(458)--选填题01板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26考研选填题速成 (高等数学) 主讲 武忠祥选 填 题 一. 选择题（10小题，50分） 二. 填空题（6小题，30分） 共计80分1．选择题（主要考查基本概念和基本理论）  弱项 1) 失分的原因  难 2)  3) 缺乏方法、技巧 方法与技巧 （1）直接法（推演，几何，验证） （2）排除法（特殊函数，赋值，几何）2. 填空题（主要考查基本运算） 失分的原因 （1）基本运算不过关，基本概念不清； （2）缺乏灵活的方法与技巧 方法与技巧 （1）几何意义，特殊函数法 （2）求极限、求导数、求积分的方法与技巧第一章 函数 极限 连续 一. 函数及其性质 （1）单调性及判定 在 某邻域单调增 f (x) x （1）定义： 0 f  (x )  0 0 (2）导数：设 f ( x) 在区间 I 在 点单调增 f (x) x 0 a) f  (x)  0  f (x) 单调增； b) f  (x)  0  f (x) 单调不减；（2）奇偶性及判定 (1) 定义： (2) 设 可导，则： f ( x) a) f ( x) 是奇函数  f  (x) 是偶函数； b) f ( x) 是偶函数  f  (x) 是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数. 【注】 设 连续， f ( x) x （1）若 f ( x) 是奇函数,则  f (t)dt 是偶函数； 0 x （2）若 f ( x) 是偶函数,则  f (t)dt 是奇函数； 0（3）周期性及判定 (1) 定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； x 【注】（1）设 f (x) 连续且以 T 为周期，则 F(x)   f (t)dt 0 T 是以 为周期的周期函数   f (x)dx  0 ； T 0 （2）周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在 一个周期上的积分为零. 周期+奇 原函数为周期函数（4）有界性及判定 （1） 定义： (2) f ( x) 在 [a,b] 上连续  f (x) 在 [a,b] 上有界； （3） f ( x) 在 (a,b) 上连续，且 f (a  ), f (b  ) 存在  f (x) 在（ a,b ）上有界； 可推广到 (,a),(a ， ),(,) （4） f  (x) 在区间 I （有限）上有界  f (x) 在 I 上有界；【例1】(1995年3)设 f (x) 在 (,) 内可导,且对任意 x , x , 1 2 当 x  x 时,都有 f (x )  f (x ) ,则（ ） 1 2 1 2 （A）对任意 x, f  (x)  0; （B）对任意 x, f  ( x)  0; （C）函数 f ( x) 单调增加; （D）函数  f ( x) 单调增加. 【解1】几何法 【解2】分析法 x  x  x   x f ( x )  f ( x )  f ( x )   f ( x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 【解3】排除法【例2】(2002年2）设函数 连续,则下列函数中,必为偶函数的是（ ）． f (x) x x （Ａ） 2 （Ｂ）  2 f (t )d t f (t)d t 0 0 x x （Ｃ） t[ f (t)  f (t)]d t （Ｄ）  t[ f (t)  f (t)]d t 0 0 【解1】直接法 t[ f (t)  f (t)] 奇函数 【解2】排除法f (x) 【例3】设奇函数 f ( x) 在 (,) 内连续,且 lim  a  0. x x 2 x 则在 (,) 内 F(x)  e x  (x  2t) f (t)d t 是（ ） 0 （A）有界的偶函数； （B）无界的偶函数； （C）有界的奇函数； （D）无界的奇函数； x x 【解1】直接法 F(x)  e x 2 [x  f (t)dt  2  tf (t)dt] 奇函数 0 0 x x x x  f (t)dt  2  tf (t)dt  f (t)dt  xf (x) lim F(x)  lim 0 0  lim 0 2 2 x x e x x 2xe x f (x) 1 f (x) x  lim  lim[  ]  0 2 2 2 x 2e x  4x 2 e x 2 x x e x 3 x 2 x 【解2】排除法 f (x)  ax F(x)  ae x  (x  2t)t d t  ae x 2 ( ) 0 6【例4】(2022年3)已知函数 f (x)  e sin x  e sin x，则 f  (2)  ________ . 【解1】 f (x) 2为周期 f  (2)  f  (0) f (x) 偶函数 f  (x) 奇函数 f  (0)  0 【解2】 f (x) 2为周期 f  (2)  f  (0) f (x) 偶函数，在0点泰勒展式只有偶次项， f  (0)  0x sin x 【例5】(2024年1)已知函数 f (x)   e cost dt, g(x)   e t 2 dt, 则（ ） 0 0 （A） f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数. （B） f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数. （C） f (x) 与 g(x) 均为奇函数. （D） f (x) 与 g(x) 均为周期函数. 【解】x 【例6】设 F(x)   [e sint  e sint ]dt, 则 F(2)  F (5) (2)  _______ . 2 【解】【例7】设 连续且以 为周期，则（ ） f (x) T （A）  是以 为周期的周期函数； f (x) T x （B） f (t)dt 是以 为周期的周期函数； T 0 x  f (t)dt （C）若 lim 0  0, 则 lim f (x)  0; x x x x  f (t)dt （D）若 lim 0  0, 则 f (x) 的原函数是以 T 为周期的周期函数. x x x T   f (t)dt f (x)dx T 【解1】直接法 lim 0  0  0,  f (x)dx  0. x x T 0 【解2】排除法 f (x)  sin x 排除A,B f (x)  sin x 排除C.【例8】(2005年3）以下四个命题中正确的是 （A）若  在 内连续,则 在 内有界； f (x) (0,1) f ( x) (0,1) （B）若 在 内连续,则 在 内有界； f ( x) (0,1) f ( x) (0,1) （C）若  在 内有界,则 在 内有界； f (x) (0,1) f ( x) (0,1) （D）若 在 内有界,则  在 内有界。 f ( x) (0,1) f (x) (0,1) 【解1】直接法 【解2】排除法【例9】(2005年1,2）设 是连续函数 的一个原函数， F(x) f ( x) M  N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有 （A） 是偶函数 是奇函数 F(x)  f (x) （B） F(x) 是奇函数  f (x) 是偶函数 （C） F(x) 是周期函数  f (x) 是周期函数 （D） F(x) 是单调函数  f (x) 是单调函数 【解1】直接法 【解2】排除法二 极限概念 性质 存在准则及计算 1.数列极限概念 lim a  A :  0, N  0, 当 n  N 时， | a  A | . n n n 2.数列极限性质 （1）有界性 收敛数列必有界. （2）保号性 设 lim x  A n n （1）如果 A  0 （或 A  0 ），则存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 ） n n （2）如果存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 则 A  0 （或 A  0), n n （3）绝对值 （1）若 lim x  a, 则 lim x  a , 但反之不成立; n n n n （2） lim x  0 的充分必要条件是 lim x  0. n n n n 3.数列极限存在准则 （1）夹逼准则 （2）单调有界准则4.求极限常用方法 方法1 利用基本极限求极限 方法2 利用有理运算法则求极限 方法3 利用等价无穷小代换求极限 方法4 利用洛必达法则求极限 方法5 利用泰勒公式求极限 方法6 利用夹逼准则求极限 方法7 利用定积分的定义求极限 方法8 利用单调有界准则求极限 方法9 利用中值定理求极限【例1】(2014年3）设 lim a  a, 且 a  0 ,则当 n 充分大时有 n n a a (A) a  (B) a  n n 2 2 1 1 (C) a  a  (D) a  a  n n n n 【解1】直接法 由 lim a  a, 且 a  0 知, lim a  a  0, n n n n a 则当 n 充分大时有 a  故 应 选 （A）. n 2 【解2】排除法 2 若取 a  2  , 显然 a  2, 且（B）和（D）都不正确； n n 2 若取 a  2  , 显然 a  2, 且（C）不正确； 故应选（A） n n(1) n   【例2】(2022年3) 已知 a  n n  (n  1,2,) ，则 a n n n （A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值. （C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值. 【解】 有最大值. lim a  1, a  2  1, n 1 n 1 有最小值. a  2   1, 2 2 【注】 若 lim a  a, 则  a  有最大值的充要条件是存在 a  a. n n n n 若 lim a  a, 则  a  有最小值的充要条件是存在 a  a. n n n n    【例3】已知数列 a 单调减， b 单调增，且 lim(a  b )  0, 则（ ） n n n n n     （A） a 收敛，b 不收敛； n n     （B） a 不收敛， 收敛； b n n     （C） a , b 都收敛，但 lim a  lim b n n n n n n     （D） a , b 都收敛，且 lim a  lim b n n n n n n 【解1】直接法 lim(a  b )  0,  M  a  b  M n n n n n a  M  b  M  b 存在  不存在  不存在 n n 1 【解2】排除法 lim(a  b )  0,  a  ,  b  同敛散，则排除（A）(B)(C), n n n n n 1 1 【解3】排除法 则排除（A）(B)(C), 令 a  ,b   . n n n n【例4】(2008年1,2）设函数 f (x) 在 (,) 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）. {x } n （A）若 {x } 收敛，则 { f (x )} 收敛 n n （B）若 {x } 单调，则 { f (x )} 收敛 n n （C）若 { f (x )} 收敛，则 {x } 收敛 n n （D）若 { f (x )} 单调，则 {x } 收敛 n n 【解1】直接法 若 {x } 单调，则 { f (x )} 单调有界，故 收敛. n n 1  arctan x, x  0, (1) n 则排除（A）, 【解2】排除法 f (x)   x  , n  arctan x, x  0. n 则排除(C)(D), f (x)  arctan x x  n, n    【例5】(2022年1,2）设有数列 x ，其中 x 满足   x  ，则（ ） n n n 2 2 （A）若 存在，则 存在. lim cos(sin x ) lim x n n n n （B）若 lim sin(cos x ) 存在，则 lim x 存在. n n n n （C）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim sin x 存在，但 lim x 不一定存在. n n n n n n （D）若 存在，则 lim cos x 存在，但 lim x 不一定存在. lim sin(cos x ) n n n n n n 存在 存在. limcos x lim x 必要条件 f (x)有反函数 【解1】直接法 n n n n f (x ) 收敛 x 收敛 存在 存在. n n limsin x lim x n n n n 充分条件 f (x)严格单调 lim f (a )  AR n f n  【解2】排除法 x  (1) n n 2【例6】(2024年2）已知数列   若   发散，则（ ） a (a  0), a n n n  1   1  （A） a   发散. （B） a   发散. n n  a   a  n n  1   1  （C） e a n   发散. （D） e a n   发散. a a  e n   e n  【解1】排除法 a  (1) n 排除B,C a  2 (1) n 排除A. n n 【解2】排除法 排除 A,B,C a 发散 f (a ) 发散 n n 必要条件 f (x)有反函数 收敛 【解3】直接法 选 D a 收敛 f (a ) n n 充分条件 f (x)严格单调 lim f (a )  AR n f n【例7】(2007年1,2）设函数 f (x) 在（ 0 ， ）上具有二阶导数，且 f  (x)  0 ，令 u  f (n)(n  1,2,) ，则下列结论正确的是( ) n （A）若 u  u ，则 {u } 必收敛. 1 2 n （B）若 u  u ，则 必发散. {u } 1 2 n （C）若 u  u ，则 {u } 必收敛. 1 2 n （D）若 ，则 必发散. u  u {u } 1 2 n 【解1】直接法 u  u f (2)  f (1)  f  (c)  0 f  (2)  0 1 2 f  () f (x)  f (2)  f  (2)(x  2)  (x  2) 2 f (n)  f (2)  f  (2)(n  2) 2! 【解2】排除法 f (x)  (x  2) 2 则排除（A）, f (x)  (x  1) 2 则排除（C）, 1 f (x)  则排除（B）, x【例8】(2012年2）设 a  0(n  1,2,), S  a  a    a ,则数列 n n 1 2 n 有界是数列 收敛的 {S } {a } n n （A）充分必要条件. （B）充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）既非充分也非必要条件. 【解】 有界 收敛的 {S } {a } n n【例9】下列结论正确的是 （A）若 lim x  0, 且 lim f (x )  A, 则 lim f (x)  A; n n n n x0 （B）若 lim x  0, 且 lim f (x)  A, 则 lim f (x )  A; n n n x0 n （C）若 lim f (n)  A, 则 lim f (x)  A; n x （D）若 lim f (x)  A, 则 lim f (n)  A. x n 【解1】直接法 若 lim f (x)  A, 则 lim f (n)  A. x n 1 1 【解2】排除法 则排除(A), f (x)  sin , x  , n x n sin x f (x)  , x  0, 则排除(B), n x f (x)  sin(x), 则排除(C),【例10】下列结论正确的是 (A)若 a  b (n  1,2,), 且 lim a  a,lim b  b, 则 a  b; n n n n n n (B)若 lim a  a,lim b  b, 且 a  b ，则 n 充分大时有 a  b ； n n n n n n 1 1 (C)若 lim a  a, 则当 n 充分大时有 a   a  a  ; n n n n n 1 1 (D)若当 n 充分大时有 a   a  a  , 则 lim a  a . n n n n n 1 1 【解1】直接法 a   a  a  , lim a  a, lim a  a . n n n n n n n 1 2 2 【解2】排除法 a  , b  , 则排除(A), a  a  , 则排除(C), n n n n n n 1 (1) n a  , b  , 则排除(B), n n n n【例11】设数列 {a },{b } 对任意的正整数 n 满足 a  b  a ,则 n n n n n1 (A) 数列 {a },{b } 均收敛，且 lima  limb n n n n n n 【解3】排除法 (B) 数列 {a },{b } 均发散，且 lima  limb   n n n n n n 1 (C) 数列 {a },{b } 具有相同的敛散性 a  n b  n  n n n n 2 (D) 数列 {a },{b } 具有不同的敛散性 1 1 n n a  1  b  1  n n 1 n n  2 【解1】直接法 收敛 收敛 {a } {b } n n 收敛 收敛 【解2】直接法 {a } {b } n n  【例12】设有数列 x , 已知 lim(x  x )  0, 则下列结论正确的是（ ） n n1 n n   （A） 必收敛； x n     （B）若 单调，则 必收敛； x x n n     （C）若 有界，则 必收敛； x x n n     （D）若 收敛，则 必收敛； x x 3n n 【解1】排除法 x  n, 则排除(A)(B), n 则排除(C). x  sin n, n 【解2】直接法 lim x  a, lim(x  x )  0, lim(x  x )  0, 3n 3n1 3n 3n2 3n1 n n n lim x  lim x  a, 3n1 3n2 n nx  x 2  【例13】(2010年1）极限 lim     x (x  a)(x  b) ab ba (A) 1 (B) e (C) e (D) e x x x  x 2   x   x  【解1】直接法 lim    lim      x (x  a)(x  b) x x  a   x  b  x  a  b  lim1   (1  ) x  e a  e b  e ab x x  x 【解2】排除法1  ln( x  x 2  1)  ax 2  bx 3  x 2 【例14】若 lim    e 2 ,   x0 x  （A） a  1,b   1 . （B） a  1,b  1. 13 13 （C） a  0,b  . （D） a  0,b   . 6 6 ln( x  x 2  1)  x  ax 2  bx 3 【解】 lim  2 a  0 3 x0 x 1  1 ln( x  x 2  1 )  x 1  x 2 1 lim  lim   x0 x 3 x0 3x 2 6 13 b  6e x f (x)  tan x f (x)  x 【例15】已知 lim  0, 则 lim  ( ) 2 x0 x 2 x0 x 1 2 （A）0 （B）1 （C） （D） 3 3 e x f (x)  tan x 【解1】 (x) 2 x e x f (x)  xe x  tan x  xe x 【解2】加减 x e x 0  lim 2 x0 x 【解3】乘 e x 0  lim f (x)  e x tan x  lim f (x)  x  e x tan x  x x0 x 2 e x x0 x 2 【解4】排除法 e x f (x)  tan x  0arctan x  sin x 【例16】(2007年2） lim  ________ . 3 x0 x arctan x  sin x arctan x  x x  sin x 【解】 lim  lim  lim 3 3 3 x0 x x0 x x0 x 1 1 1      3 6 61  x  1  x  2 【例17】（1998年1,2） lim  ________ . 2 x0 x ( 1) 【解1】泰勒 (1  x)   1 x  x 2 (x 2 ) 2! 1 1  1  x  1  x  2 【解2】络+等价 2 1  x 2 1  x lim  lim 2 x0 x x0 2x 1 1 1 1 (  1)  (  1) ( x)  ( x) 1 1  x 1  x 1 2 2 1  lim  lim   4 x0 x 4 x0 x 41 1 【例18】(2023年3） lim x 2 (2  x sin  cos )  ________ . x x x  1 1 1 1 1  【解1】原式  lim x 2 2  x(  ( ))  (1  ( ))   3 3 2 2 x  x 6x x 2x x   2 1  2  lim x 2 ( )    2 2 x 3x x  3 1 1 【解2】原式  lim x 2 (1  x sin )  lim x 2 (1  cos ) x x x x 1 1 1  lim x 3 (  sin )  lim x 2 ( ) 2 x x x x 2x 1 1 1 1 2  lim x 3 ( )     3 x 6x 2 6 2 31 1 【例18】(2023年3） lim x 2 (2  x sin  cos )  ________ . x x x 1 【解3】  t x 2t  sin t  t cos t lim 3 t0 t 2  cos t  cos t  t sin t  lim 2 t0 3t 1 2(1  cos t)  t sin t 2  lim  2 3 t0 t 3 2  【例19】(1994年3） lim tan n     _________ . n  4 n   2   tan    tan  2   4 n  4 【解】 lim[tan    1] n  lim n  4 n  n 1 n 2 sec 2  n  lim  2sec 2  4 1 n 4 n  2  lim tan n     e 4 n  4 n 2 n  1  【例20】(1998年4） lim ntan   ________ . n n  1 1 1 【解】 lim[ntan  1]n 2  lim[tan  ]n 3 n n n n n 1 1  lim[ ]n 3  3 n 3n 3 2 n 1  1  lim ntan   e3 n n 1 1 1 【例21】(2012年2） lim n(     )  _______ . n 1  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2 1 1 1 1 【解】原式  lim [     ] n n 1 2 n 1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2 n n n 1  1   dx  0 1  x 2 41 1 1 【例22】(2019年3） lim[     ] n  _______ . n 1 2 2 3 n(n  1) 1 【解】 lim[1  ] n  e 1 n n  1n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 【例23】 lim(     )  _______ . n 1  n 2 2  n 2 n  n 2 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 【解1】          n  n 2 n  n 2 n  n 2 1  n 2 2  n 2 n  n 2 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2      1  n 2 1  n 2 1  n 2 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2 1 1 2 n lim[     ]  lim  [ 1  ( ) 2  1  ( ) 2    1  ( ) 2 ] n n  n 2 n  n 2 n  n 2 n n  n 2 n n n n  1   1  x 2 dx  0 4 n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 【解2】 原式  lim(     ) 2 2 2 n n n n1 【例24】(2009年2） lim  e x sin nxdx  ___________ . n 0 1 1 1 【解】  e x sin nx d x    e x dcos nx 0 n 0 1 1 1 1   e x cos nx   e x cos nx d x n n 0 0 1 1 1  (1  e n cos n)   e x cos nxdx n n 0  01 【例25】 lim  nx n arctan xdx  ___________ . n 0 1 n 【解】  nx n arctan xdx   1 arctan xdx n1 0 n  1 0 n  x n1  1 1  x n1 arctan x   dx   n  1  0 0 1  x 2  n  x n1   1    dx    n  1  4 0 1  x 2  41 (n  1)a 【例26】设 a  n x n 1  x 2 dx, 则 lim n1  ________ . n n a 0 n 1 1 1 【解】 a  n x n 1  x 2 dx  1  ( ) 2 n x n dx 0    n n n 0 0 n 1  1  ( ) 2 (n  1)n n1 n 1 1 a  1  ( ) 2 0   n1 (n  2)(n  1) n2 n n n (n  1)a (n  1) 2 n n1 1  ( ) 2 n n1 1 lim n1  lim n  lim  n a n (n  2)(n  1) n2 1  ( ) 2 n (n  1) n1 e n n