( x) 在 (,) 内连续,且 lim  a  0.
x x
2 x
则在 (,) 内 F(x)  e x  (x  2t) f (t)d t 是（ ）
0
（A）有界的偶函数； （B）无界的偶函数；
（C）有界的奇函数； （D）无界的奇函数；
x x
【解1】直接法 F(x)  e x 2 [x  f (t)dt  2  tf (t)dt] 奇函数
0 0
x x x
x  f (t)dt  2  tf (t)dt  f (t)dt  xf (x)
lim F(x)  lim 0 0  lim 0
2 2
x x e x x 2xe x
f (x) 1 f (x) x
 lim  lim[  ]  0
2 2 2
x 2e x  4x 2 e x 2 x x e x
3
x
2 x
【解2】排除法 f (x)  ax F(x)  ae x  (x  2t)t d t  ae x 2 ( )
0 6【例4】(2022年3)已知函数 f (x)  e sin x  e sin x，则 f  (2)  ________ .
【解1】
f (x) 2为周期 f  (2)  f  (0)
f (x) 偶函数 f  (x) 奇函数 f  (0)  0
【解2】
f (x) 2为周期 f  (2)  f  (0)
f (x) 偶函数，在0点泰勒展式只有偶次项， f  (0)  0x sin x
【例5】(2024年1)已知函数 f (x)   e cost dt, g(x)   e t 2 dt, 则（ ）
0 0
（A） f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数.
（B） f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数.
（C） f (x) 与 g(x) 均为奇函数.
（D） f (x) 与 g(x) 均为周期函数.
【解】x
【例6】设 F(x)   [e sint  e sint ]dt, 则 F(2)  F (5) (2)  _______ .
2
【解】【例7】设 连续且以 为周期，则（ ）
f (x) T
（A）  是以 为周期的周期函数；
f (x)
T
x
（B） f (t)dt 是以 为周期的周期函数；
T
0
x

f (t)dt
（C）若 lim 0  0, 则 lim f (x)  0;
x x x
x

f (t)dt
（D）若 lim 0  0, 则 f (x) 的原函数是以
T
为周期的周期函数.
x x
x T
 
f (t)dt f (x)dx
T
【解1】直接法 lim 0  0  0,  f (x)dx  0.
x x T 0
【解2】排除法 f (x)  sin x 排除A,B f (x)  sin x 排除C.【例8】(2005年3）以下四个命题中正确的是
（A）若  在 内连续,则 在 内有界；
f (x) (0,1) f ( x) (0,1)
（B）若 在 内连续,则 在 内有界；
f ( x) (0,1) f ( x) (0,1)
（C）若  在 内有界,则 在 内有界；
f (x) (0,1) f ( x) (0,1)
（D）若 在 内有界,则  在 内有界。
f ( x) (0,1) f (x) (0,1)
【解1】直接法
【解2】排除法【例9】(2005年1,2）设 是连续函数 的一个原函数，
F(x) f ( x)
M  N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有
（A） 是偶函数 是奇函数
F(x)  f (x)
（B） F(x) 是奇函数  f (x) 是偶函数
（C） F(x) 是周期函数  f (x) 是周期函数
（D） F(x) 是单调函数  f (x) 是单调函数
【解1】直接法
【解2】排除法二 极限概念 性质 存在准则及计算
1.数列极限概念 lim a  A :  0, N  0, 当 n  N 时， | a  A | .
n n
n
2.数列极限性质
（1）有界性 收敛数列必有界.
（2）保号性 设 lim x  A
n
n
（1）如果 A  0 （或 A  0 ），则存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 ）
n n
（2）如果存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 则 A  0 （或 A  0),
n n
（3）绝对值
（1）若 lim x  a, 则 lim x  a , 但反之不成立;
n n
n n
（2） lim x  0 的充分必要条件是 lim x  0.
n n
n n
3.数列极限存在准则
（1）夹逼准则 （2）单调有界准则4.求极限常用方法
方法1 利用基本极限求极限
方法2 利用有理运算法则求极限
方法3 利用等价无穷小代换求极限
方法4 利用洛必达法则求极限
方法5 利用泰勒公式求极限
方法6 利用夹逼准则求极限
方法7 利用定积分的定义求极限
方法8 利用单调有界准则求极限
方法9 利用中值定理求极限【例1】(2014年3）设 lim a  a, 且 a  0 ,则当 n 充分大时有
n
n
a a
(A)
a  (B) a 
n n
2 2
1 1
(C) a  a  (D) a  a 
n n
n n
【解1】直接法 由 lim a  a, 且 a  0 知, lim a  a  0,
n n
n n
a
则当 n 充分大时有 a  故 应 选 （A）.
n
2
【解2】排除法
2
若取 a  2  , 显然 a  2, 且（B）和（D）都不正确；
n
n
2
若取 a  2  , 显然 a  2, 且（C）不正确； 故应选（A）
n
n(1) n
 
【例2】(2022年3) 已知 a  n n  (n  1,2,) ，则 a
n n
n
（A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值.
（C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值.
【解】 有最大值.
lim a  1, a  2  1,
n 1
n
1
有最小值.
a  2   1,
2
2
【注】 若 lim a  a, 则  a  有最大值的充要条件是存在 a  a.
n n n
n
若 lim a  a, 则  a  有最小值的充要条件是存在 a  a.
n n n
n   
【例3】已知数列 a 单调减， b 单调增，且 lim(a  b )  0, 则（ ）
n n n n
n
   
（A） a 收敛，b 不收敛；
n n
 
 
（B） a 不收敛， 收敛；
b
n
n
   
（C） a , b 都收敛，但 lim a  lim b
n n n n
n n
   
（D） a , b 都收敛，且 lim a  lim b
n n n n
n n
【解1】直接法 lim(a  b )  0,  M  a  b  M
n n n n
n
a  M  b  M  b 存在  不存在  不存在
n n 1
【解2】排除法 lim(a  b )  0,  a  ,  b  同敛散，则排除（A）(B)(C),
n n n n
n
1 1
【解3】排除法 则排除（A）(B)(C),
令 a  ,b   .
n n
n n【例4】(2008年1,2）设函数 f (x) 在 (,) 内单调有界，
为数列，下列命题正确的是（ ）.
{x }
n
（A）若 {x } 收敛，则 { f (x )} 收敛
n n
（B）若 {x } 单调，则 { f (x )} 收敛
n n
（C）若 { f (x )} 收敛，则 {x } 收敛
n n
（D）若 { f (x )} 单调，则 {x } 收敛
n n
【解1】直接法 若 {x } 单调，则 { f (x )} 单调有界，故 收敛.
n n
1  arctan x, x  0, (1) n
则排除（A）,
【解2】排除法 f (x)   x  ,
n
 arctan x, x  0. n
则排除(C)(D),
f (x)  arctan x x  n,
n 
 
【例5】(2022年1,2）设有数列 x ，其中 x 满足   x  ，则（ ）
n n n
2 2
（A）若 存在，则 存在.
lim cos(sin x ) lim x
n n
n n
（B）若 lim sin(cos x ) 存在，则 lim x 存在.
n n
n n
（C）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim sin x 存在，但 lim x 不一定存在.
n n n
n n n
（D）若 存在，则 lim cos x 存在，但 lim x 不一定存在.
lim sin(cos x )
n n
n
n n n
存在 存在.
limcos x lim x 必要条件 f (x)有反函数
【解1】直接法 n n
n n
f (x ) 收敛 x 收敛
存在 存在. n n
limsin x lim x
n n
n n 充分条件 f (x)严格单调
lim f (a )  AR
n f
n

【解2】排除法 x  (1) n
n
2【例6】(2024年2）已知数列   若   发散，则（ ）
a (a  0), a
n n n
 1   1 
（A） a   发散. （B） a   发散.
n n
 a   a 
n n
 1   1 
（C） e a n   发散. （D） e a n   发散.
a a
 e n   e n 
【解1】排除法 a  (1) n 排除B,C a  2 (1) n 排除A.
n n
【解2】排除法 排除 A,B,C
a 发散 f (a ) 发散
n n
必要条件 f (x)有反函数
收敛
【解3】直接法 选 D a 收敛 f (a )
n n
充分条件 f (x)严格单调
lim f (a )  AR
n f
n【例7】(2007年1,2）设函数
f (x)
在（
0
， ）上具有二阶导数，且
f  (x)  0 ，令 u  f (n)(n  1,2,) ，则下列结论正确的是( )
n
（A）若 u  u ，则 {u } 必收敛.
1 2 n
（B）若 u  u ，则 必发散.
{u }
1 2
n
（C）若 u  u ，则 {u } 必收敛.
1 2 n
（D）若 ，则 必发散.
u  u {u }
1 2 n
【解1】直接法
u  u f (2)  f (1)  f  (c)  0 f  (2)  0
1 2
f  ()
f (x)  f (2)  f  (2)(x  2)  (x  2) 2 f (n)  f (2)  f  (2)(n  2)
2!
【解2】排除法 f (x)  (x  2) 2 则排除（A）,
f (x)  (x  1) 2 则排除（C）,
1
f (x)  则排除（B）,
x【例8】(2012年2）设 a  0(n  1,2,), S  a  a    a ,则数列
n n 1 2 n
有界是数列 收敛的
{S } {a }
n n
（A）充分必要条件. （B）充分非必要条件.
（C）必要非充分条件. （D）既非充分也非必要条件.
【解】 有界 收敛的
{S } {a }
n n【例9】下列结论正确的是
（A）若 lim x  0, 且 lim f (x )  A, 则 lim f (x)  A;
n n
n n x0
（B）若 lim x  0, 且 lim f (x)  A, 则 lim f (x )  A;
n n
n x0 n
（C）若 lim f (n)  A, 则 lim f (x)  A;
n x
（D）若 lim f (x)  A, 则 lim f (n)  A.
x n
【解1】直接法 若 lim f (x)  A, 则 lim f (n)  A.
x n
1 1
【解2】排除法 则排除(A),
f (x)  sin , x  ,
n
x n
sin x
f (x)  , x  0, 则排除(B),
n
x
f (x)  sin(x), 则排除(C),【例10】下列结论正确的是
(A)若 a  b (n  1,2,), 且 lim a  a,lim b  b, 则 a  b;
n n n n
n n
(B)若 lim a  a,lim b  b, 且 a  b ，则 n 充分大时有 a  b ；
n n n n
n n
1 1
(C)若 lim a  a, 则当 n 充分大时有 a   a  a  ;
n n
n n n
1 1
(D)若当 n 充分大时有 a   a  a  , 则 lim a  a .
n n
n n n
1 1
【解1】直接法 a   a  a  , lim a  a, lim a  a .
n n n
n n n n
1 2 2
【解2】排除法 a  , b  , 则排除(A), a  a  , 则排除(C),
n n n
n n n
1 (1) n
a  , b  , 则排除(B),
n n n n【例11】设数列 {a },{b } 对任意的正整数 n 满足 a  b  a ,则
n n n n n1
(A) 数列 {a },{b } 均收敛，且 lima  limb
n n n n
n n
【解3】排除法
(B) 数列 {a },{b } 均发散，且 lima  limb  
n n n n
n n
1
(C) 数列 {a },{b } 具有相同的敛散性 a  n b  n 
n
n
n n 2
(D) 数列 {a },{b } 具有不同的敛散性 1 1
n n a  1  b  1 
n n 1
n
n 
2
【解1】直接法 收敛 收敛
{a } {b }
n n
收敛 收敛
【解2】直接法 {a } {b }
n n 
【例12】设有数列 x , 已知 lim(x  x )  0, 则下列结论正确的是（ ）
n n1 n
n
 
（A） 必收敛；
x
n
   
（B）若 单调，则 必收敛；
x x
n n
   
（C）若 有界，则 必收敛；
x x
n n
   
（D）若 收敛，则 必收敛；
x x
3n n
【解1】排除法 x  n, 则排除(A)(B),
n
则排除(C).
x  sin n,
n
【解2】直接法
lim x  a, lim(x  x )  0, lim(x  x )  0,
3n 3n1 3n 3n2 3n1
n n n
lim x  lim x  a,
3n1 3n2
n nx
 x 2 
【例13】(2010年1）极限
lim  
 
x (x  a)(x  b)
ab ba
(A) 1 (B) e (C) e (D) e
x x x
 x 2   x   x 
【解1】直接法 lim    lim   
 
x (x  a)(x  b) x x  a   x  b 
x
 a  b
 lim1   (1  ) x  e a  e b  e ab
x x  x
【解2】排除法1
 ln( x  x 2  1)  ax 2  bx 3  x 2
【例14】若 lim    e 2 ,
 
x0 x

（A） a  1,b   1 . （B） a  1,b  1.
13 13
（C） a  0,b  . （D） a  0,b   .
6 6
ln( x  x 2  1)  x  ax 2  bx 3
【解】
lim  2 a  0
3
x0 x
1
 1
ln( x  x 2  1 )  x 1  x 2 1
lim  lim  
x0 x 3 x0 3x 2 6
13
b 
6e x f (x)  tan x f (x)  x
【例15】已知 lim  0, 则 lim  ( )
2
x0 x 2 x0 x
1 2
（A）0 （B）1 （C） （D）
3 3
e x f (x)  tan x
【解1】
(x)
2
x
e x f (x)  xe x  tan x  xe x
【解2】加减
x
e x 0  lim
2
x0 x
【解3】乘 e x 0  lim f (x)  e x tan x  lim f (x)  x  e x tan x  x
x0 x 2 e x x0 x 2
【解4】排除法 e x f (x)  tan x  0arctan x  sin x
【例16】(2007年2） lim  ________ .
3
x0 x
arctan x  sin x arctan x  x x  sin x
【解】
lim  lim  lim
3 3 3
x0 x x0 x x0 x
1 1 1
    
3 6 61  x  1  x  2
【例17】（1998年1,2）
lim  ________ .
2
x0 x
( 1)
【解1】泰勒 (1  x)   1 x  x 2 (x 2 )
2!
1 1

1  x  1  x  2
【解2】络+等价 2 1  x 2 1  x
lim  lim
2
x0 x x0 2x
1 1 1 1
(  1)  (  1) ( x)  ( x)
1 1  x 1  x 1 2 2 1
 lim  lim  
4 x0 x 4 x0 x 41 1
【例18】(2023年3） lim x 2 (2  x sin  cos )  ________ .
x x x
 1 1 1 1 1 
【解1】原式  lim x 2 2  x(  ( ))  (1  ( ))
 
3 3 2 2
x  x 6x x 2x x 
 2 1  2
 lim x 2 ( ) 
 
2 2
x 3x x  3
1 1
【解2】原式  lim x 2 (1  x sin )  lim x 2 (1  cos )
x x x x
1 1 1
 lim x 3 (  sin )  lim x 2 ( )
2
x x x x 2x
1 1 1 1 2
 lim x 3 ( )    
3
x 6x 2 6 2 31 1
【例18】(2023年3） lim x 2 (2  x sin  cos )  ________ .
x x x
1
【解3】
 t
x
2t  sin t  t cos t
lim
3
t0 t
2  cos t  cos t  t sin t
 lim
2
t0 3t
1 2(1  cos t)  t sin t 2
 lim 
2
3 t0 t 3 2 
【例19】(1994年3） lim tan n     _________ .
n  4 n 
 2  
tan    tan
 2   4 n  4
【解】
lim[tan    1] n  lim
n  4 n  n 1
n
2
sec
2

n
 lim  2sec 2  4
1
n 4
n
 2 
lim tan n     e 4
n  4 n 2
n
 1 
【例20】(1998年4） lim ntan   ________ .
n n 
1 1 1
【解】 lim[ntan  1]n 2  lim[tan  ]n 3
n n n n n
1 1
 lim[ ]n 3 
3
n 3n 3
2
n 1
 1 
lim ntan   e3
n n 1 1 1
【例21】(2012年2） lim n(     )  _______ .
n 1  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2
1 1 1 1
【解】原式  lim [     ]
n n 1 2 n
1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2
n n n
1 
1
  dx 
0 1  x 2 41 1 1
【例22】(2019年3） lim[     ] n  _______ .
n 1 2 2 3 n(n  1)
1
【解】 lim[1  ] n  e 1
n n  1n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2
【例23】 lim(     )  _______ .
n 1  n 2 2  n 2 n  n 2
n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2
【解1】
      
 
n  n 2 n  n 2 n  n 2 1  n 2 2  n 2 n  n 2
n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2
   

1  n 2 1  n 2 1  n 2
n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2 1 1 2 n
lim[     ]  lim  [ 1  ( ) 2  1  ( ) 2    1  ( ) 2 ]
n n  n 2 n  n 2 n  n 2 n n  n 2 n n n n

1
  1  x 2 dx 
0 4
n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2
【解2】 原式  lim(     )
2 2 2
n n n n1
【例24】(2009年2） lim  e x sin nxdx  ___________ .
n 0
1
1 1
【解】  e x sin nx d x    e x dcos nx
0 n 0
1
1 1
1
  e x cos nx   e x cos nx d x
n n 0
0
1 1
1
 (1  e n cos n)   e x cos nxdx
n n 0
 01
【例25】 lim  nx n arctan xdx  ___________ .
n 0
1 n
【解】  nx n arctan xdx   1 arctan xdx n1
0 n  1 0
n  x n1 
1 1
 x n1 arctan x   dx
 
n  1  0 0 1  x 2 
n  x n1  
1
   dx 
 
n  1  4 0 1  x 2  41 (n  1)a
【例26】设 a  n x n 1  x 2 dx, 则 lim n1  ________ .
n n a
0
n
1 1
1
【解】 a  n x n 1  x 2 dx  1  ( ) 2 n x n dx 0   
n n n
0 0 n
1
 1  ( ) 2
(n  1)n
n1 n
1
1
a  1  ( ) 2
0  
n1
(n  2)(n  1)
n2 n
n
n
(n  1)a (n  1) 2 n n1 1  ( ) 2 n n1
1
lim n1  lim n  lim 
n a n (n  2)(n  1) n2 1  ( ) 2 n (n  1) n1 e
n
n