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专题 01 预备知识一：集合的概念
1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，
发展数学抽象素养.
2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“ ”“ ”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表
示有关集合.
3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表
示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 …表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母 …表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互
异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作 ．
(2)不属于：如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 ．
4．常用的数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合
或
5．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司6．描述法
(1)定义：一般地，设 表示一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖
线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
对点特训一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师 B．方程 的根
C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形
例题2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；
③方程 的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
精练
1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程 的实数解 D．周长为 的三角形
2．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．著名的数学家 B．很大的数
C．聪明的学生 D． 年保山市参加高考的学生
对点特训二： 判断元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用符号“ ”或“ ”填空：
（1）若 ，则-1 A；
（2）若 ，则3 B；
（3）若 ，则8 C，9.1 C.
（4） ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合 ， ，又满足：若 ，则
.
(1) 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2) 中含元素个数一定是 个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
精练
1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ．其中
正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合 中的元素 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
对点特训三：利用集合中元素的互异性求参数
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若 ，则实数 的可能取
值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
例题2．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合 中有三个元素： ， ， ，集合 中也有三
个元素：0，1， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
精练
1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合 ，且 ，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一·全国·课后作业）由 ，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值
可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
对点特训四：用列举法表示集合
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组 的解构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二下·辽宁阜新·期末）集合 用列举法表示为 .
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ， ,则 （用列举法表
示）.
2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合 ，且 ，则M等于 （用列
举法）
对点特训五： 用描述法表示集合
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式 的解组成的集合 ；
(2)被 除余 的正整数的集合 ；
(3) ；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 ．
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合 ；
(2)所有奇数组成的集合 ；
(3)平面直角坐标系中，抛物线 上的点组成的集合 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(4) ；
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3) ；
(4)不等式 的解集．
2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于 小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程 的解集；
(5)不等式 的解集；
(6)抛物线 上的点组成的集合．
对点特训六：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·江西·模拟预测）已知实数集合 ，若 ， 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知 ， ，若集合 ，则
的值为 ．
同类题型归类练
1．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合 ，其中 ，则实数
.
2．（23-24高一上·河南郑州·期中）含有三个实数的集合既可表示为 ，也可表示为 ，
则 的值为 ．
角度2：已知集合元素个数求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合 只有一个元素，则实数 的值为
（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
例题2．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合 ．
(1)若A是空集，求 的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求 的取值范围．
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合 中有两个元素，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合 中只有一个元素，则实数 的值是
.
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 ，其中 .
(1)若集合 中有且仅有一个元素，求实数 组成的集合 .
(2)若集合 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
一、单选题
1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则B中元素的最小
值为（ ）
A． B． C． D．32
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合 ， ， ，则 中元素的
个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（ ）
① 与 表示同一个集合；
②由 组成的集合可表示为 或 ；
③方程 的所有解的集合可表示为 ；
④集合 可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合
，又 则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D． 任一个
6．（22-23高一上·全国·期中）已知集合 ，则 的元素个数是
（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
7．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合 ，若 且 ，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中 表示不同集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
10．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（23-24高一上·全国·期末）定义运算 ，若集合 ，则
.
12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合 ，且 ，则实数a的值为 .
四、解答题
13．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2) ；
(3) ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(4) ．
(5)由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
14．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合 .
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求 的取值范围.
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