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专题 13 预备知识十三：幂函数
1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画 ， ， ， ， 五个幂函数的图
象，理解它们的性质；
2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．
知识点一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
2、幂函数的特征
① 中 前的系数为“1”
② 中 的底数是单个的自变量“ ”
③ 中 是常数
知识点二：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当 时，我们得到五个幂函数：
； ； ； ；
2、五个幂函数的性质
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在 上
在 上单 单调递减 在 上单调 在 在 上单调递减
单调性
调递增 在 单 递增 单调递增 在 上单调递减
调递增
定点
3、拓展：
① ，当 时， 在 单调递增；
② ，当 时， 在 单调递减.
对点特训一：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C．4 D．
例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数 的图象通过点 ，则 ．
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数 是幂函数，则 ．
对点特训二：求幂函数的解析式
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数 在 上是减函数，
则实数 的值为（ ）
A．2或 B． C．2 D． 或
例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数 的图象与坐标轴无交点.
(1)求 的解析式；
(2)解不等式 .
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数 的图像关于 轴对称，则 .
对点特训三：求幂函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数 满足：
① 在 上为增函数，
②对 ，都有 ，
求同时满足①②的幂函数 的解析式，并求出 时， 的值域.
例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数 ，其中 ，满足：
①在区间 上单调递增；
②对任意的 ，都有 .
求同时满足条件①②的幂函数 的解析式，并求 时 的值域.
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求函数 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 ，求函数 在区间 ， 上的值域．
2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数 （其中 ， ）满足：
①在区间 上为减函数；
②对任意的 ，都有 .
求幂函数 的解析式，并求当 时， 的值域.
对点特训四：幂函数的图象问题
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数 则 的图象大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． D．
精练
1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数 ， ， ， 在第一象限
内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数 在其定义域上的局部图像，则
实数 从小到大的排列顺序为 .（请用“ ”连接）
对点特训五：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数 的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，
定点坐标为 .
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 的图象恒过定点 ，若点 在一次函数
的图象上，其中 ， ，则 的最小值为 .
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1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数 取何值，函数 恒过的定点坐标是 ．
2．（20-21高一·全国·课后作业）函数 的图象过定点 ．
对点特训六：幂函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数 是幂函数，对任意 ，
，且 ，满足 ，若a， ，且 ，则 的值
（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数 （ ）的图像关于 轴对称，且
.
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
精练
1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，
满足 ，若 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
对点特训七：幂函数的奇偶性
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知 ，若幂函数 为奇函
数，且在 上严格单调递减，则 .
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数 为偶函数，
且在 上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足 的实数a的取值范围．
精练
1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知 ，若幂函数 为偶函数，且在
上单调递减，则 的取值集合是 .
2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 是幂函数，且函数 的图象关于
轴对称.
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 成立，求实数 的取值范围.
1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C．4 D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间 上单调递减的函数
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的
曲线（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数 的图象不经过坐标原点，则
（ ）
A． B．3 C．1或 D． 或3
6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数 ，若函数 满足：当
时， 恒成立，则 可取值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数 ，是 上的减函数，则a的取值范围
是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若幂函数 的图像经过 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． 的定义域是 D． 为偶函数
三、填空题
10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
四、解答题
11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)判断函数 的奇偶性，并说明理由．
12．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数 的图象关于 轴对称．
(1)求 的值及函数 的解析式；
(2)设函数 ，求 在区间 上的值域．
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