2024-2025 学年湖北省武汉市问津联盟高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.函数f(x)= 在区间[1,8]上的平均变化率为( )
√3 x
1 1 1 1
A. − B. C. D. −
7 7 14 14
2.已知 为各项均为正数的等比数列， 和 是方程 的两个根，则
{a } a a x2−8x+10=0
n 4 5
lga +lga +...+lga = ( )
1 2 8
7 9
A. B. 4 C. D. 5
2 2
1
3.二项式(√3 x− ) 6 的展开式中常数项为( )
2√3 x
5 5
A. 160 B. C. − D. −160
2 2
4.甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和甲也相邻的概率为( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
4 10 10 5
5.曲线y=sinxcosx−1在点(0,−1)处的切线方程为( )
A. x−2y+2=0 B. x+2y−2=0 C. x−y−1=0 D. x−y+1=0
6.①9910−1不能被1000整除；②若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξ>7)=0.21，则P(−1<ξ<7)=0.58；
③如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种
颜色，共有180种不同的着色方法.以上说法错误的个数为( )
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1 1A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7.在排列a ，a ，a ，…，a (n∈N )中，任取两个数a ，a (p,q∈N 且p<q)，如果a >a ，则称这
1 2 3 n + p q + p q
两个数a ，a 为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列2，4，3，5，1
p q
中任取两数，则这组数是逆序的概率是( )
1 2 3 1
A. B. C. D.
5 5 5 2
8.抛掷一枚质地均匀的硬币n次(其中n为不小于2的整数)，设事件A表示“n次中至少有一次正面和一次反
面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题正确的为( )
A. 若 ，则
A3=C4 n=27
n n
1
B. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
9
C. 新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高
1
考，则在选择化学的条件下，选择生物的概率是
3
D. 在 的展开式中含 项的系数为
(x2−y+2) 5 x4 y −120
10.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是
在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召
开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的
3
测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是 ，乙能答对其中的8道题，规定每次测试都是
4
从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，总分低于0分记为0分，甲、乙两
人答对与否互不影响，则( )
81
A. 乙得40分的概率是 B. 乙得分的数学期望是28
256
13 243
C. 甲得0分的概率是 D. 甲、乙的得分都是正数的概率是
256 256
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2 111.已知函数 ，则下列命题中正确的是( )
f(x)=ax3−6x2−2
A. −2是f(x)的极大值
B. 当a<−4时，f(x)有且仅有一个零点x ，且x >−2
0 0
C. 当1<a<2时，f(a−1)<f(a)
D. 若f(x)存在极小值点x ，且f(x )=f(x )，其中x ≠x ，则x +2x =0
1 1 2 1 2 1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知ξ的分布列如下表，则E(ξ)=______．
ξ −1 2 3
1 1
P t
4 2
1
13.已知随机变量X∼B(4,p),0<p<1，则E(4X+1)+ 取最小值时，D(4X+2)=______．
p
14.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好
成长”.将数列1,3进行“美好成长”，第一次得到数列1,3,3；第二次得到数列1,3,3,9,3；…，设第n次
“美好成长”后得到数列为1,x ,x ,⋅⋅⋅x ,3，记a =log (1⋅x ⋅x ⋅⋅⋅⋅⋅x ⋅3)，则数列a 的通项
1 2 n n 3 1 2 n n
公式为_______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ．
(1−2x) 7=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5+a x6+a x7
0 1 2 3 4 5 6 7
求 展开式中二项式系数最大的项
(1) (1−2x) 7
求 的值．
(2) (a +a +a +a ) 2−(a +a +a +a ) 2
0 2 4 6 1 3 5 7
16.(本小题15分)
已知S 是等差数列{a }的前n项和，且满足S 是a ,a 的等差中项，a +1是a ,a 的等差中项．
n n 2 2 3 3 2 5
(1)求数列{a }的通项公式
n
记 ，求数列 的前 项和
(2) b =(−1) na {b } n T
n n n n
17.(本小题15分)
1
已知x=1是函数f(x)= x3+(a+1)x2−(a2+a−3)x的极值点.则
3
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3 1(1)求实数a的值
(2)过点(0,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围
18.(本小题17分)
为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复
赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人
重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．
他们各自闯关成功的概率分别为p ,p ,p .假定p ,p ,p 互不相等．且每1人能否闯关成功相互独立．
1 2 3 1 2 3
1 2 3
(1)若计划依次派丙、乙、甲进行初赛闯关．p = ,p = ,p = .求该小组初赛胜利的概率：
1 2 2 3 3 4
(2)已知1>p >p >p .现有两种初赛人员派出方案：
1 2 3
方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量X,Y .求E(X),E(Y).并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得
一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该
1
学生在复赛中前两道题答对的概率均为a.第三道题答对的概率为b.若该学生获得一等奖的概率为 ，设该
8
学生获得二等奖的概率为p.求p的最小值．
19.(本小题17分)
教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、
校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有20%的人满
分，而该校有10%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%．
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任
何一人，第1次由甲将球传出，求第n次传球后球在乙手中的概率．
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4 1参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.ACD
10.BCD
11.ABD
7
12.
4
13.12
3n+1
14.a =
n 2
15.解： 展开式的通项公式为 ，
(1)(1−2x) 7 T =Ck×(−2x) k
k+1 7
二项式系数最大为 ，
C3=C4=35
7 7
即 ， ．
T =−280x3 T =560x4
4 5
由题意 ，
(2) (1−2x) 7=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5+a x6+a x7
0 1 2 3 4 5 6 7
令 ，得
x=1 a +a +a +a +a +a +a +a =(1−2) 7=−1
0 1 2 3 4 5 6 7
令 ，得 ，
x=−1 a −a +a −a +a −a +a −a =(1+2) 7=37=2187
0 1 2 3 4 5 6 7
所以 ．
(a +a +a +a ) 2−(a +a +a +a ) 2=(a +a +⋯+a )(a −a +⋯+a −a )=−1×2187=−2187
0 2 4 6 1 3 5 7 0 1 7 0 1 6 7
16.解：(1)设数列 {a } 的公差为 d ，由 S 是 a 、a 的等差中项得 2S =a +a ，
n 2 2 3 2 2 3
即 2(2a +d)=2a +3d ，整理得 d=2a
1 1 1
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5 1是 的等差中项得 ，即 ，解得
a +1 a 、a 2(a +1)=a +a 2(a +2d+1)=2a +5d d=2
3 2 5 3 2 5 1 1
代入 d=2a ，求得 a =1 ，故 a =a +(n−1)d=2n−1
1 1 n 1
由 得，
(2) (1) b =(−1) n (2n−1)
n
当 n 为偶数时， T =(b +b )+(b +b )+⋯+(b +b )=
n 1 2 3 4 n−1 n
n
(−1+3)+(−5+7)+⋯[−(2n−3)+(2n−1)]=2+2+⋯+2=2× =n
2
当 为奇数时，则 为偶数， ，
n n+1 T =n+1 b =(−1) n+1 [2(n+1)−1]=(2n+1)
n+1 n+1
T =T −b =(n+1)−(2n+1)=−n
n n+1 n+1
{−n,n为奇数
综上 T =
n n,n为偶数
1
17.解：(1)由f(x)= x3+(a+1)x2−(a2+a−3)x得，f ′(x)=x2+2(a+1)x−(a2+a−3)，
3
因为x=1是f(x)的极值点，
故 ，整理得 ，
f ′(1)=1+2(a+1)−(a2+a−3)=0 a2−a−6=0
解得a=−2或a=3，
当 时， ，
a=3 f ′(x)=x2+8x−9=(x+9)(x−1)
当x<−9时，f ′(x)>0，函数f (x)在(−∞,−9)上单调递增，
当−9<x<1时，f ′(x)<0，函数f (x)在(−9,1)上单调递减，
当x>1时，f ′(x)>0，函数f (x)在(1,+∞)上单调递增，
所以x=1为函数的极值点，满足要求；
当 时， ，
a=−2 f ′(x)=x2−2x+1=(x−1) 2
因为f ′(x)≥0，当且仅当x=1时，f ′(x)=0，
所以函数f (x)在(−∞,+∞)上单调递增，
x=1不是函数f (x)的极值点，不符合题意，
故a=3；
1
(2)由(1)可知，f(x)= x3+4x2−9x，f ′(x)=x2+8x−9，
3
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6 11
设切点坐标为(x , x3+4x2−9x )，切线的斜率为f ′(x )=x2+8x −9，
0 3 0 0 0 0 0 0
1
则切线方程为y=(x2+8x −9)(x−x )+ x3+4x2−9x ，
0 0 0 3 0 0 0
2
将点(0,m)代入并整理得m=− x3−4x2，
3 0 0
2
记g(x)=− x3−4x2，
3
由题意得，直线y=m与曲线y=g(x)有三个不同的交点，
，
g′(x)=−2x2−8x=−2x(x+4)
令 g′(x)=0，得 x=0或 x=−4，
当x<−4或x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当−4<x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
64
且g(−4)=− ,g(0)=0，且x→−∞时,g(x)→+∞;x→+∞时,g(x)→−∞.
3
64
直线y=m与曲线y=g(x)有三个不同的交点，故m∈(− ,0)．
3
3 1 2 1 1 1 23
18.解：(1)设事件A表示该小组获胜．则 P(A)= + × + × × = ，
4 4 3 4 3 2 24
23
所以该小组初赛胜利的概率为 ．
24
的可能取值为 ， ， 则 ，
(2) X 1 2 3. P(X=1)=p ,P(X=2)=(1−p )p ,P(X=3)=(1−p )(1−p )
1 1 2 1 2
此时 ，
E(X)=p +2(1−p )p +3(1−p )(1−p )=p p −2p −p +3
1 1 2 1 2 1 2 1 2
的可能取值为 ， ， 则 ，
Y 1 2 3. P(Y =1)=p ,P(Y =2)=(1−p )p ,P(Y =3)=(1−p )(1−p )
3 3 2 3 2
此时 ，
E(Y)=p +2(1−p )p +3(1−p )(1−p )=p p −2p −p +3
3 3 2 3 2 2 3 3 2
所以
E(X)−E(Y)=p p −2p −p +3−(p p −2p −p +3)=p p −2p −p p +2p
1 2 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 3 3
因为 ，
=p (p −p )−2(p −p )=(p −p )(p −2), 1>p >p >p
2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 3
所以 p −p >0,p −2<0 .所以 E(X)<E(Y) ．
1 3 2
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7 11 1
(3)由题意可得 =a2b ， b= ，
8 8a2
3 1 3
则 p=a2(1−b)+C1a(1−a)b=a2+2ab− =a2+ − ，
2 8 4a 8
令 1 3 ，则 1 8a3−1 ，令 1 ，
p=f (a)=a2+ − ,0<a<1 f ′(a)=2a− = f ′(a)=0⇒a=
4a 8 4a2 4a2 2
1
所以当 0<a< 时， f ′(a)<0 ， f (a) 为减函数，
2
1
当 <a<1 时． f ′(a)>0 ， f (a) 为增函数，
2
所以 (1) 1 1 3 3 所以 的最小值为 3 ．
f (a) =f = + − = . p
min 2 4 2 8 8 8
19.解：(1)该校随机抽取三人，每个人满分的概率为20%，设抽取的三人中满分人数为 X ，
则 X=0,1,2,3 ，
4 3 64 4 21 48 1 24 12
则P(X=0)=( ) = ，P(X=1)=C1 ( ) = ，P(X=2)=C2 ( ) = ，
5 125 3 5 5 125 3 5 5 125
1 3 1
P(X=3)=( ) = ，
5 125
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
64 48 12 1 3
所以数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× =
125 125 125 125 5
(2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则P(A)=10％,P(A)=90％，
用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则P(B)=20％，且P(B|A)=50％，
又因为P(AB)=P(A)P(B|A)=10％×50%=5%，所以
P(B)=P(AB)+P(AB)=5%+P(AB)=20%，
P(AB) 15％ 1
故P(AB)=15%，所以P(B|A)= = = ；
P(A) 90％ 6
(3)记 A 表示事件“经过 n 次传球后，球在乙的手中”，设 n 次传球后球在乙手中的概率为 p ，
n n
n=1,2,3,⋯,n ，
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8 11
则有 p = ，所以 A =A ⋅A +A ⋅A ，所以 p =P(A ⋅A +A ⋅A )
1 2 n+1 n n+1 n n+1 n+1 n n+1 n n+1
1
=P(A ⋅A )+P(A ⋅A ) =P(A )⋅P(A |A )+P(A )⋅P(A |A ) =(1−p ) +p ⋅0
n n+1 n n+1 n n+1 n n n+1 n n 2 n
1
= (1−p ) ，
2 n
1 1 1 1 1 1 1
即 p =− p + ， n=1,2,3,⋯ ，所以 p − =− (p − ) ，且 p − = ，
n+1 2 n 2 n+1 3 2 n 3 1 3 6
所以数列 { 1} 表示以 1 为首项， 1 为公比的等比数列，所以 1 1 1 ，
p − − p − = ×(− ) n−1
n 3 6 2 n 3 6 2
所以 1 1 1 1[ 1 ] ，即第 次传球后球在乙手中的概率为 1[ 1 ]
p = ×(− ) n−1+ = 1−(− ) n n 1−(− ) n
n 6 2 3 3 2 3 2
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9 1
